1、11 偏微分方程定解问题导读：就爱阅读网友为您分享以下“1 偏微分方程定解问题”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对 的支持!数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题第一章 偏微分方程定解问题1.1 三个典型方程的导出 1.2 定解问题及其适定性 1.3 通解法和行波法 1.4 二阶线性偏微分方程的分类和标准型12数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题1.1 三个典型方程的导出 (1) 偏微分方程有一个未知多元函数u(x, y, )x, y, 是未知变量； 是未知变量；如果能够得到如下关系式： 如果能够得到如下关系式：u u 2u 2u 2u F(x, y, , u, , , , 2 , 2
2、, , ) = 0 x y x y xy u u , , 为 u 的各阶偏导数。 的各阶偏导数。 x y偏微分方程。 上述关系式就称为偏微分方程。u u 2u , uy = , , uxx = 2 , 为书写方便， 为书写3方便，通常记 ux = x y x 24数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方 方程的阶 程的阶 程的阶。 (3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有 线性方程 组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程 幂次数都是一次的 线性方程， （组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高 于一次以
3、上的方程称为非线性方程 非线性方程 于一次以上的方程称为非线性方程 2u u 2 2 =a + f (t, x ) 2 2 t xut + 6u x u x + u xxx = 0(4)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 自由项 偏微分方程中 项称为自由项 自由项 项称为自由项35数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题 2u = a 2 2u + f (t , x) 波动方程： t 2琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡 热传导方程：u = a 2 2u t热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动 场位方程（拉普拉斯方程）： 2u = 0空间的静电场分布
4、；静磁场分布；稳定温度场分布46数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题如何导出？ 如何导出？翻译” 导出 翻译 导出 “翻译”导出步骤: 导出步骤 i)确定物理量 ； 确定物理量 u； 确定物理量 ii)从所研究的系统中划出一个小部分，根据物理规律分 从所研究的系统中划出一个小部分， 从所研究的系统中划出一个小部分 析邻近部分和这个小部分的相互作用； 析邻近部分和这个小部分的相互作用； iii)这种相互作用在一个短时间段如何影响物理量 ，把 这种相互作用在一个短时间段如何影响物理量 u， 这种相互作用在一个短时间段如何影响物理量 这种影响用算式表达出来。 这种影响用算式表达出来。57数学物理
5、方程第 1 章偏微分方程定解问题一、波动方程的推导一、弦的横振动 演奏弦乐器( 如提琴、二胡)的人用 弓在弦上来回拉动。弓所接触的只是弦 的很小一段，似乎应该只引起这个小段 的振动。实际上，振动总是传播到整根 弦，弦的各处都振动起来。人们力求用 数学方法研究这种弦振动传播现象。著名二胡演 奏家宋飞一根弦在内部张力作用之下处于平衡位置，某个微小 扰动引起部分质点的位移，内部张力又使邻近的部分随之 产生位移。68数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题理想化假设： (1)均匀 常数； (2)柔软任意弯曲，没有抵抗弯曲的力，张力沿弦 的切线方向； (3)弹性抵抗拉伸的张力满足胡克定律； (4) 细截
6、面情况不考虑。可看作无粗细的线； (5)微小横振动绝对位移和相对位移都很小。建立坐标系：确立未知函数 研究对象：u ( x, t ) ，弦上某点在 t 时刻的横向位移。79数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题微元分析法：取微元x,x+dx， t 时刻 牛顿运动定律： F=ma r r r 2 u ( x, t ) r dx u0 = T ( t , x + dx ) T ( t , x ) + G ( t , x; dx ) 2 t r T r = dx + g ( t , x ) dxu0 x ( t , x )T1 x 方向： 0 = x2uu(1)r G (t , x; dx)dsM
7、1T210M 2 T ( t , x + dx ) u T2 dx + g ( t , x ) dx u 方向： dx 2 = t x (2)T1T ( t, x )xx+ dxx811数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题2 T2 u u u = T2 = T1 张力沿切线： 张力沿切线： T = T12 + T22 = T1 1 + T1 T1 x x x (1)得 由(1)得: 无关） T1 = T1 ( t )（T 与 x 无关） u ds = dx + du = dx 1 + dx x 2 2 2每个时刻都有： 长度 ds 不随时间而变化 不随时间而变化： 每个时刻都有：ds dx
8、，长度 不随时间而变化： 胡克定律T= T1=常数 =常数代入(2) 代入(2)2 2u u 2u 2 = T + g (t, x ) = T 2 + g (t, x ) t x x x122u 2 u =a + f ( t , x ) 其中： 其中： g ( t, x ) t 2 x 2 f (t, x ) =-理想弦的振动方程（第一个偏微分方程） -理想弦的振动方程（第一个偏微分方程） 理想弦的振动方程 偏微分方程9a2 =T13数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题二维波动方程或膜振动方程（ 二维波动方程或膜振动方程（鼓） 膜振动方程一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水 平
9、位置的微小振动，其运动规律满足 2u 2u 2u = a 2 2 + 2 + f (t , x, y ) = a 2 2u + f (t , x, y ) t 2 y x其中： u(x,y,t)表示在 t 时刻、膜在 (x,y) 点处的位移 f (x,y,t)表示单位质量所受的外力 a2=T/： T 表示张力、 为面密度2 2 2 称为二维Laplace 算符，定义为 2 = 2 + 2 x y 2 2 2 三位Laplace 算符是 3 = 2 + 2 + 2 = = 2 x y z 2 u = ( u )101415数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题三维波动方程或声波方程 三维波动方
10、程或声波方程 2u 2 u 2u 2u = a 2 2 + 2 + 2 + f (t , x, y ) = a 2 3u + f (t , x, y, z ) t 2 z x y 2u = a 2 u + f ( t , ) t 2波动方程弹性介质的振动方程统称为波动方程。均匀弦的微小横 振动和均匀杆的纵振动满足一维波动方程，均匀薄膜的 微小振动方程是二维波动方程，弹性介质中声波的传播 是三维波动方程。1116数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题3、考虑其他因素 、 T 的近似问题：微小、横振动(绝对位移不远小于 1)。T为 常数的假设不成立。如：习题 5 弦在粘稠的液体中振动，阻尼必须考
11、虑，在建立方程时 u 需加上阻尼项即 。 f 阻 = v t4、任何数学模型都是相对的，超出理想化假设范围， 、任何数学模型都是相对的，超出理想化假设范围， 则需建立新的模型。 则需建立新的模型。1217数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题P45 习题 6 均匀杆的纵振动 (1).纵振动与纵波的机理一张力和杆(介质) (2).均匀杆的纵振动同横向振动，除杆的振动位移在纵向外， 仍然采用微元法. 建立坐标系：以杆的中轴线为 x 轴。 研究对象： u ( x, t ) t 时刻杆上各质点离开平衡位置的纵位移。 微元分析法：取微元x,x+dx，即杆上 B 段。 牛顿运动定律： t 时刻 F=ma
12、u(x,t) t 时刻 时刻 A F1 平衡位置 A x B C x+dx x 13 B u(x+dx,t) C F2均匀杆形变产生的应力与应变 满足胡克定律。 FS =ELL18数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题相对伸长量： 原长：dx t 时刻长度 dx + u ( x + dx, t ) u ( x, t ) (现长)：右端位移 左端位移t 时刻 时刻 Au(x,t)u(x+dx,t) C B F2 B C x+dx xF1 平衡位置 A x相对伸长量 =现长 原长 dx + u(x + dx, t ) u(x, t ) dxdx B 小段分别受邻段 A 和 C 的拉力 F1 和
13、F2。原长19=u = xu ( x + dx , t ) u ( x , t ) 2u 2u F = F2 F1 = ES ES = ES 2 dx = ( Sdx ) 2 x x x t 2u 2u E 2 = 2 x tu tt a 2 u xx = 0 其中：a = 其中：E1420数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题二、热传导方程的推导 起源：19 世纪 世纪， 起源：19世纪，傅里叶研究工业中金属加热问题时提出。 时提出。物理模型：空间某个介质或静止流体内温度分布不均 匀，引起热量流动，考虑热运动如何进行。 引起热量流动，考虑热运动如何进行。1521数学物理方程 理想化假设：
14、理想化假设： 介质均匀 各向同性 取定坐标系 未知函数： 未知函数： 微元分析法 温度 常数第 1 章偏微分方程定解问题z(x+dx, x+dy, z+dz)c,k 均为常数 c,k 均为常数ydz dy o (x,y,z) dx xu (t , x, y, z )微元 dv=dxdydz t,t+dt时间段 时间段22物理定律： 物理定律：1、能量守恒 、Q = Q 流入 + Q 放出u Qn = k n热传导系数 热流密度矢量v n2、傅里叶热传导定律 、1623数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题傅立叶热传导定律： 傅立叶热传导定律： 在物体内部，在垂直于导热方向上，两个相距为 ，
15、在物体内部，在垂直于导热方向上，两个相距为 h，面 积为 S，温度分别为 的平行平面， 秒内， 积为 ，温度分别为 T1、T2 的平行平面，在t 秒内，从一个 秒内 平面传到另一个平面的热量Q，满足下式： 平面传到另一个平面的热量 ，满足下式：T2 T1 Q = s t h式中Q/t 定义为传热速率， 定义为该物质的导热系数，亦 定义为传热速率， 定义为该物质的导热系数 定义为该物质的导热系数， 式中 定义为传热速率 称热导率， 号表示热量向低温的方向传递。 称热导率， “-”号表示热量向低温的方向传递。 号表示热量向低温的方向传递1724数学物理方程 翻译： 翻译：对微元应用物理定律第 1
16、章偏微分方程定解问题dt 时间内温度升高所需热量 dt 时间内温度升高所需热量Q = Q 流入 + Q 放出 u Q = cdxdydz dt t 2u 2u 2u Q 流入 = Q 左右 + Q 上下 + Q 前后 = k（ 2 + 2 + 2 )dtdxdydz x y z u u Q 左右 = k dtdydz + k dtdydz x ( t , x , y , z ) x ( t , x + dx , y , z ) 2u z = k 2 dtdxdydz (x+dx, x+dy, z+dz) x 2u Q 前后 = k 2 dtdxdydz y dz 2 y u dy Q 上下 =
17、 k 2 dtdxdydz z (x,y,z) dx o x 1825数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题考虑内部有热源放出热量Q 放出 = g (t , x, y, z )dtdxdydz热源密度 带入方程u 2u 2u 2u c dxdydzdt = k ( 2 + 2 + 2 )dtdxdydz + g (t , x, y, z )dtdxdydz t x y z u 2u 2u 2u c = k ( 2 + 2 + 2 ) + g (t , x, y, z ) t x y z1926数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题k g ,f = , 则得到热传导方程 记：a = c cu
18、 2 = a 3u + f ( t , x , y , z ) t或写为： 或写为：ut = a 2 ( u xx + u yy + uzz ) + f(1)若物体内部无热源，则 f 0 ，得齐次热传导方程u = a 2 u t或写为： 或写为：ut = a 2 ( u xx + u yy + uzz )(2)202728数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题注 ： 考虑 热 传导 问题 中， 当 物体 是均 匀 细杆 时 ，假 如 其 侧面 是绝热 的，且 温度 分布在 同一截面 相同 ，则u = u ( x , t ) ， 得一 维热 传导 方程 ：ut = a 2 u xx当物体是均匀
19、薄片时，假如其侧面是绝热的，则u = u( x, y , t ) ， 得二维热传导方程 ：ut = a 2 ( u xx + u yy )2129数学物理方程第 1 章偏微分方程定解问题扩散方程物理模型：考虑分子在介质中的扩散 分子在介质中的扩散。 物理模型：考虑分子在介质中的扩散。 表示分子的浓度， 若 u( x , y , z , t ) 表示分子的浓度 ， c 取为 1， 导热系数k ( x , y , z ) 换为扩散系数 D( x , y , z ) ，介质内部由于各部 换为扩散系数 介质内部由于各部分子浓度不同 产生分子的扩散 扩散过程中遵循 不同， 分子的扩散。 分分子浓度不同，产生分子的扩散。扩散过程中遵循 质量守恒定律及扩散定律， 质量守恒定律及扩散定律，当扩散系数为常数 D 时， 守恒定律 满足方程（ ， ，其中 可导出 u( x , y , z , t )满足方程（2） 其中 a 2 = D 。若分子 在扩散的同时还与介质发生反应， 则可导出 u( x , y , z , t ) 在扩散的同时还与介质发生反应， 满足方程（ ， ，其中 表示反应项。 满足方程（ 1） 其中 f 表示反应项。30u = a 2 3u + f ( t , x , y , z ) t又称为扩散方程 又称为扩散方程22
