1、第二章 函数同步辅导第一讲映射与函数一、辅导内容 1 映射、一一映射的定义和概念的理解2 函数的定义、表示。3 函数的三要素及函数的表达方法。二、重点、难点讲解1映射、一一映射（1）集合 A到集合 B的映射有三个要素，即集合 A、集合 B和对应法则 .其中集合 Af和集合是有先后顺序的，因为一般情况下 A到 B的映射和 B到 A的映射是不同的映射.而对于集合 A和集合 B的元素是什么，映射的定义未对此作具体要求，它们的元素可以是数，可以是点，也可以是其他对象.（2）一个对应要满足下面两个条件才能称为集合 A到集合 B的映射：集合 A中的每一个元素（一个不漏地）在集合 B中都有象（但集合 B中的
2、每一个元素不一定都有原象） ；集合 A中的每一个元素在集合 B中的象只有唯一的一个（集合 B中的元素在集合 A中的原象可能不止一个）.也就是说，图 1和图 2所示的两种对应不能称为映射.（3）对于上述映射，如果加上一个条件，要求集合 B中的每一个元素在集合 A中都有原象，则这样的映射称为“集合 A到集合 B上的映射”.如果在此基础上再加上一个条件，要求集合 B中的每一个元素在集合 A中的原象只有唯一的一个，则这样的映射称为“集合A到集合 B上的一一映射”.例 1 如图 3，集合 A=1、2、3、4、5，B= 、 、 、 、 .判断下列对应中，abcde（1）哪些是集合 A到集合 B的映射；(2
3、)哪些是集合 A到集合 B上的映射；（3）哪些是集合 A到集合 B上的一一映射.图 312345abcdeA B12345abcdeBA12345abcdeBA12345abcdeBAA B图 1A B图 2f1 f2解（1）和是集合 A到集合 B的映射，中集合 A的元素 3在集合中没有象；中集合A的元素 3在集合 B中有两个象，它们都不是映射.（2）是集合 A到集合 B上的映射.中集合 B的元素 b在集合 A中没有原象.（3）是集合 A到集合 B上的一一映射.例 2 已知集合 A= ，B= .判断下列各对应 f是否是集合30x10yA到集合 B的映射？一一映射？并说明理由.(1) : ； (
4、2) : ；fyx1fx4(3) : ； (4) : ；f2)(f291y(5) :f214xy解 （1） ， . 因此对集合 A的每一个元素 ，30130xx，所以对应 : 是集合 A到集合 B的映射.Bxyf对于集合 B中的每一个元素 ，由 及 ，有yx10y.即集合 B中的每一个元素在集合 A中都有原象，且这样的原象只30,3xy有一个，所以对应 : 是一一映射.fA（2） ， .所以对于集合 A中的每一个元素 ，在集x4310xx合 B中都有唯一的象，因此对应 : 是映射.fB而集合 B中有些元素，如 ，在集合 A中没有原象，因此映射 : 不是1yfB一一映射.（3） ， ， .由此知
5、集30x2x4)2(0x合 A的某些元素，如 ，在集合 B中没有象，因此对应 : 不是映射，更不f是一一映射.（4） ， .因此对于集合 A中的每一个元素 ，在集30x1902xx合 B中都有唯一的象，所以对应 : 是映射.fBA由 ，对于集合 B中的每一个元素 ， ，即集合 B中的每一个291xyyAx3元素在集合 A中有唯一的原象，因此映射 : 是一一映射.f（5）集合 A中的每一个元素在集合 B中都有唯一的象.对于集合 A中的元素 和0x，都对应于集合 B中的同一个元素 ，所以对应 : 是映射，但不是一一2x41fB映射.2. 函 数（1）函数的定义.在初中学过的函数概念是从运动变化的角
6、度出发，用变量来定义的，习惯上称为传统定义.传统定义由研究变量的物理意义而产生，反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制，对某些函数难以进行研究，因为有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义，它更具有一般性.当然，两种定义的本质是一样的.集合 A到集合 B的映射 : 要成为函数，还必须满足两个条件：集合fAA、B 都是非空集合；集合 A、B 都是数的集合.其中集合 A就是函数的定义域，而集合 B不一定是值域.一般地说，值域 C是集合 B的子集，即 .（若集合 ，则这个C映射就成为集合 A到集合 B上的映射）.（2）函数的三要素.定义域
7、 A，值域 C和定义域 A到值域 C的对应法则 ，构成了函数的三个要素.当且f仅当这三个要素完全相同时，两个函数才是同一个函数. 在判断两个函数是否同一函数时，主要观察它们的定义域和对应法则是否相同.（3）区间设 、 ，且 .用闭区间 表示集合 ，用开区间aRbaba, bxa表示集合 ，用半开半闭区间 表示集合 ，用半),(x,(开半闭区间 表示集合 .),（4）函数的表示法.函数常用的表示法有：解析法，列表法及图像法，三种表示法各有其长处.要搞清符号 和 （ 为常数）的区别.一般情况下， 是一个随自变)(xfa)(xf量 的变化而变化的变量，而 是当自变量 时函数的值，是一个确定的量 .x
8、)(fax与初中接触到的函数不一样，这里的函数可以是在不同区间中（或不同条件下）表达式不同的分段函数，因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线，它可能是一些孤立的点，一些线段，或一些曲线.例 3 判断下列各对函数是否是同一个函数，并说明理由.(1) ， ；2)(xf2)(xg(2) ， ；.3(3) ， ；1)(2xf 1)(x(4) ， f );(,g(5) ， ； 2)(xx)(6) ， .1f21t解 （1）不是同一个函数，两者的定义域不同， 它们的定义域分别为 和),(.),0（2）不是同一个函数，它们的对应法则和值域都不同.，其值域为 ； ，其值域为 .xf(),(xg)(),0（3）不
9、是同一个函数，它们的定义域不同.定义域分别为 和1(.),(（4）不是同一个函数，它们的定义域不同，定义域分别是 和),(.),1()(（5）是同一个函数， .)()(xgf（6）是同一个函数，虽然自变量用不同的字母表示，但定义域、值域和对应法则都相同.例 4 已知 ， ，求 和 .32)(xf 12)(xg)(xgf)(xf解 = .g432= .)(f 198)(1)(2 f评析 由此可见，在求 时，只要用 代替 表达式中的 ，然后再将xgxg)(fx的表达式代入其中，就可以求得 .一般来说， .)(xg)(xgf )()(xfgf例 5 （1）已知 )(xf,12,0求 ， ， ， ；)
10、(f(f)0(f)2(f（2）已知 且 ， 求 .),2(,31,)(2xxg 3)(tgt解 （1） ， .00f ， .1)()1(2.)2()ff.2)0(2f(2)当 ； 当 ；当 13)(,1xgx 4,2x.42.3),1(3.,2ttt例 6 （1）画出函数 的图像；42xy（2）画出函数 的图像；（3）已知函数 的图像如右图，)(f写出 的解析式.)(xf解 （1） 图 74 ).0(,1)2(,342 xxy 1-yx(x 0),(x = 0),(x 0),图像如下图左.(2)当 ,即 或 时，0342x1x3；)(2y当 ，即 时，2.1)2(34)34(2 xxx ).1
11、(,)(,2y或图像如下图右.（3） ).0(,0x评析 （1）对于含有绝对值的函数的图像，通常先用零点分区间法得出函数的解析式，然后以分段函数的形式写出函数的解析式，再画出函数的图像.（2）由第（2）题可见，画 的图像，只要把 的图像在 轴下方)(xfy)(xfy部分“翻到” 轴上方，即作出这一部分图像关于 轴的对称曲线，而在 轴上方的曲线x保持不变，就可以得到函数 的图像.f（3）函数的定义域如果没有特别说明，通常指使式子有意义的一切自变量 的集合，x在实际问题中，还应考虑自变量 要满足的实际问题的条件 .x我们现在涉及到的使式子有意义的情况，仅是分母不能为零，负数不能开偶次方.今后学习了
12、其他函数，还会出现另外一些情况.例 7 求下列函数的定义域：（1） ； （2） ；2312xy xy21（3） .752y解 （1） .2,0)2(1,02 xxx 且3-图 75-1023y图 76定义域为 .Rxx,2,1且（2）由 ;0,由 , ；21x由 , .23xx3定义域为 .R,0且且（3） .271,0)72(1,752 xxx或定义域为 .,或评析 对于繁分式，一条分数线即有一个限制条件，本题有三条分数线，因此有三个限制条件.例 8 已知函数 的定义域为 -1，2，求函数 的)(xfy )1()()xffxg定义域.解 由 中的 必须满足 ，因此 中的 必须满足：f 21x
13、(即 ,21x.30,12x 的定义域为 .)(g10x例 9 （1）已知 ，求 ；)(2f )(f（2）已知函数 的定义域是 ，且x ),0(,，求 ；fxf4)()3)(f(3)已知 ，求 .32x)(xf解 （1）设 ，则 ，xt11t)(t ，f 2)(2 .x )(x（2）由 ， 将 换成 ，xff4)1()3x1得 ， fxf232 ，得 ，xf812)(5 . (x0)xf812)(（3）令 ，则 .t 2,)t .)(1823)(2)2tf ).(8xx例 10 设 画出函数 的图像.,0,1)(f )1(xfy解 由已知，),(,xxf ).1(,y图像如图所示.练 习一、选
14、择题1设 是从集合 A到集合 B 的映射，下列四个说法：集合 A中的每一个元素在集f合 B中都有象；集合 B中的每一个元素在集合 A中都有原象；集合 A中不同的元素在集合 B中的象也不同；集合 B中不同的元素在集合 A中的原象也不同，其中正确的是 （ ）A和 B和-02图 7C和 D和2已知集合 A= ，B= ，则下列对应关系 中，不能看成60x30yf是从集合 A到集合 B的映射的是 （ ）A ： B ：fy21fxy31C ： D ：fxf63下列三个命题：函数是从定义域到值域的一一映射；函数的定义域和值域可能是数集，也可能不是数集；函数的定义域和值域都不能是空集.其中真命题是 （ ）A
15、BC D和4下列各组函数： ， ；2)(xf 4)(2xg， ； ， ；1)(2xf 1gf 1)(xf， .其中 和 表示同一个函数的是 （ ）)0(,g)(xfgA B和C D5函数 的定义域是 （ ）xy1A B),0(),(),1()0,(C D16已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为 （ ）)(xf),()(2xfA B2, )2,1(,C D)01(0)(二、填空题7已知 在映射 下的象是 ，则 在 下的原象 ,yxf2,(yx3,1f是 。8函数 的定义域是 。f1)(29已知 则 ， )0(,2,)(3xf )2(f )2(f， .)6(f10已知 ，则 .x1)(f三、解答题11求下列函数的定义域：（1） ；xy2（2） .56x12若 是从集合 A= 到集合 B= 的一个映13:yf ,32k3,742a射，求自然数 和 的值及集合 A和 B.ak13若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围.3423mxyRm14已知 ，作函数 的图像. 32)(xf 2)()(xffxg答案与提示答案一、1D 2C 3C 4A 5D 6B二、7 8 98，0，2 10),()0,(1x
