1、2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算,一,二,思维辨析,一、平面向量的坐标表示 问题思考 1.如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30,且|a|=4,以向量i,j为基底,向量a如何表示?,一,二,思维辨析,2.填空:(1)平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. (2)平面向量的坐标表示 基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底. 坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=
2、(x,y),其中x叫做向量a在 x轴上的坐标,y叫做向量a在 y轴上的坐标. 坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示. 特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).,一,二,思维辨析,3.做一做:在平面直角坐标系中,若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,则向量a,b,c的坐标分别是 , , . 答案(2,-6) (0,5) (-4,0),一,二,思维辨析,二、平面向量的坐标运算 问题思考 1.设i,j是与x轴、y轴同向的两个单位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向
3、量的线性运算性质,向量a+b,a-b,a(R)如何分别用基底i,j表示? 提示a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j,a=x1i+y1j.,一,二,思维辨析,2.填空: 平面向量的坐标运算法则:若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),R,则,一,二,思维辨析,答案(1)(3,8) (2)(2,10) (-2,-10),一,二,思维辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)一个坐标对应唯一的一个向量. ( ) (2)相等的向量,即坐标是相同的. ( ) (3)相等的向量其终点坐标与起点坐标是相同的. ( )
4、 (4)一个向量的坐标等于其起点的坐标减去其终点的坐标. ( ) (5)任何平面向量都有唯一的坐标. ( ) (6)若a=(1,-2),则必有a=i-2j,其中i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量. ( ),(9)表示两个相等向量的有向线段的始点、终点是相同的. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9),探究一,探究二,探究三,向量的坐标表示 【例1】 (1)已知i,j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,a=3i-2j,b=-i+5j,求向量a+4b的坐标. (2)已知边长为2的正三角形ABC,顶点A为坐标原点,AB边在x轴上,点C在第一象限,
5、D为AC的中点,分别求向量 的坐标. 分析(1)将a+4b先用i,j表示,再转化为坐标的形式;(2)先求出点A,B,C,D的坐标,再根据点的坐标与向量坐标的关系求出向量坐标.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,解(1)因为a=3i-2j,b=-i+5j, 所以a+4b=(3i-2j)+4(-i+5j)=3i-2j-4i+20j=-i+18j, 因此向量a+4b的坐标为(-1,18). (2)如图,正三角形ABC的边长为2, 则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60,2sin 60),思维辨析,探究一,探究二,探究三,求平面向量坐标的方法: (1)若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单
6、位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y). (2)向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标,只有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标. (3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,向量的坐标运算,分析对于(1)可直接运用坐标运算法则进行计算;(2)应先求出相关向量的坐标,再运用法则计算.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,向量坐标运算要注意的问题 (1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法
7、、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,要注意三角形法则及平行四边形法则的应用. (2)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,答案A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,向量坐标运算的应用,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,平面向量坐标运算应用技巧: (1)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值. (2)利用坐
8、标运算求向量的基底表示,一般先求基底向量和被表示向量的坐标,再利用待定系数法.设c=xa+yb,在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出x,y的值.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,对点的位置情况考虑不周致误,探究一,探究二,探究三,思维辨析,在解决向量问题时,注意向量表达式之间的区别,|a|=|b|与a=b是不同的,此外还要注意对点的位置情况进行细致分析,不要出现遗漏的情况.,1,2,3,4,5,A.点A的坐标是(-2,4) B.点B的坐标是(-2,4) C.当B是原点时,点A的坐标是(-2,4) D.当A是原点时,点B的坐标是(-2,4) 解
9、析由任一向量的坐标的定义可知,当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4). 答案D,1,2,3,4,5,2.已知a=(-3,2),b=(2,3),则2a-3b等于( ) A.(-12,5) B.(12,5) C.(-12,-5) D.(12,-5) 解析2a-3b=2(-3,2)-3(2,3)=(-6,4)-(6,9)=(-12,-5). 答案C,1,2,3,4,5,3.已知e1=(2,1),e2=(1,3),a=(-1,2),若a=1e1+2e2,则实数对(1,2)为( ) A.(1,1) B.(-1,1) C.(-1,-1) D.无数对 解析1e1+2e2=(21+2,1+32),a=1e1+2e2,实数对(1,2)=(-1,1).故选B. 答案B,1,2,3,4,5,答案(7,5),1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,
