1、2.2.2 向量减法运算及其几何意义,一,二,思维辨析,一、相反向量 问题思考 1.方向相同或相反的两个向量称为什么向量?方向相同,模相等的两个向量称为什么向量? 提示方向相同或相反的两个向量叫做共线向量,方向相同,模相等的两个向量称为相等向量. 2.填空:,一,二,思维辨析,3.做一做:如图,ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,下列互为相反向量的是 ( ),答案C,一,二,思维辨析,二、向量的减法及其运算法则 问题思考 1.在实数的运算中,减去一个数,等于加上它的相反数,那么向量的减法运算能否转化为向量的加法运算呢? 提示减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 2.已知两个力的合力
2、为F,其中一个力为F1,如何求另一个力F2(如图)?提示可用三角形法则,由F1的终点指向F的终点的向量即为F2.,一,二,思维辨析,3.填空:,一,二,思维辨析,4.做一做:如图,在正方形ABCD中,对角线相交于点O,则有:,一,二,思维辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)方向相反的向量就是相反向量. ( ) (2)相反向量一定是共线向量. ( ) (3)相反向量的模一定相等. ( ) (4)向量的减法运算可以通过相反向量转化为加法运算. ( ) (5)同起点的两个向量的差向量的方向由被减向量指向减向量. ( ) (6)|a-b|a+b|. ( ),(
3、8)若a-c=b-d,则a+d=b+c. ( ) (9)若|a|=|b|,则a=b或a=-b. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9),探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,向量的减法运算 【例1】 化简下列各向量的表达式:,分析按照向量加法和减法的运算法则进行化简,进行减法运算时,必须保证两个向量的起点相同.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,向量加减法化简的两种形式: (1)首尾相连且为和; (2)起点相同且为差. 做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究
4、一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,向量减法运算的几何意义,(2)当向量a,b满足什么条件时,ABCD是矩形? (3)当向量a,b满足什么条件时,ABCD是菱形?,分析结合向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则进行分析求解.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中,各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系,能够运用向量的加法与减法进行正确的表示,同时还要熟悉常见平面图形的几何性质,能够从向量的角度,运用向量语言进行表示.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,延伸探究结
5、合本例图形分析,若a,b都是非零向量,则a+b与a-b有可能是相等向量吗? 解(1)当a,b不是共线向量时,由本例图形可知,a+b与a-b是平行四边形的两条对角线对应的向量,二者不可能相等; (2)当a,b是共线向量时,同样可以按照平行四边形法则或三角形法则,作出a+b,a-b,发现它们不可能相等. 综上,若a,b都是非零向量,则a+b与a-b不可能是相等向量.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,向量加减法的综合运用,答案平行四边形,对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用.基本思路是:先对向量条件化简、转化,再找(作)图形(三角形或平行四边形),确定图形
6、的形状,利用图形的几何性质求解.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,变式训练2如图,解答下列各题:,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,所以以AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等,所以此平行四边形为矩形,所以ABAC,所以ABC是直角三角形.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,1.用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量. (2)化归为向量问题,进行向量运算. (3)将向量问题还原为平面几何问题. 2.用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键 (1)利用向量证明线段平行且相等从而证明四边形为平行四边形,只需
7、证明对应有向线段所表示的向量相等即可. (2)根据图形灵活应用向量的运算法则,找到向量之间的关系是解决此类问题的关键.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,错用向量减法运算法则致误 【典例】,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,减法口诀:始点相同,连接终点,箭头指向被减向量.应把首尾相接的放在一起计算,始点相同的放在一起计算.必要时,可画出图象,结合图象观察将使问题更为直观.,1,2,3,4,5,1.若非零向量a,b互为相反向量,则下列说法错误的是( ) A.ab B.ab C.|a|b| D.b=-a 解析根据相反向量的定义:大小相等,方向相反,可知|a|=|b|. 答案C,1,2,3,4,5,答案B,1,2,3,4,5,3.如图,在ABC中,D为BC的中点,则下列结论错误的是( ),答案C,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,
