1、1.1.2 弧度制,一,二,三,思维辨析,一、弧度制 问题思考 1.(1)在平面几何中,1的角是怎样定义的? 提示将圆周分成360等份,每一段圆弧所对的圆心角就是1的角. (2)在我们度量长度时,有时用“米”作单位,有时用“尺”作单位,有不同的单位制,度量质量时,可以使用“千克”、“磅”等不同的单位制,角的度量除了角度制外,是否也有不同的单位制呢? 提示有不同的单位制,即弧度制. 2.填空:弧度制的定义,一,二,三,思维辨析,3.将半径为r的圆的一条半径OA,绕圆心顺时针旋转到OB,若弧AB长为2r,则AOB的大小为多少弧度? 提示-2弧度. 4.填空:弧度数的计算,一,二,三,思维辨析,5.
2、做一做:已知半径为12 cm,弧长为8 cm的弧,其所对的圆心角为,则的弧度数的绝对值是 .,一,二,三,思维辨析,二、角度制与弧度制的换算 问题思考 1.由360=2弧度,180=弧度,你能进行角的角度数与弧度数的转换吗?即1的角等于多少弧度?1弧度的角等于多少度?,一,二,三,思维辨析,2.角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的换算,一,二,三,思维辨析,(2)一些特殊角与弧度数的对应关系,一,二,三,思维辨析,答案C,一,二,三,思维辨析,三、弧度制下扇形的弧长与面积公式 问题思考 1.在弧度制下,弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式?你能推导吗?,一,二,三,思维辨析,2.填空
3、:扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,为其圆心角,则,答案5 75 60+5.,一,二,三,思维辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)1弧度的角与1度的角大小是相等的. ( ) (2)用弧度制表示角时,都是正角. ( ) (3)在大小不等的圆中,1弧度的圆心角所对的弧的长度是不同的. ( ) (4)用角度制和弧度制表示角时,单位都可以省略不写. ( ) (5)弧度的角大于的角. ( ) (6)扇形的半径为5,圆心角是60,则弧长为300. ( ) (7)扇形的面积为16,半径为4,则圆心角为1. ( ) (8)扇形的半径增加2倍,圆面积增加
4、4倍. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8),探究一,探究二,探究三,弧度与角度的互化 【例1】 (1)把11230化为弧度; (2)把 rad化成度; (3)将-1 485表示成2k+(kZ)的形式,且02.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,变式训练1已知1=-570,2=750, . (1)将1,2用弧度表示出来,并指出它们是第几象限角; (2)将1,2用角度表示出来,并在-7200范围内,找出与它们有相同终边的所有角.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探
5、究三,用弧度表示角及其范围 【例2】 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.,分析先将边界角由角度化为弧度,再根据阴影部分写出角的集合.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,用弧度制表示角应注意的问题: (1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度数不能混用. (2)在表示角的集合时,可以先写出一周范围(如-,02)内的角,再加上2k,kZ. (3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为x|x=+k,kZ;终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为 ,在进行
6、区间的合并时,一定要做到准确无误.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,变式训练2以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,弧长公式与面积公式的应用 【例3】 (1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积; (2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数. 分析(1)先求出扇形的半径,再求面积;(2)设出圆心角,建立方程组求解.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角,半径r,
7、已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得). (2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题. (3)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是02,实际问题中注意根据这一范围进行取舍.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,延伸探究本例(1)中,将条件“圆心角为2”去掉,求扇形面积的最大值.,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,混用角度制与弧度制致误,两个错解分别错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢? 提示两个错解都是由于混用了角度和弧度.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,在解决角度制和弧度制的有关问题时,要遵循转换的原则,表达的形式要符合基本的原则和规范性,即在同一个式子中角度制和弧度制不能混用.,1,2,3,4,5,1.1 920转化为弧度数是( ),答案D,1,2,3,4,5,2.下列角中,终边在y轴正半轴上的角是( ),解析根据角的概念可知, 是以x轴的正半轴为始边,顺时针旋转了270度,故在y轴的正半轴上. 答案D,1,2,3,4,5,解析角的表示必须保持度量单位一致,即角度制与弧度制不能混用,排除A;而180角与角对应,于是1角与 角对应,故选C. 答案C,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.,
