1、2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,一,二,思维辨析,一、平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示 问题思考 1.若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,则i2,j2,ij如何计算?如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab的结果能否用其坐标表示? 提示i2=1,j2=1,ij=0;ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j) =x1x2i2+x1y2ij+x2y1ji+y1y2j2=x1x2+y1y2. 2.填空:(1)平面向量数量积的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)
2、两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.,一,二,思维辨析,3.做一做:(1)若向量a=(4,-2),b=(-1,-6),则ab= . (2)若向量a=(3,x),b=(2,-6),且ab,则x= . 解析(1)ab=4(-1)+(-2)(-6)=8. (2)因为ab,所以ab=0,即32+(-6)x=0,解得x=1. 答案(1)8 (2)1,一,二,思维辨析,二、平面向量的模与夹角的坐标表示 问题思考 1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则|a|,|b|能否用其坐标表示?a,b的夹角能否用其坐标表示?,一,二,思维
3、辨析,2.填空:,一,二,思维辨析,3.做一做:(1)设a=(-2,3),则|a|= ; (2)若a=(4,-3),b=(-8,-6),则a,b夹角的余弦值等于 ;,一,二,思维辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1) 的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( ) (2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1y1+x2y2. ( ) (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且ab,则x1y1+x2y2=0. ( ) (4)若ab=|a|b|,则a,b共线. ( ) (5)若ab0,则a,b的夹角为锐角. ( ) (6)若表
4、示向量a的起点和终点分别为(-1,2)和(3,3),则|a|= . ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5) (6),探究一,探究二,探究三,思维辨析,数量积的坐标运算 角度1 数量积的基础坐标运算 【例1】 已知向量a=(-1,2),b=(3,2). (1)求a(a-b); (2)求(a+b)(2a-b); (3)若c=(2,1),求(ab)c,a(bc). 分析根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解(1)方法一:a=(-1,2),b=(3,2), a-b=(-4,0). a(a-b)=(-1,2)(-4,0)=(-1)(-4)+20=
5、4. 方法二:a(a-b)=a2-ab =(-1)2+22-(-1)3+22=4. (2)a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), (a+b)(2a-b)=(2,4)(-5,2)=2(-5)+42=-2. (3)(ab)c=(-1,2)(3,2)(2,1) =(-13+22)(2,1)=(2,1). a(bc)=(-1,2)(3,2)(2,1) =(-1,2)(32+21)=8(-1,2)=(-8,16).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,角度2 数量积的坐标运算在几何图形中的应用,探究一,探究二,探究三,
6、思维辨析,答案5,探究一,探究二,探究三,思维辨析,数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,答案(1)B (2)2,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用坐标运算解决模的问题 【例3】已知向量a=(1,2),b=(3,-1). (1)求|a-2b|; (2)求与a垂直的单位向量;
7、 (3)求与b平行的单位向量.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,答案C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用坐标运算解决夹角与垂直问题 【例4】 已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且ab,ac. (1)求b与c; (2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小. 分析(1)根据两向量平行与垂直的条件建立方程求解;(2)根据两向量的夹角公式求解. 解(1)因为ab,所以3x=49,即x=12. 因为ac,所以34+4y=0,所以y=-3.故b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=
8、2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设m,n的夹角为,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,延伸探究本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45,求实数t的值. 解由已知得c=(4,-3), 所以c+td=(4,-3)+t(2,1)=(2t+4,t-3),探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽视两向量夹角的取值范围致误,探究一,探究二,探究三,思维辨析,在解决向量夹角问题时,务必注意向量夹角的取值范围是0,尤其是与三角函数知识联系,在选取诱导公式时,应合理选择.,1,2,3
9、,4,5,1.若a=(1,-1),b=(x,2),且ab=3,则实数x等于 ( ) A.1 B.5 C.-2 D.-1 解析由已知得x-2=3,所以x=5. 答案B,1,2,3,4,5,答案D,1,2,3,4,5,答案C,1,2,3,4,5,4.已知a=(1,2),b=(-2,n),且ab,则|3a+b|= . 解析因为ab,所以-2+2n=0. 于是n=1,因此a=(1,2),b=(-2,1), 所以3a+b=(1,7),故|3a+b|=5 . 答案5,1,2,3,4,5,5.已知a=(m,6),b=(2,1),向量a与向量b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是 . 解析向量a与向量b的夹角是锐角, ab=2m+60,即m-3. 当a与b同向时, , m=12. m-3,且m12. 答案m-3,且m12,
