1、作业,P150 2, 5,3.1 多维随机变量及其联合分布 3.2 边际分布与随机变量的独立性 3.3 多维随机变量函数的分布 3.4 多维随机变量的特征数 3.5 条件分布与条件期望,第三章 多维随机变量及其分布,3.1 多维随机变量及其联合分布,3.3.1 多维随机变量,3.1.2 联合分布函数,对任意实数x 和y, 称F(x, y) = P( X x, Y y)为(X, Y )的联合分布函数.,F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.,X1,X2,x1,x2,(x1, x2),联合分布函数的基本性质,(1) F(x, y) 分别对x 和 y 是单调不减的.,(2)
2、 0 F(x, y) 1，且,F(, y) = F(x, ) =0，,F(+, +) = 1.,(3) F(x, y) 分别对 x 和 y 右连续.,(4) 当ab, cd 时，有,F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0.,注意：上式左边 = P(aXb, cY d).,(单调性),(有界性),(右连续性),(非负性),二维离散随机变量,3.1.3 联合分布列,若(X, Y ) 的可能取值为有限对、或可列对， 则称(X, Y )为二维离散随机变量.,二维离散分布的联合分布列,称 pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, .,为(X,Y) 的
3、联合分布列，,其表格形式如下:,Y,X,y1 y2 yj ,x1 x2 xi ,p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j ,联合分布列的基本性质,(非负性),(正则性),确定联合分布列的方法,(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对.,(2) 计算取每个数值对的概率.,(3) 列出表格.,例3.1.1 将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数. 求 (X, Y) 的联合分布列.,X Y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0,P(X=0, Y=4)=,P(X=2, Y=2)=,=1/4,=6/16,P(X=3, Y=1)=,=
4、1/4,P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16,P(X=1, Y=3)=,0.54=1/16,解：概率非零的(X, Y ) 可能取值对为:,其对应的概率分别为：,X 0 1 2 3 4,Y 0 1 2 3 4,列表为：,0 0 0 0 1/160 0 0 1/4 00 0 6/16 0 00 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0,例3.1.2 设随机变量 Y N(0, 1),解: (X1, X2) 的可能取值数对及相应的概率如下：,P(X1=0, X2=0) = P(|Y|1, |Y|2),= P(|Y|2),= 2 2(2) = 0.0455,P(X1=0, X2=1) =
5、P(|Y|1, |Y|2),= P(1|Y|2),= 2(2) (1),= 0.2719,P(X1=1, X2=0) = P(|Y|1, |Y|2) = 0,P(X1=1, X2=1) = P(|Y|1, |Y|2),= P(|Y|1),= 0.6826,求,的联合分布列.,列表为：,X101,X2 0 1,0.0455 0.27190 0.6826,课堂练习,设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地取值,另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能地取一整数值.试求（X, Y）的联合分布列.,设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y
6、)，使得,3.1.4 联合密度函数,则称 (X, Y) 为二维连续随机变量,称 p(x, y) 为联合密度函数.,联合密度函数的基本性质,(1) p(x, y) 0. (非负性),(2),注意：,(正则性),一、多项分布,3.1.5 常用多维分布,若每次试验有r 种结果：A1, A2, , Ar,记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, , r.,记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.,则 (X1, X2, , Xr)的联合分布列为：,二、多维超几何分布,从中任取 n 只，,记 Xi 为取出的n 只球中，第i 种球的只数.,口袋中有 N 只球，分成 r 类 .,第 i
7、种球有 Ni 只，N1+N2+Nr = N.,则 (X1, X2, , Xr)的联合分布列为：,三、二维均匀分布,若二维连续随机变量 (X, Y ) 的联合密度为：,则称 (X, Y) 服从 D 上的均匀分布，,记为 (X, Y) U (D) .,其中SD为D 的面积.,若为三维随机变量，则联合密度为,四、二维正态分布,若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：,则称 (X, Y) 服从二维正态分布，,解:,所以, A=6,=A/6,例3.1.3,试求常数 A.,若 (X, Y) ,解: P X2, Y1,2,1,x2, y1,例3.1.4若 (X, Y) ,试求 P X 2, Y 1.
8、,例3.1.5,若 (X, Y) ,试求 P(X, Y)D, 其中D为 2x+3y6.,解 P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,3,2,2x+3y=6,小 结,多维随机变量 联合分布函数 离散随机变量联合分布列、性质 连续随机变量联合密度函数、性质 常用多维分布 多项分布、多维超几何分布、多维均匀分布、二维正态分布,作 业,P160 4, 10, 13,3.2 边际分布与随机变量的独立性,问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，,如何求出 X 和 Y 各自的分布？,3.2.1 边际分布函数,已知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，,所以，,Y FY (y) = F(+
9、 , y).,X FX (x) = F(x, +),3.2.2 边际分布列,巳知 (X, Y) 的联合分布列为 pij，,则,X 的分布列为：,Y 的分布列为：,X,Y,1,3.2.3 边际密度函数,已知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)，,则,所以X 的边际密度函数为 ：,同理, Y 的边际密度函数为 ：,由联合分布可以求出边际分布. 但由边际分布一般无法求出联合分布. 所以联合分布包含更多的信息.,注 意 点 (1),二维正态分布的边际分布是一维正态：,注 意 点 (2),即服从二维正态分布的随机变量的两个分量仍服从正态分布.,二维正态分布的边际分布是一维正态：,注 意 点
10、(2),二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.,例3.2.1 设 (X, Y)服从区域 D=(x, y), x2+y2 1 上的均匀分布，求X 的边际密度 pX (x).,解: 由题意得,-1,1,当|x|1时，p(x, y)=0，所以 p X(x)=0,当|x|1时,所以X 不服从均匀分布.,例3.2.2 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为,求概率PX+Y1.,解:,PX+Y1,y=x,x+y=1,1/2,3.2.4 随机变量间的独立性,随机变量X1, X2, , Xn 相互独立的关键是下式成立,若(X,Y )满足以下之一:i) F(x, y) = FX(x)FY(y);ii)
11、 pij = pipj;iii) p(x, y) = pX(x)pY(y). 则称 X 与Y 是独立的.,对于二维随机变量(X, Y ),(1) X 与Y是独立的, 其本质是：,注 意 点,对任意实数a, b, c, d，有,(2) X 与Y 是独立的, 则它们的函数g(X)与h(Y)也是独立的.,例3.2.3,(X, Y ) 的联合分布列为:,问X 与Y 是否独立？,解: 边际分布列分别为:,X 0 1 P 0.7 0.3,Y 0 1 P 0.5 0.5,因为,所以不独立,判断独立需对所有可能取值进行验证,例3.2.4,已知 (X, Y) 的联合密度为,问 X 与Y 是否独立？,注：p(x,
12、 y) 是可分离变量.,解: 边际分布密度分别为:,例3.2.5 设(X,Y ) , 求证X 和Y相互独立的充要条件为参数,证明 因为X,Y 的联合密度为,又因为关于X, Y 的边际密度分别为,所以,因此,(2)如果X 和Y 相互独立,则对于所有的x, y有 p(x,y)= pX(x) pY(y),从而,(1)若 则对于所有的x, y,有p(x,y)= pX(x)pY(y) 即X 和Y 相互独立.,特别,令 则有,注 意 点 (1),(1) (X, Y) 服从矩形上的均匀分布，则X与Y 独立.,(2) (X, Y) 服从单位圆上的均匀分布，则 X与Y 不独立. 见前面例子,(3) 联合密度 p
13、(x, y) 的表达式中，若 x 的取值与 y 的 取值有关系，则 X 与Y 不独立.,注 意 点 (2),(4) 若联合密度 p(x, y) 可分离变量，即p(x, y) = g(x)h(y)则 X与Y 独立.(习题3.2 16题),(5) 若 (X, Y) 服从二维正态 N ( )则 X与Y 独立的充要条件是 = 0.,小 结,边际分布 边际分布函数 边际分布列 边际密度函数 随机变量间的独立性 本质是事件的独立性.,作 业,P172 2, 9(1), 18,3.3 多维随机变量函数的分布,问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，,如何求出 Z=g (X, Y)的分布？,设(X1,
14、X2, , Xn) 是n维离散随机变量，则 Z = g(X1, , Xn) 是一维离散随机变量.,3.3.1 多维离散随机变量函数的分布,(2) 多维离散随机变量函数的分布是容易求的：,i) 对(X1, X2, , Xn)的各种可能取值对，写出 Z 相应的取值.,ii) 对Z的相同的取值，合并其对应的概率.,3.3.2 最大值与最小值分布,例3.3.1 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布列.,解,X 0 1 P 1/2 1/2,Y 0 1 P 1/2 1/2,Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1,P(Z=0) = P(X=
15、0, Y=0),= P(X=0)P(Y=0),=1/4,P(Z=1),= 3/4,= P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1),设 X1, X2, Xn, 独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 FX(x) 和 pX(x).,一般情况,若记,Y = max (X1, X2, Xn),Z = min (X1, X2, Xn),则,Y 的分布函数为:,FY (y) = FX(y)n,Y 的密度函数为:,pY(y) = nFX(y)n1 pX(y),Z 的分布函数为:,FZ(z) = 11 FX(z)n,Z 的密度函数为:,pZ(z) = n1 FX(z)n1
16、pX(z),设二维连续随机变量(X,Y)的概率密度为p(x,y),一维连续随机变量Z=f (X,Y),则Z=f (X,Y)的分布函数为,其中D=(x,y)|f(x,y)z.,在p(x,y)的连续点处, 一维连续随机变量Z=f(X,Y)的概率密度为,设X 和Y 的联合密度为p (x,y),求Z=X+Y 的概率密度.,解 Z=X+Y的分布函数是:FZ(z)=P(Z z)=P(X+Y z),这里积分区域 D=(x, y): x+y z 是直线 x+y = z 左下方的半平面.,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代 换, 令x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数
17、的关系, 得Z=X+Y的概率密度为:,由X 和Y 的对称性,pZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X, Y的边际密度分别为pX(x) , pY(y) , 则上述两式化为:,这就是所谓的卷积公式 .,3.3.3 连续场合的卷积公式,定理3.3.1 设连续随机变量X与Y 独立，则 Z=X+Y 的密度函数为,离散场合的卷积公式,设离散随机变量 X 与 Y 独立，则 Z=X+ Y 的分布列为,例3.3.2 设X与Y 是独立同分布于N(0,1),求 Z = X+ Y 的分布.,解,所以 Z = X+ Y N(0, 2).,由卷积公式得
18、,分布的可加性,若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.,二项分布的可加性,若 X b(n1, p)，Y b(n2, p)，,注意：若 Xi b(1, p)，且独立，则Z = X1 + X2 + + Xn b(n, p).,且独立，,则 Z = X+ Y b(n1+n2, p).,Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p, 于是 Z 是以n1+n2，p为参数的二项随机变量，即Z b(n1+n2, p).,=a0br+a1br-1+arb0,泊松分布的可加性,若 X P(1) ，Y P(2)，,注意： X Y 不服从泊
19、松分布.,且独立，,则 Z = X+ Y P(1+2).,证,（因X与Y相互独立）,正态分布的可加性,注意： X Y 不服从,独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下),独立正态变量的线性组合仍为正态变量,Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ., an 不全为零, 则,伽玛分布的可加性,若 X Ga(1, )，Y Ga(2, ) ，,注意： X Y 不服从 Ga(12, ).,且独立，,则 Z = X + Y Ga(1+2, ).,证,2 分布的可加性,若 X 2( n1 )，Y 2( n2 ) ，,注意： (1) X Y 不
20、服从 2 分布.,且独立，,则 Z = X + Y 2( n1+n2).,(2) 若 Xi N(0, 1)，且独立，则Z =, 2( n ).,注 意 点,(1) 独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布.,(2) 独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布.,例3.3.3 设 X 与 Y 独立，XU(0, 1), YExp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数.,解:,被积函数的非零区域为：,00,用卷积公式：,(见下图),x,z,1,z = x,因此有,(1) z 0 时,pZ(z) = 0 ;,(2) 0 z 1 时,(3) 1 z 时,1,被积函数的非零区域为：,00,另一解法,(1)
21、 z 0 时,(3) 1 z 时,(2) 0 z 1 时,3.3.4 变量变换法,已知 (X, Y) 的分布， (X, Y) 的函数,求 (U, V) 的分布.,变量变换法的具体步骤,有连续偏导、存在反函数,则 (U, V) 的联合密度为,若,其中J为变换的雅可比行列式：,例3.3.4 设(X1, X2)具有密度函数 p(x1, x2). 令Y1= X1+X2，Y2= X1-X2 试求Y1和Y2的联合密度函数.,故由(3.3.21)式,所求密度函数为,解 令y1= x1+x2, y2= x1-x2，则逆变换为,增补变量法,可增补一个变量V = g2(X, Y) ，,若要求 U = g1(X,
22、Y ) 的密度 pU (u) ，,先用变量变换法求出 (U, V)的联合密度pUV(u, v)，,用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式,然后再由联合密度pUV(u, v)，去求出边际密度pU(u),例3.3.5 设(X1, X2)具有密度函数p (x1, x2), 求Y=X1X2的概率密度.,按(3.3.21)式得Y 和Z 的联合密度为,解 令Y= X1X2, Z= X1, 它们构成(x1, x2)到(y, z)的一对一的变换, 逆变换为: x1=z, x2= y / z,雅可比行列式为:,增补一变量,按(*)式得Y和Z的联合密度为,再求Y 的概率密度,此即求两个随机变量乘积 的密度函
23、数公式,小 结,多维离散随机变量函数的分布 最大值、最小值的分布 连续场合的卷积公式 变量变换法变量变换法、增补变量法,作 业,P190 7, P191 27, P193 41,本节主要给出多维随机变量的数学期望、方差、协方差和相关系数等概念，并讨论相关性质.,3.4 多维随机变量的特征数,3.4.1 多维随机变量函数的数学期望,定理 3.4.1 设 (X, Y) 是二维随机变量， Z = g(X, Y)，则,E(Z) = Eg(X, Y),例3.4.1设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X 2+Y的数学期望.,E(Z)=g(1,1)1/8+g(1,2)1/4+g(2,
24、1)1/2+g(2,2)1/8,解,=4.25,例3.1.2 设随机变量X和Y相互独立,概率密度分别为,求E(XY).,解, g(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立.,3.4.2 数学期望与方差的运算性质,1. E(X+Y)=E(X)+E(Y),2. 当X与Y独立时, E(XY)=E(X) E(Y).,(性质3.4.1),(性质3.4.2),特别，当Xi (i=1,2, ,n)相互独立时,性质3.4.1设X,Y是两个随机变量,若E(X), E(Y)存在,则E(X+Y)=E(X)+E(Y).,证 设连续随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x), pY(y),
25、则,性质3.4.2 设X,Y是互相独立的随机变量,则有E( XY )= E(X )E(Y ).,证明 设连续随机向量(X, Y )的联合密度和边际密度分别为p(x,y)和pX(x), pY(y),则,例3.4.3 将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数 X 的期望.,解,引入随机变量:,则X=X1+X2+XM ,于是,E(X)=E(X1)+E(X2)+ +E(XM).,每个随机变量Xi都服从两点分布,i=1,2,M.,因每个球落入每个盒子是等可能的,均为1/M,所以对第i个盒子,一个球不落入这个盒子内的概率为(1-1/M).,故n个球都不落入这个盒子内的概率为(
26、1-1/M)n,即,讨论 X+Y 的方差,1. Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2EXE(X)YE(Y),3. 当X与Y独立时，EXE(X)YE(Y) = 0.,4. 当X与Y独立时， Var(X Y) = Var(X)+ Var (Y) .,2. EXE(X)YE(Y) = E(XY) E(X)E(Y),注意：以上命题反之不成立.,仅证4.,证 Var(XY)=E(XY)-E(XY)2=E(X-E(X) (Y-E(Y)2=EX-E(X)2+EY-E(Y)22EX-E(X) Y-E(Y),由于X,Y相互独立,知X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立,从而有2EX-E(X) Y
27、-E(Y)=2EX-E(X)EY-E(Y)=0.,于是得 Var(XY)=Var(X)+Var(Y).,3.4.3 协方差,定义3.4.1 称 Cov(X, Y) = EXE(X)YE(Y),为 X 与 Y 的协方差.,协方差的性质,(1) Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y). (性质3.4.4),Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),证 Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,协方差的性质,(1) Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y)
28、. (性质3.4.4),(2) 若 X 与 Y 独立, 则Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5),(3) Var(XY) = Var(X)+Var(Y) 2Cov(X, Y) (性质3.4.6),一般地有,当X1, X2, , Xn相互独立时，,协方差的性质,(4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性质3.4.7),(1) Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y). (性质3.4.4),(2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5),(3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2 Cov(X, Y) (性
29、质3.4.6),性质3.4.7 Cov(X, Y)=Cov(Y, X),证 Cov(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y)= E(Y-E(Y) (X-E(X)= Cov(Y, X),协方差的性质,(4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性质3.4.7),(1) Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y). (性质3.4.4),(2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5),(3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2 Cov(X, Y) (性质3.4.6),(5) Cov(X, a) = 0. (性质3.4.8
30、),因E(a)=a, 代入(1)即得.,协方差的性质,(4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性质3.4.7),(1) Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y). (性质3.4.4),(2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5),(6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性质3.4.9),(3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2 Cov(X, Y) (性质3.4.6),(5) Cov(X, a) = 0. (性质3.4.8),性质3.4.9 Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
31、,a,b是常数.,证 Cov(aX, bY)=E(aX-E(aX)(bY-E(bY)=Ea(X-E(X)b(Y-E(Y)=abEX-E(X)Y-E(Y)=abCov(X, Y),协方差的性质,(4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性质3.4.7),(1) Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y). (性质3.4.4),(2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5),(6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性质3.4.9),(3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2 Cov(X, Y)
32、 (性质3.4.6),(5) Cov(X, a) = 0. (性质3.4.8),(7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性质3.4.10),性质3.4.10 Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z),证 Cov(X+Y,Z)= E(X+Y)-E(X+Y)Z-E(Z)= E(X-E(X)+(Y-E(Y)Z-E(Z)= EX-E(X)Z-E(Z)+Y-E(Y)Z-E(Z)= EX-E(X)Z-E(Z)+EY-E(Y)Z-E(Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z),协方差的性质,(4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性质
33、3.4.7),(1) Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y). (性质3.4.4),(2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5),(6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性质3.4.9),(3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2 Cov(X, Y) (性质3.4.6),(5) Cov(X, a) = 0. (性质3.4.8),(7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性质3.4.10),课堂练习1,X 与 Y 独立，Var(X) = 6，Var(Y) =
34、 3，则 Var(2XY) = ( ).,27,课堂练习2,X P(2)，Y N(2, 4)， X与Y独立，则 E( XY) = ( ); E( XY)2 = ( ).,4,22,解：记 “Xi = 1” = “第 i 个人拿对自己的礼物”“Xi = 0” = “第 i 个人未拿对自己的礼物”,配对模型的数学期望和方差,例3.4.4 n 个人、n 件礼物，任意取. X 为拿对自已礼物的人数，求 E(X), Var(X),则,因为 E(Xi) = 1/n, 所以 E(X) = 1.,又因为,所以 E(XiXj) = 1/n(n1),XiXj,P,0 1,11/n(n1) 1/n(n1),由此得,
35、又因为,所以先计算 E(XiXj),XiXj的分布列为,所以,3.4.4 相关系数,定义3.4.2 称 Corr(X, Y) =,为 X 与 Y 的相关系数.,有的教材也记为,若记,注 意 点,则,相关系数的性质(1),(1) 施瓦茨不等式, Cov(X, Y) 2 Var(X)Var(Y).,证 考虑实变量t 的二次函数,g(t)=Et(X-E(X)+(Y-E(Y) 2,g(t) 0 , 且平方项系数大于0, 故其判别式小于或等于0,即,将上式整理即得.,相关系数的性质(2),(2) 1 Corr(X, Y) 1.,(3) Corr(X, Y) = 1,X 与 Y 几乎处处有线性关系,即,(
36、性质3.4.11),(性质3.4.12),P(Y=aX+b)=1.,证 令,则,从而 |Corr(X,Y)|1.,(3),由Corr(X,Y)2=E(X*Y*)2E(X*2)E(Y*2)=1,知|Corr(X,Y)|=1等价于E(X*Y*)2-E(X*2)E(Y*2)=0,它又等价于h(t)=E(tX*-Y*)2=0有重根t0.,又因为E(t0X*-Y*)=t0E(X*)-E(Y*)=0,所以Var(t0X*-Y*)=0,由方差的性质知它等价于Pt0X*-Y* =0=1,即PY=aX+b=1 其中,Corr(X, Y) 的大小反映了X与Y之间的线性关系：,注 意 点,Corr(X, Y) 接近
37、于1， X 与 Y 间 正相关.,Corr(X, Y) 接近于 1， X 与 Y 间 负相关.,Corr(X, Y) 接近于 0， X 与 Y 间 不相关.,没有线性关系,例3.4.5 设 (X, Y) 的联合分 布列为,求 X, Y 的相关系数.,解:,= 0,同理,= 3/4,E(Y) = E(X) = 0,另一方面,= 1/81/81/8+1/8,= 0,所以,Cov(X, Y),即 Corr(X, Y) = 0,E(Y2) = E(X2) = 3/4,= E(XY)E(X)E(Y) = 0,例3.4.6,求 X, Y 的相关系数.,解,= 7/6,= 5/3,所以, Var(X) =
38、Var(Y) = 11/36,= 4/3,(X, Y) ,二维正态分布的特征数,(1) X N( 1, 12), Y N( 2, 22);,(2) 参数 为 X 和 Y 的相关系数;,(4) 不相关与独立等价.,3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵,定义3.4.3 记,称,，则,为,的协方差阵，记为,或,定理3.4.2 协方差阵对称、非负定.,协方差阵的性质,称,注 意 点,为,的相关矩阵.,课堂练习1,设 X N(0, 1), Y N(0, 1), Var(XY) = 0, 求 (X, Y) 的协差阵 .,课堂练习2,设 X, Y 的协差阵为,求相关阵 R.,小 结,作业,P205 5
39、P207 13, 16,复习上次课内容,多维随机变量函数的数学期望数学期望和方差性质,Eg(X, Y),复习上次课内容,多维随机变量函数的数学期望 数学期望和方差性质 协方差 协方差的性质,(4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性质3.4.7),(1) Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y). (性质3.4.4),(2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5),(6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性质3.4.9),(3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2 Cov(X, Y)
40、(性质3.4.6),(5) Cov(X, a) = 0. (性质3.4.8),(7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性质3.4.10),复习上次课内容,多维随机变量函数的数学期望 数学期望和方差性质 协方差 协方差的性质 相关系数 相关系数的性质,复习上次课内容,多维随机变量函数的数学期望 数学期望和方差性质 协方差 协方差的性质 相关系数 相关系数的性质 随机向量的数学期望与协方差阵,3.5 条件分布与条件期望,条件分布是条件概率的推广. 本节主要讨论关于二维离散随机变量的条件分布列和关于二维连续随机变量的条件密度函数.,二维随机变量(X, Y
41、)之间主要表现为独立与相依两类关系.许多问题中有关的随机变量取值是相互影响的,条件分布是研究随机变量的相依关系的一个有力工具.,3.5.1 条件分布,定义3.5.1 设,是二维离散随机变量,其联合分布列,X和Y的边际分布列分别为 和,对于给定的j,如果 P(Y= yj )0, 则称,为在Y= yj 的条件下随机变量X的条件分布列. 类似的有Y的条件分布列,定义3.5.2,所以, 在X+Y=n 条件下, X 服从,解,连续随机变量的条件分布,对于离散随机变量我们有条件分布列 PX=xi|Y=yj= PX=xi,Y=yj/ PY=yj 对于连续随机变量,容易想到用 PXx|Y=y= PXx,Y=y
42、/PY=y 来作为已知Y=y 发生的条件下X的条件分布函数. 但问题是PXx,Y=y=0,PY=y=0.,设(X,Y)的分布函数为F(x,y), 联合密度为p(x,y). 若p(x,y)在点(x,y)处连续,边际密度pY(y)连续,且pY(y)0,则有,积分中值定理,例3.5.2 设二维随机变量,服从单位圆,上的均匀分布,求:(1)在,的条件下Y的条件密度函数;(2)在,的条件下X的条件密度函数.,解 X 和Y的边际密度分别为,.,在Y=X的条件下X的条件密度函数,例3.5.3 设(X,Y)N(1,2,12,22,),求条件概率密度函数.,同理可得,连续场合的全概率公式和贝叶斯公式,全概率公式
43、,贝叶斯公式,全概率公式,贝叶斯公式,由边际分布无法得到联合分布,但由边际分布和条件分布就可得到联合分布.,解,定义3.5.4 条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，其定义如下：,3.5.2 条件数学期望,解 因为,例3.5.5 设如果 已知Y=y, 试求EX|Y=y.,这是 分布的密度函数,因而均值为,若y = f (x)是连续函数,且Ef(X)|Y=y存在,则,(1)若(X,Y)为二维离散随机变量,则,(2)若(X,Y)为二维连续随机变量,则,不加证明地给出下面的结论:,定理3.5.1（重期望公式）设(X,Y)是二维随机变量,且E(X)存在,则 E(X) =E(E(X|Y) (3.5.
44、17),证 (1)设(X,Y)为二维离散随机变量,则,(2)设(X,Y)为二维连续随机变量,证毕.,注 意,(1)若Y是一个离散随机变量(3.5.17)式成为,(2)若Y是一个连续随机变量(3.5.17)式成为,解,设矿工需要X小时到达安全区,Y表示第一次所选的门.,解,设得到的总分数为X, Y表示第一次取到的球号.,解,因此工厂每个月的平均利润为,离散随机变量的条件分布连续随机变量的条件分布连续场合的全概率公式和贝叶斯公式条件数学期望重期望公式,小 结,第三章 习题课,本章主要内容,多维随机变量 联合分布函数,性质,离散随机变量联合分布列、性质连续随机变量联合密度函数、性质常用多维分布 多项
45、分布、多维超几何分布、多维均匀分布、二维正态分布,非负性；正则性.,边际分布 边际分布函数 边际分布列 边际密度函数 随机变量间的独立性（本质是事件的独立性）,多维离散随机变量函数的分布最大值、最小值的分布连续场合的卷积公式变量变换法变量变换法、增补变量法,变量变换法的具体步骤,有连续偏导、存在反函数,则 (U, V) 的联合密度为,若,其中J为变换的雅可比行列式：,多维随机变量函数的数学期望数学期望和方差性质,Eg(X, Y),协方差 协方差的性质,(4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性质3.4.7),(1) Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y). (性质
46、3.4.4),(2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5),(6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性质3.4.9),(3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2 Cov(X, Y) (性质3.4.6),(5) Cov(X, a) = 0. (性质3.4.8),(7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性质3.4.10),相关系数 相关系数的性质,随机向量的数学期望与协方差阵,离散随机变量的条件分布连续随机变量的条件分布连续场合的全概率公式和贝叶斯公式条件数学期望重期望公式,例1若,试求:(1)常数A;(2)PX2, Y1;,(3) PXx,Yy.,解(1),所以,A=6.,=A/6=1,(4)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,所以,P X2, Y1,2,1,X2, Y1,
