1、1第 03 节 简单的三角恒等变换【考纲解读】考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测简单的三角恒等变换掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.2014 浙江文 4,18；理4，18；2015 浙江文 11,16；理11；2016 浙江文 11；理10，16；2017 浙江 14，18；2018 浙江 18.1.和（差）角公式；2.二倍角公式；3.和差倍半的三角函数公式的综合应用.4.对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.5.备考重点：(
2、1) 掌握和差倍半的三角函数公式；(2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.【知识清单】1. 两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C( )：cos( )cos cos sin sin ；C( )：cos( )cos cos_ sin_ sin ；S( )：sin( )sin cos cos sin ；S( )：sin( )sin_ cos_ cos sin ；T( )：tan( )Error!；T( )：tan( )Error!.变形公式：tan tan tan( )(1tan tan )；.函数 f()acos bsin (a，b 为常数)，可以化为 f()sin()
3、或 f()cos()，其中 可由 a，b 的值唯一确定2. 二倍角公式的运用公式的应用2二倍角的正弦、余弦、正切公式：S2 ：sin 2 2sin_ cos_ ； C2 ：cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 112sin 2 ；T2 ：tan 2 Error!.变形公式：cos2 Error!，sin 2 Error!1sin 2 (sin cos )2,1sin 2 (sin cos )2【重点难点突破】考点 1 两角和与差的三角函数公式的应用【1-1】 【2018 河南省名校联盟第一次段考】已知圆 ： ，点 ，记射线 与 轴正半轴所夹的锐角为 ，将点 绕圆心 逆时针旋转 角度
4、得到点 ，则点 的坐标为_【答案】【解析】设射线 OB 与 轴正半轴的夹角为 ，有已知有，所以 ，且，C 点坐标为 .【1-2】已知： ， ，且，则 =_.【答案】3【1-3】 【2018 年浙江卷】已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（ ） （）求 sin（ +）的值；（）若角 满足 sin（ + ）= ，求 cos 的值【答案】 （） , （） 或【解析】分析：（）先根据三角函数定义得 ，再根据诱导公式得结果， （）先根据三角函数定义得 ，再根据同角三角函数关系得 ，最后根据 ，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（）由角 的终边过点 得 ，所以 .
5、点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【领悟技法】1运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan tan tan( )(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等2应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思
6、维向逆向思维转化的能力，只4有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用提醒：在 T( )与 T( )中， ， ， 都不等于 kError!( kZ)，即保证tan ，tan ，tan( )都有意义；若 ， 中有一角是 kError!( kZ)，可利用诱导公式化简【触类旁通】【变式一】 【2018 江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 故选 D.【变式二】已知 均为锐角，且 ， （）求 的值； （）求 的值【答案】 （） （） 5【变式三】已知函数 的部分图像如图所示.（）求函数 )的解析式，并写出 的单调减区间； （）
7、的内角分别是 A,B,C.若 , ,求 的值.【答案】 （） 的单调减区间为 . （） . 【解析】 （）由图象最高点得 A=1， 由周期 . 当 时， ，可得 ，因为 ，所以 . 由图象可得 的单调减区间为 . （）由（）可知， , ， ， . 6. . 考点 2 二倍角公式的运用公式的应用【2-1】 【2018 年新课标 I 卷文】已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，且 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到 ，利用 ，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得 ，从而得到 ，再结合 ，从而得到，从而确定选项.详
8、解：根据题的条件，可知 三点共线，从而得到 ，因为 ，解得 ，即 ，所以 ，故选 B.【2-2】 【2017 浙江 ZDB 联盟一模】已知 ， ，则 _， _【答案】 【解析】因为 ， ，所以 7因为 ，所以 ，因此 .【2-3】 【江苏省淮安市五模】已知 ，且 ，则 的值为 【答案】【解析】由 得 ，而 ，则 ，所以 ，又 ，则 ，所以；【领悟技法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角” ，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征” ，分析结构特征，找到变形的方向【触
9、类旁通】【变式一】已知 ， ，则 的值为（ ）A B C D【答案】A8【变式二】已知 ，且 ，则 的值为_.【答案】【解析】因为，所以 ， ，又因为，所以 .【变式三】已知 ，（1）求 的值；（2）求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】 （1）由 得（2）原式考点 3 三角恒等式的证明【3-1】求证：Error!Error!sin 2 .【解析】左边Error!Error!Error!2cos sinError!cosError!Error!sin cos Error!sin 2 右边原式成立9【3-2】求证：Error!Error!2cos().【解析】证法一：右边Error!Er
10、ror!Error!Error!左边.证法二：Error!Error!Error!Error!2cos()，所以Error!2cos()Error!.【3-3】已知 ， ，且 ， .证明： .【解析】 ，即 ，又 ， ， ， ，.【领悟技法】1.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同 (2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径常用代入法、消元法、两头凑等方法（3）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”
11、变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等2.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2 ( )( )；10 Error!Error!；Error! .（3）化简技巧：切化弦、 “1”的代换等【触类旁通】【变式一】求证： .【解析】左边Error!右边故原式得证【变式二】已知 ，证明：.11考点 4 三角函数公式的综合应用【4-1】 【2018 湖北省部分重点中学起点】设函数 ，其中 ，则导数 f (1)的取值范围是_【答案】 ，2【解析】由题【4-2】 【2018 届浙江省杭州市第二中学 6 月热身】已知 ，则_； _【答案】 或 . .【解析】分析：
12、先把 两边平方得到 ，利用弦切互化所得方程可以化成关于 的方程，解出 后可求 详解：由 可以得到 ，故 ，也就是 ，整理得到 ，故 或 当 时， ；12当 时， 故填 或 ， 【4-3】 【2018 届江苏省南京市三模】在平面直角坐标系 中，锐角 的顶点为坐标原点,始边为 轴的正半轴，终边与单位圆 的交点分别为 已知点 的横坐标为 ，点的纵坐标为 （1）求 的值；（2）求 的值.【答案】 （1） ；（2） .（2）因为点 Q 的纵坐标为 ，所以 sin 又因为 为锐角，所以 cos 因为 cos ，且 为锐角，所以 sin ，因此 sin2 2sin cos ， 所以 sin(2 ) 因为 为
13、锐角，所以 02 13又 cos2 0，所以 02 ，又 为锐角，所以 2 ，所以 2 点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第 2 问易错，再求得sin(2 ) 后，容易错误地得到 2 或 研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出 2 ，再得出 2 【领悟技法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中需要利用这些公式，先把函数解析式化为 的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质 【触类旁通】【变式一
14、】 【2018 届山东省桓台第二中学 4 月月考】已知函数为奇函数，且 ，其中 （）求 的值；（）若 ， ，求 的值【答案】 （1） （2） 或 【解析】试题分析：（1）由 为奇函数得 ，解得 的值；再根据，得 （2）根据 解析式化简得，再根据两角和正弦余弦公式以及二倍角公式化简得的值14（）由（）知 因为所以又 ，所以 或 由所以 由 ， 得所以 15综上， 或【变式二】 【2017 浙江温州二模】已知函数 （1）求函数 的最小正周期；（2）若 ， ，求 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题解析：（1）函数 的最小正周期是（2） ， ，又 . ， .【易错试题常警惕】易错典例：若
15、 sin ，cos 是关于 x 的方程 5x2 x a0( a 是常数)的两根， (0，)，求 cos 2 的值易错分析：不注意挖隐含条件，角 的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误正确解析：由题意知：sin cos Error!，(sin cos )2Error!.sin 2 Error!，即 2sin cos Error!0.则 sin 与 cos 异号又 sin cos Error!0，Error! Error!.2 Error!.故 cos 2 Error!.温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选
16、取.16【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好，隔裂分家万事休。“数“与“形“反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数“或“以数解形“即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】在平面坐标系 中，直线 与圆 相交于 ,（ 在第一象限）两个不同的点，且 则 的值是 （ ）A B C D 【答案】A【解析】如图，则 ， ,即, ，由题意得， ,又 ， , 17
