1、第 五 章 空 间 与 图 形 解 直 角 三 角 形 考 点 一 锐 角 三 角 函 数 在 中 ， ， ， ， ， 则 ， ， 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 示 意 图 考 点 二 解 直 角 三 角 形 在 中 ， ， 、 、 的 对 边 分 别 为 、 、 ， 则 有 下 列 关 系 ： （ ） 直 角 三 角 形 角 的 关 系 ： （ ） 直 角 三 角 形 边 的 关 系 ： （ ） 直 角 三 角 形 边 角 的 关 系 ： ， ， 坡 度 与 坡 角 ： 如 图 ， 通 常 把 坡 面 的 铅 直 高 度 和 水 平 宽 度 的 比 叫 做 坡 度 ， 用 字 母 表
2、示 ， 即 ， 坡 度 一 般 写 成 的 形 式 坡 面 与 水 平 面 所 夹 的 锐 角 叫 做 坡 角 ， 记 作 ， 则 有 方 向 角 ： 如 图 ， 点 位 于 点 的 北 偏 东 方 向 ， 而 点 位 于 点 的 南 偏 东 方 向 图 图 方 法 一 运 用 锐 角 三 角 函 数 进 行 边 角 计 算 的 方 法锐 角 三 角 函 数 是 在 直 角 三 角 形 中 定 义 的 ， 没 有 直 角 三 角 形 时 ， 需 要 通 过 转 移 角 或 添 加 辅 助 线 构 造 直 角 三 角 形 ， 把 锐 角 放 在 直 角 三 角 形 中 进 行 相 关 计 算 转
3、 移 角 的 方 法 同 角 或 等 角 的 余 （ 补 ） 角 相 等 对 顶 角 相 等 平 行 四 边 形 的 对 角 相 等 同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 全 等 （ 相 似 ） 三 角 形 的 对 应 角 相 等 等 边 对 等 角 构造直 角 三 角形的 方 法 作垂线 （ 作 高） 切线的 性 质 等腰三 角 形三线合一 连接直 径 后， 直 径所 对的圆周 角是直角 垂径定 理 例 如 图 ， 在 中 ， 点 是 的 中 点 ， 延 长 到 点 ， 使 ， 连 接 ， 若 ， ， ， 则 的 长 等 于 （ ） 解 析 ， ， 过 点 作 ， 交 于 点 ， ， 在
4、中 ， ， ， ， （ ） ， 答 案 变 式 训 练 （ 山 东 青 岛 ， ， 分 ） 如 图 ， 是 长 为 ， 倾 斜 角 为 的 自 动 扶 梯 ， 平 台 与 大 楼 垂 直 ， 且 与 年 中 考 年 模 拟 扶 梯 的 长 度 相 等 ， 在 处 测 得 大 楼 顶 部 的 仰 角 为 ， 求 大 楼 的 高 度 （ 结 果 保 留 整 数 ） ( 参 考 数 据 ： ， ， ， )解 析 过 作 于 ， 在 中 ， ， ， ， 四 边 形 是 矩 形 在 中 ， ， ， 答 ： 楼 高 约 为 米 （ 分 ）变 式 训 练 （ 江 苏 镇 江 ， ， 分 ） 某 海 域 有
5、、 两 个 港 口 ， 港 口 在 港 口 北 偏 西 的 方 向 上 ， 距 港 口 海 里 有 一 艘 船 从 港 口 出 发 ， 沿 东 北 方 向 行 驶 一 段 距 离 后 ， 到 达 位 于 港 口 南 偏 东 方 向 的 处 求 该 船 与 港 口 之 间 的 距 离 即 的 长 （ 结 果 保 留 根 号 ） 解 析 ， ， （ 分 ） ， （ 分 ） ， （ 分 ） 过 点 作 ， 垂 足 为 ， （ 分 ） 在 中 ， ， 海 里 ， 则 海 里 在 中 ， ， 海 里 ， 则 海 里 （ ） 海 里 答 ： 略 （ 分 ）变 式 训 练 阅 读 下 面 材 料 ： 小 红
6、 遇 到 这 样 一 个 问 题 ： 如 图 ， 在 四 边 形 中 ， ， ， ， ， 求 的 长 小 红 发 现 ， 延 长 与 相 交 于 点 ， 构 造 ， 经 过 推 理 和 计 算 能 够 使 问 题 得 到 解 决 （ 如 图 ） 请 回 答 ： 的 长 为 参 考 小 红 思 考 问 题 的 方 法 ， 解 决 问 题 ： 如 图 ， 在 四 边 形 中 ， ， ， ， ， 求 和 的 长 图 解 析 的 长 为 解 决 问 题 ： 如 图 ， 延 长 与 相 交 于 点 ， ， 设 ， 则 ， ， 在 中 ， ， ， ， 即 经 检 验 ， 是 上 述 方 程 的 解 ， 且
7、 符 合 题 意 ， ， 第 五 章 空 间 与 图 形 思 路 分 析 借 助 题 目 中 给 出 的 特 殊 角 构 造 直 角 三 角 形 解 题 关 键 解 决 本 题 的 关 键 是 要 构 造 直 角 三 角 形 ， 根 据 已 知 的 正 切 值 求 （ ） 的 长 ， 再 求 和 的 长 方 法 二 利 用 解 直 角 三 角 形 解 决 实 际 问 题 的 方 法利 用 解 直 角 三 角 形 解 决 实 际 问 题 时 ， 要 读 懂 题 意 ， 分 析 背 景 语 言 （ 如 方 向 角 ） ， 由 实 物 图 抽 象 出 数 学 图 形 ， 把 实 际 问 题 化 归
8、为 直 角 三 角 形 中 的 边 角 关 系 问 题 具 体 方 法 如 下 ： （ ） 紧 扣 三 角 函 数 定 义 ， 寻 找 边 角 关 系 （ ） 添 加 辅 助 线 ， 构 造 直 角 三 角 形 作 高 线 是 常 用 的 辅 助 线 添 加 方 法 三 角 形 问 题 通 过 作 高 构 造 出 两 个 直 角 三 角 形 ； 梯 形 问 题 通 过 作 双 高 线 转 化 成 直 角 三 角 形 （ ） 逐 个 分 析 相 关 直 角 三 角 形 ， 构 造 方 程 求 解 一 般 设 最 短 的 边 为 ， 先 分 别 在 不 同 的 直 角 三 角 形 中 用 含 的
9、代 数 式 表 示 出 未 知 边 ， 再 根 据 两 个 直 角 三 角 形 边 的 数 量 关 系 （ 和 差 或 相 等 ） 列 方 程 求 出 未 知 量 例 （ 新 疆 乌 鲁 木 齐 ， ， 分 ） 如 图 ， 建 筑 物 的 高 为 ， 在 其 正 东 方 向 有 一 个 通 信 塔 ， 在 它 们 之 间 的 地 面 点 （ ， ， 三 点 在 一 条 直 线 上 ） 处 测 得 建 筑 物 顶 端 、 塔 顶 的 仰 角 分 别 为 和 ， 在 处 测 得 塔 顶 的 仰 角 为 ， 求 通 信 塔 的 高 度 （ 精 确 到 ） 解 析 过 点 作 于 ， 由 题 意 ，
10、易 知 四 边 形 是 矩 形 ， ， 设 ， 在 中 ， ， ， 在 中 ， （ ） ， （ ） 在 中 ， 由 ， 得 （ ） ， 解 得 ， 答 ： 通 信 塔 的 高 度 约 为 变 式 训 练 某 地 下 车 库 出 口 处 “ 两 段 式 栏 杆 ” 如 图 所 示 ， 点 是 栏 杆 转 动 的 支 点 ， 点 是 栏 杆 两 段 的 连 接 点 当 车 辆 经 过 时 ， 栏 杆 升 起 后 的 位 置 如 图 所 示 ， 其 示 意 图 如 图 所 示 ， 其 中 ， ， ， 米 ， 求 当 车 辆 经 过 时 ， 栏 杆 段 距 离 地 面 的 高 度 （ 即 直 线 上
11、任 意 一 点 到 直 线 的 距 离 ） （ 结 果 精 确 到 米 ， 栏 杆 宽 度 忽 略 不 计 ） 参 考 数 据 ： ， ， 解 析 过 点 作 ， 过 点 作 ， 垂 足 为 ， ， ， ， 栏 杆 距 离 地 面 的 高 度 是 米 变 式 训 练 （ 河 南 ， ， 分 ） 如 图 所 示 ， 某 数 学 活 动 小 组 选 定 测 量 小 河 对 岸 大 树 的 高 度 ， 他 们 在 斜 坡 上 处 测 得 大 树 顶 端 的 仰 角 是 ， 朝 大 树 方 向 下 坡 走 米 到 达 坡 底 处 ， 在 处 测 得 大 树 顶 端 的 仰 角 是 若 坡 角 ， 求 大 树 的 高 度 （ 结 果 保 留 整 数 参 考 数 据 ： ， ， ， ） 解 析 延 长 交 于 点 ， 过 点 作 于 点 由 题 意 知 ， ， ， （ 分 ） 设 米 在 中 ， （ 分 ） 在 中 ， （ 分 ） ， （ 分 ） 即 大 树 的 高 度 约 为 米 （ 分 ）
