1、1专题 20 双曲线一、基础过关题1. (2018 高考北京卷)已知椭圆 M： ，双曲线 N： 若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_【答案】 ；2利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力2. (2018 高考全国卷 III)设 12F， 是双曲线21xyCab：（ 0ab， ）的左，右焦点， O是坐标原点过 2F作 C的一条渐近线的垂线，垂足为 P若 16FOP，则 C的
2、离心率为（ ）A 5B2 C 3D 2 【答案】C2【解析】 2|PFb， 2|Oc， |Pa；又因为 1|6|，所以 1|6F；在 2Rt中， 2|cos|bc；在 12tPF中，22211|PFPFbc，2 22224(6)46463bcabcaa23e.3. (2018 高考天津卷) 已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点 设 A， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】 C【解析】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线，即 ， ， ， ， ACDB 是梯形，F 是
3、 AB 的中点， ，3，所以 ，双曲线 的离心率为 2，可得 ，可得： ，解得 则双曲线的方程为： 故选： C画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力4(2016广州联考)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，x2a2 y2b2则 C 的方程为( )A. 1 B. 1x220 y25 x25 y220C. 1 D. 1x280 y220 x220 y280【答案】 A5(2016全国乙卷)已知方程 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的x2m2 n y
4、23m2 n取值范围是( )A(1,3) B(1， )3C(0,3) D(0， )3【答案】 A【解析】 方程 1 表示双曲线，x2m2 n y23m2 n( m2 n)(3m2 n)0，解得 m20， b0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上x2a2 y2b24存在一点 M，使得( ) 0(其中 O 为坐标原点)，且| | | |，则双曲线的离心率为( )OM OF2 F2M MF1 3MF2 A. 1 B.53 12C. D. 15 12 3【答案】 D7(2016庐江第二中学月考)已知椭圆 1( a1b10)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率x2a21 y2b21为 e1；双曲线 1
5、( a20， b20)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为 e2，则 e1e2等于( )x2a2 y2b2A. B1 C. D222 3【答案】 B【解析】 由 b a1c1，得 a c a1c1， e1 .21 21 21c1a1 5 12由 b a2c2，得 c a a2c2， e2 .2 2 2c2a2 5 12 e1e2 1.5 12 5 128(2015课标全国)已知 M(x0， y0)是双曲线 C： y21 上的一点， F1， F2是 C 的两个焦点，x225若 0， b0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直x2a2 y2b2线与双曲线交于
6、A、 B 两点，若 ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( )A(1，) B(1,2)C(1,1 ) D(2,1 )2 2【答案】 B10(2016北京)已知双曲线 1( a0， b0)的一条渐近线为 2x y0，一个焦点为( ，0)，则x2a2 y2b2 5a_； b_.6【答案】 1 2【解析】 由 2x y0，得 y2 x，所以 2.ba又 c ， a2 b2 c2，解得 a1， b2.511中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1， F2，且| F1F2|2 ，椭圆的长半13轴与双曲线实半轴之差为 4，离心率之比为 37.(1)求这两曲线方
7、程；(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cos F1PF2的值【答案】(1) 椭圆方程为 1，双曲线方程为 1；x249 y236 x29 y24(2) 45二、能力提高题1(2016浙江)设双曲线 x2 1 的左，右焦点分别为 F1， F2，若点 P 在双曲线上，且 F1PF2为锐角y23三角形，则| PF1| PF2|的取值范围是_【答案】 (2 ，8)77【解析】 如图，由已知可得 a1， b ， c2，从而| F1F2|4，3由对称性不妨设 P 在右支上，设| PF2| m，则| PF1| m2 a m2，由于 PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足Error!解得1 m3，又
8、| PF1| PF2|2 m2，2 2 m28.7 72已知双曲线 1( a0， b0)的左，右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线的右支上，且x2a2 y2b2|PF1|4| PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_【答案】 533(2015课标全国)已知 F 是双曲线 C： x2 1 的右焦点， P 是 C 的左支上一点， A(0,6 )当y28 6APF 的周长最小时，该三角形的面积为_【答案】 12 6【解析】 设左焦点为 F1，| PF| PF1|2 a2，| PF|2| PF1|， APF 的周长为| AF| AP| PF| AF| AP|2| PF1|， APF 周长
9、最小即为| AP| PF1|最小，8当 A、 P、 F1在一条直线时最小，过 AF1的直线方程为 1，与 x2 1 联立，x 3 y66 y28解得 P 点坐标为(2,2 )，此时 S APF S AF1F S F1PF12 .6 64(2016湖北部分重点中学第一次联考)在面积为 9 的 ABC 中，tan BAC ，且 2 ，现建立以43 CD DB A 点为坐标原点，以 BAC 的平分线所在直线为 x 轴的平面直角坐标系，如图所示 .(1)求 AB， AC 所在直线的方程；(2)求以 AB， AC 所在直线为渐近线且过点 D 的双曲线的方程；(3)过 D 分别作 AB， AC 所在直线的
10、垂线 DF， DE(E， F 为垂足)，求 的值DE DF 【答案】(1) AC 所在直线方程为 y2 x， AB 所在直线方程为 y2 x.；(2) 双曲线的方程为 1.x24 y216(3) 48259(3)由题意知 ， BAC，DE DF cos ， cos BAC ，DE DF 35设 D(x0， y0)，则 1.x204 y2016又点 D 到 AB， AC 所在直线距离分别为| | ，| | ，DF |2x0 y0|5 DE |2x0 y0|5 | | |cos ， DE DF DE DF DE DF .|2x0 y0|5 |2x0 y0|5 35 48255.已知双曲线 C： 1
11、( a0， b0)的一个焦点是 F2(2,0)，且 b a.x2a2 y2b2 3(1)求双曲线 C 的方程；(2)设经过焦点 F2的直线 l 的一个法向量为( m,1)，当直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点 A， B 时，求实数 m 的取值范围，并证明 AB 中点 M 在曲线 3(x1) 2 y23 上；(3)设(2)中直线 l 与双曲线 C 的右支交于 A， B 两点，问是否存在实数 m，使得 AOB 为锐角？若存在，请求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由10【答案】(1) 双曲线 C 的方程为 x2 1；y23(2) m(， )( ，),证明见【解析】 。3 3(3) 不存在实数 m，使得 AOB 为锐角【解析】(1) c2， c2 a2 b2，4 a23 a2， a21， b23，双曲线 C 的方程为 x2 1. y2311
