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线性代数1-5章习题.doc

上传人:dzzj200808 文档编号:2339360 上传时间:2018-09-11 格式:DOC 页数:15 大小:1.09MB
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1、线性代数习题集皖西学院金融与数学学院编制2013 年 2 月第一章 行 列 式一、判断题1行列式如果有两列元素对应成比例,则行列式等于零. ( )2. .( )23210403. ( )132.424. ( )123213.abbacc5. ( )123123.abcc6. 阶行列式 中元素 的代数余子式 为 阶行列式. ( )nnDijaijA1n7. .( )3124358868. ( )12133a12r11213233aa9如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必等于零. ( )10. 如果方程个数与未知数个数相等,且系数行列式不为零,则方程组一定有解. ( )二、选择题1若 是

2、 5 阶行列式中带正号的一项,则 的值为( ) 2534rsa ,rsA. B.1,14C. D.rs ,rs2.下列排列是偶排列的是( )A. 4312 B. 51432 C. 45312 D. 6543213.若行列式 , 则 x=( ).2103xA.2 B. 2 C. -1 D. 14.行列式 的值等于( ).0abcdefA. B. C. D. acabfabdfcf5.设 abc0,则三阶行列式 的值是( ).0cAa B-b C0 Dabc6.设行列式 =1, =2,则 =( ).21b21ca2211cbaA-3 B-1 C1 D37.设非齐次线性方程组 有唯一解,则 必须满足

3、( ).123805xab,ab.0,Aab.,3B23.,Ca3.0,28. 是按( )展开的.215251003A第 2 列 B第 2 行 C第 1 列 D第 1 行 9.设 则下式中( )是正确的.1121niiinnaaDaa 2. 0iiiAA 12. 0ijijnijBaAaA1iiinCD 12ijijinj10. 的 的代数余子式 的值为( ).349571223a23AA. 3 B. -3 C. 5 D. -5三、填空题1 排列 的逆序数是_.675842 四阶行列式中的一项 应取的符号是_.14321a3.若 则 k=_.,01k4.行列式 中 元素的代数余子式 A32=_

4、.6943232a5. =_.5816.行列式 =_.017.行列式 =_.4328.非零元素只有 行的 阶行列式的值等于_.1n9. 则 _.1238,abc231ccbbaa10. 阶行列式 中元素 的代数余子式 与余子式 之间的关系是nnDij ijAijM_, 按第 列展开的公式是 _.ijAjn第二章 矩 阵一、判断题1.若 是 矩阵, 是 矩阵,则 是 矩阵. ( )23B2AB22.若 且 则 ( ),AO,.3. 的解 . ( )103425X1102534X4.若 是 阶对称矩阵,则 也是 阶对称矩阵. ( )An2An5. 阶矩阵 为零矩阵的充分必要条件是 ( )0.6.

5、若 为同阶可逆矩阵,则 . ( ),B1()k7. . ( )4204206916318. 阶矩阵 为逆矩阵的充分必要条件是 ( )nA0.A9.设 为同阶方阵,则 . ( ),BB10.设 为 阶可逆矩阵,则 .( ),n11OB二、选择题1. 若 为 阶矩阵,则下式中( )是正确的.,AB2.()B.(),=.ACOABC且 , 必 有2+DB2.若 ,则下列运算有意义的是( ).,snlAB.T.A.C.+TA3.若 ,做乘积 则必须满足( ).,mnst.=A.Bs.=ns.Dnt4.矩阵 的伴随矩阵 ( )1*AAB C 1D 115.设 2 阶矩阵 ,则 ( )abcd*A B C

6、 Ddacacbdabcd6. 矩阵 的逆矩阵是( )013A B C D3103101300137. 设 2 阶方阵 A 可逆,且 A-1= ,则 A=( ).27A B C D3173117278. 阶矩阵 行列式为 则 的行列式为( ).n,kA. B. C. D. knAA-k9. 设 为 阶矩阵满足 且 可逆,则有( ).,AB=,B互为逆矩阵.=EE.,DB10.设 是任意阶矩阵,则( )是对称阵.(+)TA.+TBA.TCA.TA三、填空题1.设矩阵 , ,则 _12010232B2.设 A= ,B= 则 AB =_.41023,013.设矩阵 A= , B= ,则 ATB=_.

7、234. (1,2,3)=_.315. =_.n16. _.04132 7.设 2 阶矩阵 A= ,则 A*A=_.328.设矩阵 A= ,则行列式|A 2|=_.419.设 A= ,且 det(A)=ad-bc0,则 A- 1=_ .dcba10. 设 为 阶可逆矩阵,则 _.,ABnOB第 三 章 矩阵的初等变换与线性方程组一 、 选 择 题1 设 元齐次线性方程组 的系数矩阵的秩为 ,则 有非零解的充分必要n0AXr0AX条件是( )(A) (B) rrn(C) (D) 2 设 是 矩阵,则线性方程组 有无穷解的充要条件是( )Amnb(A) (B) ()r()rA(C) (D) b()

8、n3 设 是 矩阵,非齐次线性方程组 的导出组为 ,若 ,则( X0AXmn)(A) 必有无穷多解 (B) 必有唯一解 AXb(C) 必有非零解 (D) 必有唯一解00A4 已知 是非齐次线性方程组 的两个不同的解, 是导出组 的12,12,0基础解系, 为任意常数,则 的通解是( ),kXb(A) (B) 121212() 121212()k(C) (D) k 5 设 为 矩阵,则下列结论正确的是( )Amn(A) 若 仅有零解 ,则 有唯一解 0XAXb(B) 若 有非零解 ,则 有无穷多解 (C) 若 有无穷多解 ,则 仅有零解 b0(D) 若 有无穷多解 ,则 有非零解6 线 性 方程

9、组 ( )1234701x(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解二、判断题1若 是线性方程组 的两个解向量, 则 是方程组 的解。,Axb0Ax2设向量 是 元线性方程组 的解向量,那么 也是这个方程组的12n 123一个解向量。3若 是 的解,若 是 的解,则 是 的解。0X(0)XbbX4 元线性方程组 当 时有无穷多解。n()AxbRAn5设 是 阶方阵,若方程组 满足 ,则 有唯一解。)()bA6对于线性方程组 (这里 为 n 阶方阵), 如果该方程组有解,则必有 x。()RAn7设 , 都是 阶方阵,若 ,则必有 。B knBRkAR)(,1(,

10、) nBAR)(8若线性方程组 有解,则 的秩一定为零。bX9设 是 阶方阵,则 。An()()E10设矩阵 的秩为 ,则 中必有一个 级子式不为零。1rA1r11设 为 元线性方程组 ,则秩 时有无穷组解。bXn)(12若 ,且 ,则 。AYXOY13对于具相同系数矩阵的非齐次方程组(I): 及 (II): , 成立以下结论:xbAxd若方程组(I)有解,则方程组(II)必然也有解。14方程组 中,方程个数少于未知量个数,因而方程组有无限1234152xx多解。15若 是 的解,则 也是 的解。12,(0)AXb12bAX三、填空题1矩阵 的秩为_。3254712 = , 则 =_。315X

11、1264X3设 是 阶方阵,且秩 ,则齐次线性方程组 的基础解系中含 An()Arn0Ax个解向量。4矩阵 的秩为 。1025方程组 的解空间的维数为 。123407xx6设 是 元齐次线性方程组 的基础解系,则秩( )= 。12,()nAxA7矩阵 的秩为 ,则 的基础解系一定由_个线性无关的解向量构成。mAr0X8若方程组 有非零解,则 。123100x0 或9已知方程组 有无穷多解,则必有 。1236x10设 是 阶方阵,若线性方程组 有非零解,则必有 。An0AXA11设 是 矩阵, ,又 ,则 。342)(R3012B)(BR12齐次线性方程 的解空间为_维线性空间。21nxx13设

12、 是 阶方阵, ,则线性方程组 的基础解系所含向量的个数是 AnARAX。14设 阶方阵 满足 , 为 阶单位阵,则 2En)()ER。15非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是 bAX。第四章 向量组的线性相关性一 、 选 择 题1下列说法正确的是( )(A)若有不全为零的数 ,使得 ,则12,sk 120skk线性无关12,s(B)若有不全为零的数 ,使得 ,则12,sk 12skk线性无关12,s(C)若 线性相关,则其中每个向量均可由其余向量线性表示12,s(D)任何 个 维向量必线性相关n2设 为 阶方阵,且 ,则( ) 。A0A(A) 中两行(列)对应元素成比例(B) 中任意一行为

13、其他行的线性组合(C) 中至少有一行元素全为零(D) 中必有一行为其他行的线性组合3设 为 阶方阵, ,则在 的 个行向量中( ) 。nnrA)(An(A)必有 个行向量线性无关r(B)任意 个行向量线性无关(C)任意 个行向量都构成极大线性无关组(D)任意一个行向量都能被其他 个行向量线性表示r4 阶方阵 可逆的充分必要条件是( )n(A) (B) 的列秩为()rnAn(C) 的每一个行向量都是非零向量 (D) 的伴随矩阵存在5 维向量组 线性无关的充分条件是( )ns,21(A) 都不是零向量s(B) 中任一向量均不能由其它向量线性表示12,s(C) 中任意两个向量都不成比例s(D) 中有

14、一个部分组线性无关12,s6 维向量组 线性相关的充要条件是( ) n2,s(A) 中至少有一个零向量12,s(B) 中至少有两个向量成比例s(C) 中任意两个向量不成比例12,s(D) 中至少有一向量可由其它向量线性表示12,s7 维向量组 线性无关的充要条件是( )n3(,ns(A)存在一组不全为零的数 ,使得12,sk 021skk(B) 中任意两个向量都线性无关12,s(C) 中任意一个向量,都不能被其余向量线性表示s(D) 中任一部分组线性无关12,s8设 均为 维向量,那么下列结论正确的是( )s n(A)若 ,则 线性相关120skk 12,s(B)若对于任意一组不全为零的数 ,

15、都有 ,则sk 120sk线性无关12,s(C)若 线性相关,则对任意不全为零的数 ,都s 12,sk120skk(D)若 ,则 线性无关0s 12,s9 已知向量组 线性无关,则向量组( )4321,(A) 线性无关41,(B) 线性无关123,(C) 线性无关41,(D) 线性无关123,10若向量 可被向量组 线性表示,则( )12,s(A)存在一组不全为零的数 ,使得sk 12skk(B)存在一组全为零的数 ,使得12,s s(C)存在一组数 ,使得12,sk 12skk(D)对 的表达式唯一二、填空题1 , , 线性相关 ,则 的值为_。(35)T2(13)T(1,6)Taa2若向量

16、 与 线性相关,则 的取值为 042)Ta。3设向量组 , , ,则向量组 的1(,23)T2(,13)T3(1,0)T123,秩是 。4已知向量组 ,则当常数 满足_222(,),(,),(,)TTTabc,abc时该向量组线性无关。5设向量组 I: 的秩为 , 向量组 II: 秩为 , 且向量组 I 能由1, rp1, sq向量组 II 线性表出,则 与 的大小关系是_。q6设 线性无关,且4321,,144332, 则向量组 的秩为 。41,_7 ,则齐次线性方程组 的任一基础解系所含向量个数为02350A0Ax。8设向量组 I: 线性无关,而 都能由 I 线性表出,则秩( )1, s1

17、2, 112, s= 。9当 时,向量组 线性相关。a1231(,),(,),(,)2TTTaaa10已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定 。11设向量组 线性相关,则向量组 线性 。321,1321,12设 是 阶方阵, ,则线性方程组 的基础解系所含向量的个数是 An2nAR0AX。13向量 是 的一组基,则向量 在1,0,1,1TTT3R3,4T该基下的坐标为 。14设向量 与向量 线性相关, 则 。(1,5)T(2,)Tm_m15设 , , 是 的一组基,则 在该0213(1)T3R(3,1)T基下的坐标为 。_三、判断题1 维向量组

18、 必线性相关。31234,2如果向量组 线性相关,那么这个向量组中一定有两个向量成比例。s3若向量组 线性相关,则组中任一向量都可由其余向量线性表示。12,ra4向量组 中任意两个向量都线性无关,则向量组线性无关。m5若 是线性方程组 的两个解向量, 则 是方程组 的解。,Axb0Ax6向 量 组( I ): 与向量组( II ):12(,)(,3)TT等价。12(,),)TT7设向量组 I: 是向量组 II: 的部分组,如果向量组 I 线12skk 12,p性相关,则向量组 II 也线性相关。8设向量组 I: 是向量组 II: 的部分组,如果向量组 I 线性12,skk 12,p无关,则向量

19、组 II 也线性无关。9如果向量组 线性无关,则向量组 也线性无关。112, s 1,s10如果向量组 线性无关,则该向量组的任何部分组必线性无关。12,m11设向量组 线性无关,于是向量组 也线性无关。3 1321,12设 维向量组 线性相关,于是 也线性相关,其中 为一ns21 s 维向量。13若向量组 线性相关,则 一定可由 线性表示。n,21 1n,214设向量组()与向量组()可互相线性表示,则秩()= 秩()。15设向量组 线性相关,则该向量组中一定含有零向量。s,2116若 是 的解,若 是 的解,则 是 的解。0AX(0)AXbbAX17包含零向量的向量组是线性相关的。18若

20、是 的解,则 也是 的解。12,(0)AXb12bAX第五章 相似矩阵及二次型一 、 判 断 题1.线性无关的向量组必是正交向量组.( )2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( )3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( )4.若 n 阶矩阵 A 与 B 相似,则 A 与 B 不一定等价.( )5.若 阶矩阵 A 有 n 不同的特征值,则 A 相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( )7. 相似矩阵的行列式必相同.( )8.若 阶矩阵 和 相似,则它们一定有相同的特征值 .( )nB9 阶实对称矩阵 A 的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( )10. 若

21、A 是正定矩阵,则 A 的特征值全为正.( )二 、 单 项 选 择 题1. 设 ,则 的特征值是( ).01(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,22. 若 分别是方阵 的两个不同的特征值对应的特征向量,则 也是 的特12,xA12kxA征向量的充分条件是( ).(A) (B) (C) (D) 120k且 120k且 120k120且3. 若 阶方阵 的特征值相同,则( ).nAB(A) (B) (C) 与 相似 (D) 与 合同|ABAB4. 设 为 阶可逆矩阵, 是 的特征值,则 的特征根之一是( ).*(A) (B) (C) (D) 1|nA1

22、| |n5. 矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量( ).(A)线性相关 (B)线性无关 (C)两两相交 (D)其和仍是特征向量6. 是 阶矩阵 与 相似的( ).|BnB(A)充要条件 (B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件 (D)既不充分也不必要条件7. 若 阶方阵 与某对角阵相似,则( ).nA(A) (B) 有 个不同的特征值()rAn(C) 有 个线性无关的特征向量 (D) 必为对称阵8. 阶对称矩阵 正定的充分必要条件是( ).n(A) (B)存在阶阵 C,使0A T(C)负惯性指数为零 (D)各阶顺序主子式为正9 设 为 n 阶方阵,则下列结论正确的是( ).(A)A 必与

23、一对角阵合同(B)若 A 的所有顺序主子式为正,则 A 正定(C)若 A 与正定阵 B 合同,则 A 正定(D) 若 A 与一对角阵相似,则 A 必与一对角阵合同10 设 A 为正定矩阵, 则下列结论不正确的是( ).(A)A 可逆 (B) 正定1(C)A 的所有元素为正 (D)任给 12(,)0,TnXx 均 有 0TXA二 、 填 空 题1. n 阶零矩阵的全部特征值为_.2. 若 ,则 的全部特征值为_.A23. 设三阶矩阵 的特征值分别为 -1,0,2,则行列式 .2AE4. 特征值全为 1 的正交阵必是 阵.5. 若 , 与 相似,则 , = .232,4ByxBxy6.二次型 的秩为 .2123123(,)fx7.若 正定,则 t 的取值范围是 .13tx8.设 是正定矩阵,则 满足条件 . 20Aaa9 二次型 的负惯性指数是_.11(,)fx10 二次型 的矩阵为 .223,x

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