1、应用偏微分方程大型作业电信提高 0901 班吕祺U200913911应用偏微分方程大型作业一：种群演化规律的数学描述设在给定时刻 ，年龄为 的某种群（动物、植物、细菌、细胞等）的分布密度为 ，例如，ta ),(atu每单位体积中细菌数量、每单位体积中细胞数量、每平方公里范围内动物的数量等，初始分布密度为 ，该种群的最大年龄为 。假设在任意时刻 ，该种群的出生率为 ，而年龄为 的种群的)(af At )(tI死亡率为随机数 。试建立数学模型描述此种群密度 满足的微分方程和定解条件，并求)0( ),(atu解此定解问题。如果记时刻 以上种群的总数为 ，建立满足的微分方程和定解条件，并求解此t )(
2、tU定解问题。如果年龄为 的种群的死亡率为随机过程 ，请给出合乎实际的假设来建立相应的数a学模型，并对建立的数学模型给出理论分析或数值模拟。解：年龄为 的种群的死亡率为随机数 时， 根据条件列出方程)0(0(,)(,)(,)(,)tutatIatstasuatsd 0(,)(,)()(,)(,)0, tutautatIatstatsuatsdsf 用特征线法，取 z=a-t,u(t,a)=u(a-z,a)=w(z,a), ,w=atawu()0yIzw= ，从而()azIzdace()(),azIzwe ()()(,)(0,)()tIt tyItautaefe() ()00 0()(,)(,)
3、()AA AtIt tItaUtutuedfad 如果年龄为 的种群的死亡率为随机过程 ，与前述类似分析有 ，a(t 0(,)(,)()(,)(,)0, tuttautatItatstatsuatstdsf 同上用特征线法，取 z=a-t,u(t,a)=u(a-z,a)=w(z,a), atawu,w= =(,)(0awyzIw(,)()azzIzdace (,)(),azzaIzdwe0 0()(,) ()(,)(,)() ()at ttIdatdIatdutf f 初始分布为 f（ a-t） ，然后乘以积分因子， ，其中 从 0 到 t 的积分表0()(,)tIatde ()It示出生造成
4、的增量， 从 0 到 t 的积分表示死亡造成的减量，相乘得出在 t 时的年龄为 a 的种群密度。(,)at应用偏微分方程大型作业二：热传导过程的数学分析和数值模拟将长为 50 厘米的细棒放置在蒸气中直到整个棒的温度都为 100 度，细棒的侧面绝热，在初始时刻 ，将棒的两端浸入零度的冰中。如果棒的材料为铁或混凝土，试计算一个半小时后，细棒中0t点的温度。已知铁和混凝土的热传导系数分别为 和 。试用 MATLAB 工具近似分析温15.0scm/.2度分布函数 的图形特点及其物理意义。)25,(,180(),tuxtu解：根据条件列方程如下： 2,0,(,0),(5),axttuxt， 0(),(5
5、)0xx 20Ta解得 ， （n=1,2,3） ， ， ， ，2/nsinnxBx2/50antnTe2/50sin/antnBe结合初始条件， 对中点502201sin/51nnBxdx 2/50120()sin/antnuxe求在一个半小时后的温度：使用 matlab 命令计算级数：u=0;for n=1:99999u=u+200/n/pi*1-(-1)n*sin(n*pi/50*25)*exp(-0.0415*n*n*pi*pi/2500*5400);endu计算结果： jisuanu =52.5488即为 52.5488 摄氏度。Matlab 作图如下U（t，25）：随时间递增， x=
6、25cm 处温度下降曲线U（1800 ，x）：在 t=1800s，细棒温度分布曲线U（t，x）在最终 T=1800 时，温度曲面变化示意图U（t，x）在最终 T=30000 时，温度曲面变化示意图应用偏微分方程大型作业三：弹拨弦的能量分析众所周知，许多音乐设备都是通过弦的振动产生声音的，在某种给定频率下，振动通过空气传送到听众的耳朵。例如，中音 C 就是一种频率约为 256 赫兹的音调。当几种不同的音调同时听到时形成谐音。声音的大小取决于振动弦的总能量（动能和势能） 。设有长为 ，两端固定且紧绷着的弦，将其中点 向上拉动，使其在离开平衡位置L 2/Lx处静止不动，在时刻 时放手使弦作纵向振动。
7、试证明，此弦振动产生的声音中，由基频2/b0t发出的基音的能量约占总能量的 ，而第二谐频发出的泛音的能量约占 。%81 %9解： 用分离变量法解得 ，2,0/2,(0,)(,)0,/2,(,)()/(,0),ttxuauLt tbxuxLxLux 2(/)nL， ，cos/sin/nuEaL /20/2(sin(/)()si(/)Ln LEbxdxxd而 ，所以/20/2sin(/)()sin(/)LLxdxxLd22sin(/)。(4/siconubat其中 （u2=0） ，2 21/*(/)(/),34/(9)*si(3/)cos(/)xubxLat驻波对应能量 。20.5TLtEdtd
8、00LnxgEdT，4/sin(/)si(/)tuabxa /()si(/)sin(/)taxt，时间 T 取两周期的最小公倍数 2L/a，对动能，11222/,3TwLTwL， ，进一/2 20si(/)si(/)/()Ladtxtdx 2/2220sin(3/)si(/)/()LadtxLatdxLa步可推出此积分与 n 无关，动能 = 。势能 =abn(/)b 1100*/gET， = 。从以上推导易证2234/*/8/bLbL33200*LxgET 22349*/8/(9)b驻波能量与 n2 成反比的关系。 n 为偶数时波动为零，第二谐频为 n=3.用 matlab 计算所需级数的命令为：u=0;for n=0:99999u=u+1/(2*n+1)2endu得到结果u =1.2337 1/1.2337ans =0.8106 1/9/1.2337ans =0.0901所以得证。
