1、非线性弹性杆波动方程的摄动分析应用数学和力学,第 27 卷第 9 期2006 年 9 月 15 日出版AppliedMathematicsandMechanicsVo1.27,No.9,Sep.15,2OO6文章编号:000-0887(2006)09.1079.05应用数学和力学编委会,ISSN1000487非线性弹性杆波动方程的摄动分析吕克璞,郭鹏,张磊,易金桥,段文山(1.西北师范大学物理与电子工程学院,兰州 730070)(戴世强推荐)摘要:针对计入横向惯性效应后的非线性弹 ldE 杆纵向波动方程进行分析.在小振幅,长波长的一般情况下,根据远方场简单波理论,采用约化摄动法,得到了方程,并
2、讨论了存在 NLS 孤子的条件.关键词:非线性弹一 ldE 杆;远方场;N 方程中图分类号:0357.1 文献标识码:A引言及预备知识计入由横向惯性引起的几何弥散效应的非线性弹性杆纵波运动方程为632U?()】 一一 o,(1)其中,s 为杆的横截面积,为杆截面的极惯性矩,c3=E/p 是线弹性波的波速平方,为弹性模量,l0 是材料密度,是泊松比,a,n 均为材料常数.关于方程(1)的孤波问题 ,已有较多的研究引.文献1和文献2 曾研究了 n=2 的情况,均得出了方程(1)的 KdV 孤立子;文献3 对于 n=3 的非线性材料,用调制摄动方法,得出方程(1)关于小参数 e 的三级近似的非线性
3、Schrodinger 方程(简称 NLS 方程)i 箦+吉 +IZ12Z=0,(2)证明了方程(1)在 n=3 时存在 NLS 型包络孤波解.本文在小振幅,长波长的一般情况下,根据远方场简单波理论,采用约化摄动法4-7,将方程(1)变换为 NLS 方程i+z)-0,(3)从而得出结论:在 n2 的非线性弹性杆中存在 NLS 包络孤子.1 向量方程和色散关系分析设 l=,It2=笔,U=Ul,U2)T,则方程(1)可写为*收稿日期:2005.12.19;修订日期:2006-03.28基金项目:国家自然科学基金资助项目(10247008)作者简介:吕克璞(1945 一),男,甘肃平凉人,教授(联
4、系人 :Te1:+86-931.7972792;E-mail:guopeng-gp126.corn).10791080 吕克璞郭鹏张磊易金桥段文山+A+_0,(4)其中A=一:一 c6(+0 口 n“一】,=一:.c5 设 U 的远场定态解为 :U.=(“10,U20)T,考虑在这个定态上传播的小振幅的平面波的扰动(当非线性项与非定常项之比远小于 1 时,非线性项可略去)U=(0)+ei/(kx 一.代人方程(4)的线性化方程,可得=0.有非零解的条件为lW1l=0,(6)其中A.=A-uc.,=【 一:一 c+.na.uo-1)】.假定fw=f=0,=,(7)【II0,lll 1,一当 1=
5、1 时,对应于这个平面波的色散关系由方程l-TiikA0ioJkBI=0,(8)给出 cuk 关系露,其中盯=vJ/s.为了以下数学推导的需要,求解 A 的特征值及其梯度分别为:c.,:(,)T:(0,c.求解方程组LoW1=0,W1Ro=0,得 L0,R0 分别为.=(一,c6(+“o-1),R.=(一詈,),2【L0?R0:+c6(1+“茹),并对于 W1R0=0,两边关于 k 求导得iA.一 Ol+(2koF2)BR.+w1_o,其中,:dcu/dk 为波的群速度,再用 L 左乘(15) 式,可有(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)非线性弹性杆波动方程的摄动分析 108
6、10A0 一 ,+(2 七 +k2O)BR0=0.2 摄动分析与 NLS 方程的建立在(.附近将 U 作小参数的渐进展开U:(0)+()+ 2(2)+,(,):叫(,r)e,:0,1,2,3, ,=一A:A0+()T?V)AIu(.+,作变换=(Dt),r:t.将(17)式(20)式代人方程 (4),分别得,.级近似方程为:)=0,IlI=0,1,2,z)+(1-21zzDB)+(16)(17)(18)(19)(20)(21)(?7AIu0)?il 尼( 1):0,IfI=0,1,2,(22)唰,)+(z)-(2i 尼 l,(2B+i)+(A.一 DI+k2z.DB+2 尼 zcn8)oq_=
7、U?)+,tr(t)TA0j)(+i2,kui,:)-0,l2,(23)t-:一,(J对于(21)式,当 IZI1 时,由于 II0 方程(21)只有 0 解,即)=0(IzI1).(24)当 IfI:1 时,因为 IWlI=0,故(21) 式必有非 0 解,且与特征向量 R0 成比例.为此设=(,r)R0,(-lf=(,r)一 Ro,(25)其中,(,r)是随空间,时间缓慢变化的待定函数.对于(22)式,其中第 3 项对 z 求和的表达式仅对于 IzI=2 和 IzI:0 才会出现,而当IfI 2 和 IfI0 时求和均为 0.所以,当 z=1 时,(U(I)T?vAIu(.)?il 尼J:
8、0,(26)于是,将(25)式 ,(26)式和(15)式代人(22)式可得w)+jORo).0,(27)因为 IWlI=0,故(27)式必有非 0 解.且与方程(12)的解向量 R0 成比例.设(2)+i8Ro:(2)()得 f:()R.一 i3Ro.(28)当 Z=0 时,考虑(25)式,方程(22)变为v0(:i 尼?7Afu(0j)0 一(?vAIu【o)R0II=0.(29)因为 w0:O,所以 5为任意,可令!呈克璞郭鹏张磊易金桥段文山.:0.当 z=2 时,考虑(24)式,(25)式,方程(22)变为5+ik(Rr?vAlu(.)足.(1):0.若设=(.)足将(32)式代 A(3
9、1)式得足 5=一 k(Rr?vAlu(.)足.,因而足 5=一 .k(Rr?vAlu(.)足.,一/.,VV,一 a,y-,/图 1 包络孤立波解由 1w2l0,其逆矩阵为所以求得.=(一 4 后 :)=,一 ll一/,(30)(31)(32)(33)(34)(35)其中6n=一 c6n(n 一 1)%uo-.(36,.翌 123),当 z=l 时,对 z 求和中不为 0 的只有 5,利用(25)式,(28)式和(32)式,则方程(23)变为一 vl.)+(,-一(2i/ffB+i+(1“21 埘 OB+2)(i)+(足VAlu(0)2i5l.12q9( :0.用0 左乘(37) 式,IJT
10、g,(12)式和(16)式可得(1(,r)满足的方程i+12q9(U(37)(38)非线性弹性杆波动方程的摄动分析 1083(2/ff2B+coB)R.(OlOB+2)_二_一!(=盘!=2(1+盯 k)L0(詹.vAl,(o)2kR(22)k36一.3 讨论我们通过对 a,表达式的分析可以发现1)当 n:0,1 时,b=O,从而 p=O;而当 Jj=(盯-1-/ 盯一 4a)/2a 时,a=0.此时弹性杆中不存在 NLS 孤子.2)当 n 2,k(-1-/盯一 4a)/2a 时,a 0,0,方程(38)有包络孤立波解一)】exp【一 i 一(一譬 ).)】j()其中,h 为一大于 0 的常数
11、,弹性杆中存在 NLS 包络孤子 (如图 1 所示).参考文献庄蔚,张善元.非线性弹性杆中的应变孤波J.力学,1988,20(1):5867.庄蔚,杨桂通.孤波在非线性杆中的传播J.应用数学和力学,1985,7(7):571 581.DUANWen-shah,ZHAOJing-bao,Solitarywave8inaquadraticnonlinearelasticrodJ.C,0s,SolitonsandFractals,2000,11(8):12651267,谷内俊弥,西原功修(日). 非线性波动M,徐福元,张家泰,丁启明译.北京:原子能出版社,198199_一 l19.TaniutiT,
12、WeiCC,ReduclavepertuonmethodinnonlinearwavepropagationfJ.Journa/ofthePhysicalSocietyofJapan,1968,24(4):941946,戴世强.约化摄动法和非线性波远场分析J.力学进展,1982,12(1):2 23,吕克璞,孙建安,段文山,等,超 KdV 方程的减缩摄动解法J,应用数学和力学,2001,22(7):75 卜 757,倪皖荪,魏荣爵.水槽中的孤波 EM.上海:上海科技教育出版社 ,1997,1o4 一 l12.PerturbationAnalysisforWaveEquationofANonli
13、nearElasticRodLOKepu,GUOPeng,ZHANGLei,YIJin-qiao,DUANWen-shah(Co/egeofPhysicsandElectronicEnaineng,NorthumstNormalUniversity.Lanzhou730070,P.R,China)Absb 碱:Thelongitudinaloscillationofanonlinearelasticrodwithlateralinertiawerestudied.Basedonthefarfieldandsimplewavetheory,anonlinearSchrger(NLS)eqllationwasestab?lishedundertheassutionofsmallamplitudeandlongwavelength,ItisfoundthatthereareNLSenvelopesolitonsinthissystem,FinallythesolitonsolutionoftheNISequationispresented,Keywords:nonlinearelasticrod;farfield;NLSequalon1JJ1JJ1Jinb
