1、绝密 启用前 试卷类型 B2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）数学（理科）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划
2、掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效5考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：如果事件 互斥，那么 AB， ()()PABP已知 是正整数，则 n1221)nnnababab一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知 ，复数 的实部为 ，虚部为 1，则 的取值范围是（ ）02azazA B C D(5)， (13)， (5)， (13)
3、，2记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）nnS1240S6A16 B24 C36 D483某校共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如表1已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到二年级女生的概率是 0.19现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）A24 B18 C16 D12 表 1一年级 二年级 三年级女生 373 xy男生 377 370 z4若变量 满足 则 的最大值是（ ）xy， 2405xy， 32zxyA90 B80 C70 D405将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 分别是 三边的中点）得到几何AB， ， GHI体如图 2，
4、则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）EFDIAH GB CEFDAB C侧视图 1 图 2BEABEBBECBED6已知命题 所有有理数都是实数，命题 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命:p:q题的是（ ）A B C D()q()p()pq7设 ，若函数 ， 有大于零的极值点，则（ ）aR3axyeRA B C D313a13a8在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线CDAOE， AE与 交于点 若 ， ，则 （ ）FabFA B C D142ab13124ab23ab二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30
5、分（一）必做题（912 题）9阅读图 3 的程序框图，若输入 ， ，则输出mn， ai（注：框图中的赋值符号“ ”也可以写成“ ”或“ ”）:10已知 （ 是正整数）的展开式中， 的系数小于26(1)kx8x120，则 11经过圆 的圆心 ，且与直线 垂220yC0y直的直线方程是 12已知函数 ， ，则()sinco)sifxxR的最小正周期是 ()fx 开始 1in 整除a? 是输入 mn，结束输出 i， 1i 图 3否AyxO BGFF1图 4二、选做题（1315 题，考生只能从中选做两题）13 （坐标系与参数方程选做题）已知曲线 的极坐标方程分别为 ，12C， cos3，则曲线 与 交
6、点的极坐标为 4cos02， 1214 （不等式选讲选做题）已知 ，若关于 的方程 有实根，aRx2104xa则 的取值范围是 a15 （几何证明选讲选做题）已知 是圆 的切线，切点为 ， 是圆 的PAOA2PCO直径， 与圆 交于点 ， ，则圆 的半径 PCOB1R三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤16 （本小题满分 13 分）已知函数 ， 的最大值是 1，其图像经过点()sin()0)fx， x132M，（1）求 的解析式；()fx（2）已知 ，且 ， ，求 的值02， ， 3()5f12()3f()f17 （本小题满分 13 分）随机抽取
7、某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1万元，而 1 件次品亏损 2 万元设 1 件产品的利润（单位：万元）为 （1）求 的分布列；（2）求 1 件产品的平均利润（即 的数学期望） ；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 ，一等品率提高为 如1%70果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？18 （本小题满分 14 分）设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为0b21xyb如图 4 所示，过点 作 轴的平行线，与
8、28()xy(02)F， x抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 的切线经过椭圆GG的右焦点 1F（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得AB， P为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出P这些点的坐标）19 （本小题满分 14 分）设 ，函数 ， ， ，试讨论函数kR1()xfx， ， ()FxfkxR的单调性()Fx20 （本小题满分 14 分）如图 5 所示，四棱锥 的底面 是半径为 的圆的内接四边形，其中PABCDR是圆的直径， ， ， 垂直底面 ， ，BD6045PABCD2P
9、R分别是 上的点，且 ，过点 作 的平行线交 于 EF， ， EFG（1）求 与平面 所成角 的正弦值；（2）证明： 是直角三角形；G（3）当 时，求 的面积12PB21 （本小题满分 12 分）设 为实数， 是方程 的两个实根，数列 满足 ，pq， ， 20xpqnx1p， （ ） 2x12nnxq34， ，（1）证明： ， ；p（2）求数列 的通项公式；nx（3）若 ， ，求 的前 项和 14qnxnSFC PGEAB 图 5 D绝密启用前 试卷类型 B2008 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：C D C C A D B B1C【解析】 ，而 ，即
10、， 12az20a512a5z2D【解析】 ， ，故64dS3486dS3C【解析】依题意我们知道二年级的女生有 380 人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为 ，故在分5037870 2:3层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 18244C 5A6D【解析】不难判断命题 为真命题，命题 为假命题，从而上述叙述中只有pq为真命题()pq7B【解析】 ，若函数在 上有大于零的极值点，即()3axfexR有正根。当有 成立时，显然有 ，此时()0axfe()30axfe0a，由 我们马上就能得到参数 的范围为 。1lnx38B二、填空题： 9 【解析】要结束程序的运算，就必须
11、通过 整除 的条件运算，而同时 也整除 ，那nama么 的最小值应为 和 的最小公倍数 12，即此时有 。amn3i10 【解析】 按二项式定理展开的通项为 ，我们知道26(1)kx 22166()rrrrTCkx的系数为 ，即 ，也即 ，而 是正整数，故 只能取 1。8x4465C4120k48k11 【解析】易知点 C 为 ，而直线与 垂直，我们设待求的直线的方程为(,)xy，将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 的值为 ，故待求的直线的方程为yxbb1。1012 【解析】 ，故函数21cos221()sinincos()42xfxx x的最小正周期 。T二、选做题（1315 题，考生只能
12、从中选做两题）13 【解析】由 解得 ，即两曲线的交点为 。cos3(0,)4236(23,)614 10,415 【解析】依题意，我们知道 ,由相似三角形的性质我们有 ,即PBAC:2PABR。2132PABR三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤16解：（1）依题意有 ，则 ，将点 代入得A()sin)fx1(,)32M，而 ， ， ，故sin()320536；cosfxx（2）依题意有 ，而 ，12,5,(0,)2，22345sin1(),sin()3。1456(cocosin3f17解：（1） 的所有可能取值有 6，2，1，-2； ， 2(
13、6)0.3P50(2).P，14()0.2P故 的分布列为：6 2 1 -2P0.63 0.25 0.1 0.02（2） 0.3.510.().24.3E（3）设技术革新后的三等品率为 ，则此时 1 件产品的平均利润为x()6.72(.)(.0.76(0.29)x x依题意， ，即 ，解得43764.33AyxO BGFF1图 4所以三等品率最多为 3%18解：（1）由 得 ，28()xyb218xb当 得 ， G 点的坐标为 ，yb4(4,)， ，x|1xy过点 G 的切线方程为 即 ，(2)bx2yb令 得 ， 点的坐标为 ，0y2x1F(,0)由椭圆方程得 点的坐标为 ， 即 ，1(,0
14、)1即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ；2xy28()xy（2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 ,AxP以 为直角的 只有一个，同理 以 为直角的 只有一个。PBRtBPBARtBP若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为 和21(,)8x (2,0)， (2,0)。224215()1086PABxx:关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 有两个，APBRtABP因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。ABP19解：，1,1,()kxFxf21,1,()kxFx对于 ，1()()kx当 时，函数 在 上是增函数；0kF,1当 时，函数 在 上是减函数，在
15、 上是增函数；()x,)k1(,)k对于 ，1()2xk当 时，函数 在 上是减函数；0k()Fx,当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数。0k()Fx21,4k21,4k20解：（1）在 中，RtBAD，6A,3R而 PD 垂直底面 ABCD， 222()(3)1PR,2()(PB在 中， ,即 为以 为直角的直角三角形。A2BABP设点 到面 的距离为 ,DH由 有 ,PBPAVD:即 ，3261RH;6sin1BD(2) ,而 ,/,PEGCDFBC即 , ， , 是直角三角形；/FGGEF（3） 时 , ,12B1323即 ,42cos45, 3ECRFPDR的面积F429EFG
16、S:21解：（1）由求根公式，不妨设 ，得2244,pqpq，2244pqpq 22（2）设 ，则 ，由112()nnxstxs12()nnxststx12nnpxq得， ，消去 ，得 ， 是方程 的根，tpqt0pq0由题意可知， 12,s当 时，此时方程组 的解记为stpq12stt或FCPGEAB图 5D112(),nnxx112(),nnxx即 、 分别是公比为 、 的等比数列，tts由等比数列性质可得 , ,2121()nnxx2121()nnxx两式相减，得 2()()， ，21,xpqx21x，22():nn222():nn，即 ，1nx1nx1nx当 时，即方程 有重根， ，20pq240pq即 ，得 ，不妨设 ，由可知2()40st(),ststst， ，2121(nnxx2121()nnxx即 ，等式两边同时除以 ，得 ，即n n1nx数列 是以 1 为公差的等差数列，1()nxnx综上所述，1,()n（3）把 ， 代入 ，得 ，解得1p4q20xpq2104x12()2:nnx3231.()().()22n nS:31().n n1()()()222nn
