1、无偏性,则称 为 的无偏估计 .,定义：,1,六.估计量的评价标准,特别地，,X B ( n , p ) n 1 , 求 p 的无偏估计量.,所以无偏估计量中方差较小的比较好, 这就引进了有效性这一概念 .,由于,都是总体参数 的无偏估计量, 且,有效性,2,例4 设总体期望为 E( X )= , 方差 D( X )= 2,为总体X 的一个样本,常数,证: (1),依定义知结论(1)成立。,(2),例5 设X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本，则,都是 的无偏估计量,定义 设 是总体参数 的,估计量. 若对于任意的 , 当n 时, 依概,率收敛于 , 即,一致性估计量仅
2、在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.,一致性（相合性）,3,七.参数的区间估计,前面我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 不同的样本值算得的 的估计值不同. 即点估计值作为近似值使用起来把握不大。,因此除了给出未知参数的点估计外，我们 还希望根据所给的样本确定一个随机区间， 使其包含参数真值的概率达到指定的要求.,譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估计为1000条.,若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.,实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于100
3、0条.,即希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.,这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的, 称为置信度 或 置信系数 /置信水平 /置信概率，,置信度的大小是根据实际需要选定的.,例如，常取置信度,根据一个实际样本，由给定的置信度，,我们求出一个尽可能小的区间,1、置信区间定义,满足,设 是 一个待估参数，给定,X1,X2,Xn确定的两个统计量,若由样本,和 分别称为置信下限和置信上限.,则称区间 是 的置信度为 的置信区间.,注意：给定样本和置信度 ，置信区间并不是唯一的.,N(0, 1),1) P(-1.96U1.96)=0.95,，由标准正态分布表，,2) P(
4、-1.75U2.33)=0.95,这个区间比前面一个要长一些，精确度低一点。,我们总是希望置信区间尽可能短.,类似地，我们可得到若干个不同的置信区间.,对任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u) 下95%的面积，就确定一个95%的置信区间.,如在概率密度为单峰且对称的情形，当置信区间上下限关于中心轴对称时的区间长度最短。,在求置信区间时，要查表求分位点.,的点 为X的概率分布的上 分位点.,类似X 的概率分布的下 分位点,另有X 的概率分布的双侧分位点,标准正态分布的上 分位点,设,若数 满足条件,2. 几个常用分布的上分位点,查书260页附表三,查书262页附表四,附表为双侧分位数,查书
5、264页附表五,F分布的分位点,查书266页附表六,(对称的分位点),3、置信区间的求法,因此这里我们有几个要求:,3.即使在概率密度不对称的情形，如 分布，F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间., N(0, 1),选 的点估计为 ,明确问题,是求什么 参数的置信区间? 置信度是多少？,解,寻找一个待估参数和 统计量的函数 ，要求 其分布为已知.,有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.,4、正态总体下置信区间的求法,对给定的置信水平,查正态分布表得,对于给定的置信水平, 根据U的分布，确定一 个区间, 使得U取值于该区间的概率为置信水平.,使,从中解得,于是所求 的
6、置信区间为,从例1可归纳出求置信区间的一般步骤如下:,2) 寻找参数 的一个良好的点估计T(X1,X2,Xn),3) 寻找一个待估参数 和估计量 T 的函数U(T, ),并且其分布为已知. (此步骤最关键！),5) 对“aU(T, )b”作等价变形得,因此 的置信度为 的置信区间为,一）均值 的置信区间,为已知,此时,可得到 的置信水平为 的置信区间为,或,5、正态总体下置信区间的结论：,，由例1知,例2 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X 可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个， 测得直径为（单位：cm）14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1 （1）试
7、求该天产品的平均直径EX的点估计； （2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信区间：=0.05；=0.01。,解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为,（2）由题设知XN（，0.06）,构造U-统计量，得EX的置信区间为,当=0.05时，,而,所以，EX的置信区间为（14.754，15.146）,当=0.01时，,所以，EX的置信区间为（14.692，15.208）,置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。,为未知，此时,可得到 的置信水平为 的置信区间为,此分布不依赖于 任何未知参数,由,或,例3 有一大批糖果.现从中随机地取 16 袋 , 称得重量(以克计)如下: 506 5
8、08 499 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值 的置信水平0.95为的置信区间.,解,这里,于是得到 的置信水平为 的置信区间为,例4 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态 分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）： 21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3， 21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。,解 由题设可知：口杯的重量XN（，2）,由抽取的9个样本，可得,由,得,查表得,全部口杯的平均重量的置信区间为（2
9、1.26，21.54）,方差 的置信区间,由,查2- 分布表，确定双侧分位数,从而得2的置信水平为1-的置信区间为,例5 已知某种果树产量服从（218，2），随机 抽取6棵计算其产量为（单位：公斤） 221，191，202，205，256，236 试以95%的置信水平估计产量的方差。,解,计算,查表,果树方差的置信区间为,可得到 的置信水平为 的置信区间为,标准差 的置信水平为 的置信区间为,由,例6 有一大批糖果.现从中随机地取 16 袋 , 称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体标准差 的置信水平0.95为的置信区间.,解,这里,于是得到 的置信水平为 的置信区间为,（1）方差已知，对均值的区间估计，构造U统计量,（2）方差未知，对均值的区间估计，构造T统计量,总体服从正态分布的对均值的区间估计,总结：,（4）均值未知，对方差的区间估计，构造2统计量,（3）均值已知，对方差的区间估计，构造2统计量,总体服从正态分布的对方差的区间估计,
