1、2.3 非周期信号的频谱 2.3.1 概述,瞬变信号 : 除了准周期信号以外的非周期信号称为瞬变信号。,图 瞬变信号的波形 a)电容放电时电压的变化 b)初始位移为A质量块的阻尼自由振动 c)受拉的弦突然拉断,准周期信号 : 两个或两个以上的正、余弦信号叠加，如果任意两个分量的频率比不是有理数，或者说各分量的周期没有公倍数。,2,瞬变信号,附加,3,非周期【准周期、瞬变】信号可以看成是周期 的周期信号。,2.3.2 瞬变信号的频谱傅里叶变换,【对于】傅里叶变换,当：,做代换,累加变成积分,函数傅里叶级数的复指数展开式,4,对时间积分后仅是 的函数，并记作,傅里叶变换（FT）,傅里叶逆变换 （I
2、FT）,得到：傅立叶积分式,记为：,5,以 代入，则有 用实频谱、虚频谱形式和幅值谱、相位谱形式表示,【以频率 表达】,6,非周期信号的幅频谱 和周期信号的幅频谱 很相似， 但是两者量纲不同 为信号幅值的量纲， 为信号单位频宽上的幅值，所以是频谱密度函数。工程测试中为了方便，仍称为频谱。 离散的 连续的,周期信号的幅值谱 与 瞬变信号的幅值谱 的,区别,7,解：,例2-3 求矩形窗函数的频谱,【森克函数】,傅里叶变换（FT）,【后一项积分等于零】,【试凑】,8,以 为周期并随 的增加作衰减震荡。是偶函数， 在 处为 0 。,定义森克函数：,9,具有与原信号幅值相同的量纲，是单位频宽上的幅值 。
3、 非周期信号频域描述的基础是傅氏变换。,非周期信号频谱的特点,频谱连续，幅值衰减,与 量纲不同,矩形窗函数及其频谱,10,2.3.3 傅里叶变换的主要性质了解函数在某一分析域的变化对应在另一分析域中相应的改变规律使复杂的信号分析得以简单化。, 奇偶虚实性,根据时域函数的奇偶性， 容易判断其实频谱和虚频谱的奇偶性。,11,若则当 为常数时，有：,可把复杂信号分解为一系列简单信号 进行频谱分析处理。, 线性叠加性质,据傅里叶变换的定义容易证明：,各时间函数线性组合的傅变 等于各函数傅变的线性组合。,12,上式表明：傅里叶正变换与逆变换之间存在着对称关系，即：信号的波形与信号频谱函数的波形有着互相置
4、换的关系。, 对称性质,若：小 的时域函数的傅里叶变换是大 函数； 则：大 的时域函数的傅里叶变换一定对应小 函数【自变量为 】。,则有：,若 ：,13,【如果 ，则时域里函数 对应频域的函数关系一定是 】,对称性图示,【森克函数】,14,证明：当信号 的时间尺度变为 时，有【变量代换 】, 时间尺度改变性质,即：时域时间变量增大 倍，则频域的频率和幅值均缩小 倍。,在信号 幅值不变的条件下,如：,则：,15,图1.10 尺度改变性质举例 a) k=1 b) k=0.5 c) k=2,记,现象 举例,k=1,时间尺度压缩（k1） k=2,时间尺度扩展（k1） k=1/2,16,信号沿时间轴平移
5、一常值 （为常数），则 （2-31）证明：,其频域相移为,时移特性, 时移和频移性质,此性质表明：在时域中信号沿时间轴平移一个常数值 时， 频谱函数将乘因子 ，即只改变相频谱，不会改变幅频谱。,17,时移性质举例 ： a) 时域矩形窗 b) 图a）对应的幅频和相频特性曲线 c) 时移的时域矩形窗 d) 图c）对应的幅频和相频特性曲线,1、已证幅频谱； 2、推广绝对幅值谱 3、图示相频谱,18,频移特性,若频谱沿频率轴向右平移一个常值 ， 对应的时域函数将乘因子 。,19,若,微分特性, 微分和积分特性,则有微分特性,同理,证明：,两边对时间微分：,移项、变量代换：,注意变换等式 与变换关系的
6、不同表达方式 即这两个式子 是等价的*,相等,同理可得,20,在振动测试中，位移、速度或加速度的综合应用。,如何应用？,积分特性,【据微分特性】,【微分与变上限积分相抵】,【整理】,或：,预备式,21,卷积定义： 为函数 与 的卷积，记为： 。则有：证明：同理可证：, 卷积性质,【卷积定义】,【傅变定义】,【配方、自变量分离】,时域的卷积对应于频域的乘积； 时域的乘积对应于频域的卷积。,22,在 时间内激发一个宽度为 ，高度为 的矩形脉冲 ， 则定义单位脉冲函数为 （2-39）,2.4 几种典型信号的频谱 2.4.1 单位脉冲函数及其频谱,1. 定义,矩形脉冲与 函数,23,延时到 时刻，则（
7、2-41）,或（2-40）,矩形脉冲与 函数,24,矩形脉冲与 函数,函数下的面积,25,函数与一个连续函数 乘积的积分结果相当于在 函数发生的坐标位置 对 的采样【取值】。,函数与一个连续函数 相乘，其乘积仅在 处 有 ，其余各点之乘积均为零，即,函数的性质,2.采样性质,（2-43）,（2-44）,【推广】,26,（2-45）（2-46）,3.卷积性质, 函数 与 卷积的结果相当于把函数 平移到脉冲函数发生的坐标位置。,同理有：,平移效果,函数是偶函数，即 *,据函数采样性质,27,图例,函数 和 函数卷积的结果，就是 图形搬迁 （以发生函数的位置作为新坐标原点的重新构图。）,图例,28,
8、 函数 和 函数卷积的结果，就是 图形搬迁。,工程上经常遇到的是频谱卷积运算,卷积性的应用,相当于把函数平移到 脉冲函数发生的坐标位置。,29,对 函数取傅立叶变换，得其频谱傅立叶逆变换,4. 函数的频谱,白噪声,30,傅里叶变换对,函数是偶函数，即,函数具有等强度、无限宽广的频谱， 这种频谱常称为“均匀谱” ,白噪声,利用对称、时移、频移性质，可以得到以下傅里叶变换对 ：,时域,时域,频域,频域,31,据不定积分 ：,单边指数函数的表达式,傅立叶变换为,单边,积分限 与符号,2.4.2单边指数函数信号的频谱,32,单边指数函数的频谱图,33,正、余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅氏变换。由欧拉公式知：（2-54）（2-55）,可得正、余弦函数的傅里叶变换,（2-56）,（1.58）,由前面的变换对可知：,时域,频域,2.4.3 正、余弦函数信号的频谱,（2-57）,34,正弦、余弦函数及其频谱,3-4#,
