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类型河北大学信号与线性系统分析第四章(二).ppt

  • 上传人:dreamzhangning
  • 文档编号:2333234
  • 上传时间:2018-09-10
  • 格式:PPT
  • 页数:100
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    河北大学信号与线性系统分析第四章(二).ppt
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    1、4.5 傅立叶变换的性质,对任意信号都可以在时域和频域中进行描述,联系这两种描述方法的纽带就是傅立叶变换。傅立叶变换的性质揭示了信号的特性、运算在时域和频域中的对应关系,当在某一个域中对信号进行分析和计算感到困难时,可以利用傅立叶变换的性质转换到另一个域中进行。另外,根据定义求取傅立叶正、反变换时,不可避免地会遇到麻烦的积分或信号不满足绝对可积的条件等问题,而利用傅立叶变换的性质则可以简捷地求得信号的傅立叶正、反变换。,一、线性,若 f1(t) F1(j), f2(t) F2(j) 那么,证明: F a f1(t) + b f2(t),= a F1(j) + b F2(j) ,a f1(t)

    2、+ b f2(t) a F1(j) + b F2(j) ,例1. F(j) = ?,解: f (t) = f1(t) g2(t),f1(t) = 1 2(),g2(t) 2Sa(), F(j) = 2() - 2Sa(),-,例2,=,+,二、时移性质,若 f (t) F(j) 那么,其中 t0为实数,证明: F f (t t0 ) ,例1 F(j) = ?,解: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5),g6(t - 5) ,g2(t - 5) , F(j) =,+,返回,例2,解:,三、对称性质,若 f (t) F(j) 那么,证明:,(1),(1)中 t

    3、 ,t 那么,(2),(2)中 - 那么, F(j t) 2f (),F( jt ) 2f (),利用对称性质可以方便地求得某些信号的傅立叶变换或傅立叶反变换。,傅立叶变换的对称性质可以帮助我们理解工程实际中的重要概念:,例如,时域中连续的周期信号的频谱是离散的、非周期的,根据对称性可知:时域中离散的、非周期信号的频谱必定是连续的、周期的。,例1, F(j) = ?,解:,若=1,* 若,F(j) = ?,例2 试求取样函数 的频谱函数。,解:,四、频移性质,若 f (t) F(j) 那么,证明:,其中0为实常数.,F e j0t f(t),= F j(-0),调制定理,例,f(t) = ej

    4、3t F(j) = ?,解: 1 2()ej3t 1 2(-3),五、尺度变换性质,若 f (t) F(j) 那么,其中a为非0实常数。,证明:,F f (a t ) =,对于 a 0 ,F f (a t ) ,对于 a 0 ,F f (a t ) ,即,f (a t ) ,令 a = -1,可得,f (- t ) F( -j),例 1,设 f (t)F( j), 则 f (at b) ?,解: f (t b),e -jb F( j),f (at b) ,或,f (at) ,f (at b) =,例 2,f(t) = F(j) = ?,解:,使用对称性质,使用尺度变换性质,令 a = -1,可

    5、得,六、卷积性质,时域卷积定理:,若 f1(t) F1(j), f2(t) F2(j) 则 f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j),频域卷积定理:,若 f1(t) F1(j), f2(t) F2(j),则 f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j),证明时域卷积定理:,F f1(t)*f2(t) =,使用时移特性,因此,F f1(t)*f2(t) =,= F1(j)F2(j),证明频域卷积定理:,例1,解:,使用对称性质,例2,七、时域微分和积分,若 f (t) F(j) 那么,证明:,f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j)f(-1)(t)= (t)*f(t

    6、) ,f(t)= 1/t2 ?,解:,例1:,例 2,若 f (t) F1(j) 证明,f (t) F1(j) + f(-)+ f()(),因此,总结如下: 若 f (n)(t) Fn(j),且 f(-)+ f() = 0则 f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,解:,例 3,令f (t) F (j),解:,f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2),F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2,F (j) =,注意到:,d(t)/dt = (t) 1,(t) 1/(j),例 4,例 5,八、频域微分和积分,若 f (t) F

    7、(j) 那么,(jt)n f (t) F(n)(j),其中,例 1,令f (t) = t(t) F (j)=?,解:,注意到: t(t) =(t) * (t) ,错误! 原因:()() 和(1/j)()未被定义,例 2,求,解:,例 3 证明,解:,例 4 证明,傅立叶变换性质的应用,例 1 若f(t)F(),试求(1-t)f(1-t)的傅立叶变换,例2 求图示信号的频谱。,解:,例3 求单边正弦信号和单边余弦信号的傅立叶变换。,同理可得,解:,例4 已知信号 的频谱 如图所示, 试写出其时域表达式。,解:(1) 利用对称性求解,(2) 利用调制定理求解,(3) 利用频域卷积定理求解,例5,例

    8、6,例7,解:,九、相关定理,若 f1(t) F1(j) f2(t) F2(j) 那么,4.6 能量谱和功率谱,由,当 为实函数时,有 ,得,称为帕斯瓦尔方程,或能量等式,例如单边指数信号,利用帕斯瓦尔方程可以计算一些积分:,在时域中计算其能量:,在频域中计算其能量:,定义:,为能量谱密度,简称能量谱。,显然,能量谱只与信号的幅度谱有关,与相位谱无关。,如,一、能量谱,作为能量谱密度的一个应用,下面从能量角度介绍信号的脉冲宽度和频带宽度的一般概念。,但是对于一般的信号来说,例如高斯脉冲,它在时域和频域中都没有零交点,这时其有效脉冲宽度和有效频带宽度可以从能量的角度来定义。,有效脉冲宽度 定义为

    9、:在时域中绝大部分能量所集中的那段时间,可以表示为,有效频带宽度 定义为:在频域中绝大部分能量所集中的那段频带,即,(一般取 ),无论采用什么定义,有效脉冲宽度(脉宽)和有效频带宽度(带宽)的乘积都是一个常数,即两者成反比。因此,要同时具有较窄的脉宽和带宽,就必须选用两者乘积较小的脉冲信号。,二、功率谱,是功率有限信号,功率谱指单位频率的信号功率,记为P(),在频带df内信号的功率为P()df,信号在整个频率范围的总功率,因此,R() P(),功率信号的功率谱与自相关函数是一对傅立叶变换。,维纳-欣钦关系式,求余弦信号,的自相关函数和功率谱。,解:对此功率有限信号,由自相关函数的定义,有,例1

    10、,功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅立叶变换,故功率谱为:,时域,频域,三、系统能量和功率谱分析,因此,显然,物理意义:响应的能谱等于激励的能谱与|H(j)|2的乘积,对功率信号:,Py()= |H(j)|2 Pf(),解:,系统函数,输出功率谱:,例2,又,由,得,平均功率,4.7 周期信号的傅立叶变换,一、正、余弦的傅立叶变换,12() 由频移特性得e j 0 t 2(0 )e j 0 t 2(+0 )cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 ) sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 ),二、一

    11、般周期信号的傅立叶变换,例1:周期为T的单位冲激周期函数T(t)=,解:,(1),例2:周期信号如图,求其傅立叶变换。,解:周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即,f(t) = T(t)* f0(t),F(j) = () F0(j),F(j) =,本题 f0(t) = g2(t),(2),(2)式与上页(1)式比较,得,这也给出求周期信号傅立叶级数的另一种方法。,4.7 LTI系统的频域分析,傅立叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。,对周期信号:,对非周期信号:,其基本信号为 ej t,频域分析:研究系统在不同频率的信号激励下,其零状态响应随频率

    12、变化的规律(频率响应特性)。频域分析法(傅立叶变换分析法):利用傅立叶变换在频域中求解系统的零状态响应的方法。,由线性时不变系统的数学模型,两边取傅氏变换,并利用时域微分性质,得,一、LTI系统的响应的傅立叶分析,傅立叶变换分析法的步骤:,(1) 求取激励 的傅立叶变换变换 ;,(2) 确定系统的系统函数 ;,(3) 计算响应的傅立叶变换 ;,(4) 取 的反变换,得 。,说明:频域分析中,信号的定义域为(,),而t= 总可认为系统的状态为0,因此本章的响应指零状态响应,常写为y(t)。,二、系统特性的频域表征,系统函数 描述了系统在零状态条件下,响应的傅立叶变换与激励的傅立叶变换之间的关系,

    13、表征了系统自身的特性,与激励无关。,1. 系统函数 的物理意义,(1) 系统函数 是冲激响应 的傅立叶变换,设LTI系统的冲激响应为h(t),当激励是角频率的基本信号ej t时,其响应,而上式积分 正好是h(t)的傅立叶变换,记为H()。,y(t) = H() ej t,H()反映了响应y(t)的幅度和相位。,y(t) = h(t)* ej t,(2)当激励为无时限的虚指数信号ejt 时,说明无时限的虚指数信号作用于系统时,其零状态响应(此时也是全响应)仍为同频率的虚指数信号,是激励乘以一个与时间 t 无关的复函数 ,结果是将激励信号在幅度上放大 倍,相位上附加一个 的相位后输出。,ej t,

    14、H(j ) ej t,F(j ) ej t d ,F(j )H(j ) ej t d ,齐次性,可加性,f(t),y(t) =F 1F(j )H(j ) ,Y(j ) = F(j )H(j ),(3)当激励为一般信号时,频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅立叶变换Y(j)与激励f(t)的傅立叶变换F(j)之比,即,H(j)称为幅频特性(或幅频响应);()称为相频特性(或相频响应)。H(j)是的偶函数,()是的奇函数。,频域和时域分析的关系:,傅立叶变换法,对周期信号还可用傅立叶级数法。,周期信号,若,则可推导出,例:某LTI系统的H(j)和()如图, 若f(t)= 2 + 4cos(5t

    15、) + 4cos(10t),求系统的响应。,解法一:用傅立叶变换,F(j) = 4() + 4(5) + (+5) + 4(10) + (+10),Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5) + 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) ,H(j)=H(j)ej(),= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) ,y(t) = F-1Y(j) = 2 + 2sin(5t),解法二:用三角傅立叶级数,f(t)的基波角频率=5rad/s,f(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t),H(0)

    16、=1, H(j) = 0.5e-j0.5, H(j2) = 0,y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5)= 2 + 2sin(5t),三、系统函数H(j)的求法,1. H(j) = F h(t),2. H(j) = Y(j)/F(j) 由微分方程求,对微分方程两边取傅立叶变换。 由频域电路直接求出。,3. 设激励为 ,求系统的零状态响应,例1:某系统的微分方程为y(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-t(t)时的响应y(t)。,解:微分方程两边取傅立叶变换,jY(j) + 2Y(j) = F(j),f(t) = e-t(t),Y(j) = H(j)F(j),y(t

    17、) = (e-t e-2t )(t),例2:如图电路,R=1,C=1F,以uC(t)为输出,求其h(t)。,解:画电路频域模型,h(t)= e-t (t),例3 已知描述系统的微分方程为,求系统函数 。,解:(1) 对微分方程观察,可直接求得,(2) 由第二章的方法,先求得冲激响应为,对冲激响应取傅立叶变换,得,实际上,很多情况下是反向运作,用来求 的。,例4 若系统的微分方程为 已知 试求系统的完全响应。,返回,该系统的齐次微分方程为,试画出响应 的频谱 的图形。,例5 已知系统的频率特性 如图所示,激励信号,频域分析法的优缺点,只能求零状态响应 ;,2. 反变换有时不太容易 ;,3. 物理

    18、概念清楚,在信号的频谱分析和系统的频率特性分析方面有突出的优点,是十分重要的工具。,四、无失真传输与滤波,系统对于信号的作用大体可分为两类:一类是信号的传输,一类是滤波。传输要求信号尽量不失真,而滤波则滤去或削弱不需要有的成分,必然伴随着失真。,1、无失真传输,(1)定义:信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比,只有幅度的大小和出现时间的先后不同,而没有波形上的变化。即输入信号为f(t),经过无失真传输后,输出信号应为y(t) = K f(ttd)其频谱关系为 Y(j)=Ke jtdF(j),系统要实现无失真传输,对系统h(t),H(j)的要求是:(a)对h(t)的要求:h(t)=K(

    19、t td)(b)对H(j)的要求:H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 即H(j)=K ,()= td,上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号时,只要在信号占有频带范围内,系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。,(2)无失真传输条件:,例:系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图(a)(b)所示,则下列信号通过该系统时,不产生失真的是,(A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2t) + sin(4t) (C) f(t) = sin(2t) sin(4t) (D) f(t) = cos2(4t),2、理想低通滤波器,具有如图所示幅

    20、频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为:,理想低通滤波器的通频带不为无穷大,故又称为带限系统。此类系统的失真取决于通带的宽度和信号的频带宽度。,(1)冲激响应,由图可见,产生了失真和延迟。这是因为理想低通滤波器是一个带限系统,而冲激信号的频带宽度为无穷大。延迟时间是理想低通滤波器相频特性的斜率。,而且是非因果系统,物理上是不可实现的。,(2)阶跃响应,g(t)=h(t)*(t)=,经推导,可得,称为正弦积分,特点:有明显失真,只要c,则必有振荡,其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。,gmax=0.5+Si()/

    21、=1.0895,理想高通滤波器,理想带通滤波器,理想带阻滤波器,类似地,还可以定义:,例1:已知带限信号 f (t) 的频谱和系统如图,试画出A、B、C各点的频谱密度,图中,例2:已知某线性时不变系统的频率特性,3、物理可实现系统的条件,就时域特性而言,一个物理可实现的系统,其冲激响应在t0时必须为0,即 h(t)=0 ,t0 即 响应不应在激励作用之前出现。 就频域特性来说,佩利(Paley)和维纳(Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足,并且,称为佩利-维纳准则。(必要条件) 从该准则可看出,对于物理可实现系统,其幅频特性可在某些孤立频率点上为0,但不能在某个有限频带内为0。,两

    22、种物理可实现的低通滤波器,4.8 取样定理,取样定理论述了在一定条件下,一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息,利用这些样本值可以恢复原信号。可以说,取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。,调制定理:把信号搬移到不同的频段来实现频分多路通信。(频分复用),取样定理(抽样定理):利用连续信号在等时间间隔上的瞬时值(样本值)来表示和恢复原信号,实现时分复用。,频分复用,时分复用,一、信号的取样,所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为取样信号。,如图一

    23、连续信号f(t),用取样脉冲序列s(t)(开关函数)进行取样,取样间隔为TS,fS =1/TS称为取样频率。,得取样信号fS(t) = f(t)s(t),取样信号fS(t)的频谱函数为FS(j)=(1/2)F(j)*S(j),(1)自然取样,由频域卷积定理,(2)冲激取样,若s(t)是周期为Ts的冲激函数序列Ts(t),则称为冲激取样。,如果f(t) 是带限信号 即f(t)的频谱只在区间(- m,m)为有限值,而其余区间为0 。,设f(t)F(j),取样信号fS(t)的频谱函数,FS(j)= (1/2)F(j)* S s(),S =2/TS,s(t)=Ts(t) S s(),=,*,=,上面在

    24、画取样信号fS(t)的频谱时,设定S 2m ,这时其频谱不发生混叠,因此能设法(如利用低通滤波器),从FS(j)中取出F(j),即从fS(t)中恢复原信号f(t)。否则将发生混叠,而无法恢复原信号。,二、时域取样定理,当S 2m 时,将取样信号通过下面的低通滤波器,其截止角频率C取m C S -m 。即可恢复原信号。,由于 fs(t)= f(t)s(t) = f(t),H(j) h(t) =,为方便,选C = 0.5S ,则TsC /=1,所以,根据f(t)=fS(t)*h(t) ,有,只要已知各取样值f(nTs),就出唯一地确定出原信号f(t)。,时域取样定理:一个频谱在区间(-m,m)以外

    25、为0的带限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔Ts Ts1/(2fm) 上的样值点f(nTs)确定。,注意:为恢复原信号,必须满足两个条件:(1)f(t)必须是带限信号;(2)取样频率不能太低,必须fs2fm,或者说,取样间隔不能太大,必须Ts1/(2fm);否则将发生混叠。,通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为奈奎斯特(Nyquist)频率,把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。,频域取样定理: 根据时域与频域的对偶性,可推出频域取样定理。P187一个在时域区间(-tm,tm)以外为0的时限信号f(t)的频谱函数F(j),可唯一地由其在均匀频率间隔fsfs1/(2tm)上的样值点F(jns)确定。,例:设 为带限信号,带宽 ,频谱如图所示,试分别求 的带宽和奈奎斯特取样率 。,进行取样,得取样信号 ,试求 的频谱 ,,续上例:若用取样序列,并画出其频谱图。,对信号,频谱见右图。,例:求下列信号的奈奎斯特取样率。,(2) 时域中两个信号相乘,所得信号的带宽为原来两个信号的带宽之和,所以,解:(1),(3) 时域中两个信号相加,所得信号的带宽应为原来两个信号中带宽大的那个信号的带宽,即,另外,时域卷积对应于频域相乘,带宽应取小的。,

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