1、设 ，则 。.21,nAn nAlim2,0德摩根公式为（1） (2) 。C)( CA)(康托尔三分集 P ， 实数集 R ， n 维欧几里得空间都是基数为 C 的集合。nR设 E 是 中函数 的图形上的点组成的集合，20,1cosxy则 ， 。),0(0E若 是直线上开集 G 的一个构成区间，则 满足 ),( ),(。不 属 于，而 且 端 点 完备集指的是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集 。L 外测度区别于 J 外测度的性质为 无限可列可加性 。型集的定义为 设集合 G 可表示为一列开集 之交集 G iG1iG。若 ，则说 在 E 上 几乎处处收敛于 f 0ffmEn不 收 敛 于 )(x
2、fn。若 ，则 的子列 使得 在 E 上Exffn),()(xfn)(xfjn。ea收 敛 于.设 ，则 。.21,An nAlim伯恩斯坦定理为 设 A,B 是两个非空集合，如果 A 对等于 B 的一个子集，B 又对等于 A 的一个子集，那么 A 对等于 B 。正整数集 ， 有理数集 ， 可数集的并 都是可数集合。设 E 是 中函数 的图形上的点组成的集合，2R0,1sinxy则 ， ),(yE 0E。若 对任一点集 T 都有 ，则称集合 E 可)(*)(*cTmEm测。L 外测度区别于 J 外测度的性质为 无限可列可加性 。如果 的任一邻域内都有无穷多个属于 E 的点 ，则称0P点 为 E
3、 的聚点。的定义为 对集列 那种除有限个下标外，属于集nAlim ,21nA列中每个集合的元素全体所组成的集合 。（0，1）上全体有理点 构成的点集的基数为 a P。直线上的开集的构造为 有限个或可数个互不相交的构成区间的和集 。R 积分的缺陷为（1）R 积分与极限可交换的条件太严 （2）积分运算不完全是微分运算的逆运算 。直线上开集的构造定理为 直线上任一个非空开集可以表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的和集 。叶果洛夫定理为 设 ， 是 E 上一列 a.e.收敛于一个)(Emnfa.e.有限的函数 f 的可测函数，则对任意 ，存在子集 ,使0E在 上一致收敛，且 。nfE)(的定义为
4、设 是 上的一列 a.e.有限的可测)(xfnfqRE函数，若有 E 上 a.e.有限的可测函数 满足下列关系：对任)(xf意 有 则称函数列 依测度收敛于 00limfnn nf。命题 在集合 E 上几乎处处成立0)(, 111 Em上 处 处 成 立 且在若命题 在集合 E 上“基本上”成立 )(,0上 成 立 且在使函数列 在集合 上 收敛于)(xfn.ea)xf )(Ef,n EmE上 一 致 收 敛 ， 且在使集合 上的简单函数的定义E 表示为有限个互不相交的可测集 ，而且在每个 上k,2,1 i取非负常数值 ，也就是说)(xic)()(xcxIEi函数列 在集合 E 上依测度收敛与
5、几乎处处收敛的关系)(fn书上的两个定理两个例题归纳康托集 的特征P(1)P 是完备集(2)P 没有内点(3) 是可数个互不相交的开区间，其长度之和为 11,0(4)P 的测度为 0(5)P 的基数是 c勒贝格积分与黎曼积分的关系是什么？（没讲第五节的） 勒贝格积分是黎曼积分的推广，对于非负函数而言勒贝格积分也是黎曼积分的推广，在一班情况下勒贝格积分并不是 R 反常积分的推广，因为勒贝格积分是绝对收敛的积分而收敛的 R 反常积分并不一定绝对收敛。简述狄里克雷函数的定义，以及它在实变函数中的作用， ， ，在闭区间 上狄利克雷函数是简单函数，QxcD10)( 1,0即使可测的非连续的函数，在任何闭
6、区间 上（L）ba,，即在 上的 L 积分为零。badxf)(1R若 A，B 可测， 且 ，则 （ 错 ）BAmB设 E 为点集， ，则 P 是 E 的外点 （ 错 ）点集 是闭集 （ 错 ） ,12,n任意多个闭集的并集是闭集。 （ 错 ）若 ，满足 ，则 为无限集合。 （ 对 ）nREEm*勒贝格测度是具有无限可加性的测度 （ 错 ）设 E 为点集， ，则 P 是 E 的内点 （ 错 ）点集 是闭集 （ 错 ） ,12,n任意多个开集的交集是开集 （ 错 ）有界函数必是有限函数 （ 对 ）开集的余集为闭集 （ 对 ）设 是 空间中以有理点（即坐标都是有理数） ，有理数为半径的M3R球的全体
7、，证明 为可数集 证明：任意 M 中的圆，由三个独立记号决定：（x,y,r）,其中（x,y）是圆心的坐标，r 是圆半径，x,y 各自跑遍有理数，而 r跑遍大于 0 的有理数，因而都是可数集，所以 ，即 M 为可a数集。设 是康托集，PPxxf 1,0,)1ln()23求 10()dfL解：令 G= ,且0mP 31 )()()()()(0)()()(0 1021,02222 x dxRxLdxxLdxdxfLxff PGGG证明集合 E 可测的充要条件为，对任意 ， ，总有EACBBmAm)(证明：必要性取 ,则 ,所以TBETC,BmAmBAC*)(*)(*)(* 充分性对于任意 T，令 ,则 ,因此CETBA, TBAEA且,)(*)(*)(* Cmmm设函数 在 Cantor 集 中点 上取值为 ，而在 的余集中长为)xf0Px3x0P的构成区间上取值为 ，求n31 ),21(,6n10)(dfL解：将闭区间 分为两两不相交的集合：, 21,G其中 为 Cantor 集， 是 的余集中一切长为0PnG0Pn3的构成区间（共有 个）之并。由 L 积分的可数12可加性，并且 ,可得0m16 219326161061)( )()()()(100 010 nnnnGP nGPGPmdxdxf dxfdxfxfffLn证明点集 F 为闭集的充要条件为 F证： F _,为 闭 集且
