1、1追及与相遇问题(详解)导读：就爱阅读网友为您分享以下“追及与相遇问题(详解)”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对 的支持!第 1 页 共 10 页 追及与相遇问题 刘玉平课时安排：3 课时三维目标：1、 掌握匀变速直线运动的速度、位移公式以及速度位移公式；2、 能灵活选用合适的公式解决实际问题；3、 通过解决实际问题，培养学生运用物理规律对实际生活中进行合理分析、解决问题的能力；4、 通过教学活动使学生获得成功的愉悦，培养学生参与物理学习活动的兴趣，提高学习自信心。 教学重点：灵活选用合适的公式解决实际问题；教学难点：灵活选用合适的公式解决实际问题。教学方法：启发式、讨论式。教学过程两物体在
2、同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条2件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系求解。一、 追及问题1、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种： 初速度比较小（包括为零）的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上。ab 、当两者位移相等时，即后者追上前者。 匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。a 小距离；b 条件；c
3、 在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个值都有意义。 即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相3等时两者间距离有一个较大值。 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟类似。匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟类似；被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。2、分析追及问题的注意点： 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。 若被追
4、赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意 v t 图象的应用。第 2 页 共 10 页二、相遇 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。【典型例题】4【例 1】 在十字路口，汽车以 0.5m/s2 的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以 5m/s 的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：（1） 汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？（2） 在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？解：汽车追上自行车
5、之前，两车速度相等时相距最远，设所用时间为 tv 汽at v 自 t 10s 最远距离 x x 自x 汽v 自 t 21at 225m 设汽车追上自行车所用时间为 t 此时 x 自x 汽 v 自 t 21a t2 t 20s 此时距停车线距离 x v 自 t 100m 此时汽车速度 v 汽a t10m/s【例 2】 客车以 30m/s 的速度行驶, 突然发现前方 72 m 处有一自行车正以 6m/s 的速度同向匀速行驶, 于是客车紧急刹车, 若以 3m/s2 的加速度匀减速前进, 问：（1） 客车是否会撞上自行车? 若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上？5（2） 若要保证客车不会撞上自行
6、车，客车刹车时距离自行车至少多远？（3） 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？ 1） 速度相等时用时 t ，则 30-3t=6m/s 解得 t=8s，此时自行车行驶 6*8=48m，客车行驶 30*8-1/2*3*8*8=144,72+48=120m144m,所以会撞上。假设 t 时刻撞上，则有 30*t-1/2*3t2=72+6*t 解得 t1=4s，t2=12s（舍去）2）不会撞上则速度相同时刚好不会撞上。由（1）中得144=48+S，所以至少相差 96m【例 3】 在一条平直的公路上，乙车以 10m/s 的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为 15m/s，加速度大
7、小为 0.5m/s2 的匀减速运动，则两车初始距离 L 满足什么条件时可以使：（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动） 。 a=-0.5 v1=10 v2=15当甲车减速为 v=10 时，两车速度相同。即之后甲车速度小于乙车。设甲车 v=10 时，辆车正好相遇。t=(v1-v2)/a=10.s 甲 =v2*t+at /2=15*10-0.5*10*10/2=1256s 乙 =v1*t=100L=s 甲-s 乙=25（m ）即当 L25 时为两车相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）当 L=25 时为两车只相遇一次当 L25 时为两车不相
8、遇【例 4】 如图,A 、B 两物体相距 S=7 米,A 正以V 1=4 米/秒的速度向右做匀速直线运动, 而物体 B 此时速度 V 2=10 米/ 秒, 方向向右 , 做匀减速直线运动(不能返回), 加速度大小 a=2 米/秒 2,从图示位置开始计时, 经多少时间 A 追上 B. V第 3 页 共 10 页 解: 物体 B 的运动时间为 5210=a V t A B 秒 在此时间内 B 前进了 255210=B B t S 米 这时 A 前进了 2054 =B A A t V S 米可见在此时间内 A 没有追上 B, 必须在 B 停止后,A 才能追上 B.故 A 追上 B 的时间为 : 84
9、257=+=+=A B V S S t 秒 【例 5】 一辆摩托车行驶的最大速度为 30m/s。现让该摩托车从静止出发，要在 4 分钟内追上它前方相距 1 千米、正以 25m/s 的速度在平直公路上7行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度？解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。则：=221at V 0t+S0 （1） a =24. 024010002240252222200=+=+t S t V （m/s2） （2） 摩托车追上汽车时的速度： V = at = 0.24240 = 58 (m/s) （3）因为摩托车的最大速度为 30m/s，所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。应先匀加速
10、到最大速度再匀速追赶。 ()t V S t t V at m 0012121+=-+ （4） Vm at 1 （5）由（4） （5）得：t 1=40/3（秒） a=40903/40302.25 (m/s) 【例 6】汽车以 1m/s2 的加速度起动，同时车后 60m 远处有一人以一定速度 V 0 匀速追赶要车停下已知人在离车小于 20m ，且持续时间为 2s 喊停车，方能把停车信息传达给司机，问 V 0 至少要多大？如果以 V 0=10m/s 的速度追车，人车距离最小值应为多少？解：8方法一、 设经过时间 T 人和车相距 20m ，则根据位移关系可得 60 m1/2aTV 0T 20m将 a
11、1m/ s2 代入上式并整理得 T 22V 0T 800设为该方程的两个根，由韦达定理有 T1T 22V 0 T1T 280 又因为人车相距 20 m 以内的时间至少持续 2s ，所以有 T1T 22 解可得的最小速度为 9m/s。当 V010m/s 时经过一段时间 t 后人车之间距离为d 1/2aT 260V 0T 1/2T 210T 601/2(T10) 210当 T 10s 时,d 取得最小，即人与车的最小距离为10m 。第 4 页 共 10 页 点评 本题可以有多种解法，相比较而言用韦达定理和配方法求解更为简便一些，这种简便不仅体现在求解运算上，更体现在解题思路上。方法二、已知人在离车
12、小于 20m ，且保持时间为 2s 喊停车方能把停车信息转达到司机，那么题意就是当距离为20m 后，再经过 2s ，距离仍然不超过这个范围。相当于人追赶了车 40m. 所以有， vt-1/2a t 2=40 同时v(t+2）-1/2a (t+2)2=40 9-得 t=v/a+1 将 代入得最小速度v = 9m/s.如果 10m/s，当然是车的速度也是 10m/s 的时候，距离最小。所以最小距离=60-10*10-1/2*102=10m方法三、因为人在离车距离小于 20m. 持续时间为 2s 喊停车. 才能把信息传给司机. 经过时间 t 后人与车相距为20m 即 1/2at2+60-vo t=2
13、0此时车速为 at ，接下来 2s 内保持 20m 距离即 2v o =at2+1/2a22.解得 t=8s. v o =9m/s方法四、 根据题意，要在汽车的速度达到 V 之前，人与车的距离小于 20m ，因为如果在汽车速度达到 V 的时候人车的距离还大于 20m ，那汽车在加速，速度变得比人快，人车的距离就在变大了，永远超都追不上了，同时也不能等于，因为人在叫的时候要 2 秒，那会儿，汽车还在行进，我们的目标是要使人在叫的过程中人车的距离都要小于 20m, 既然这样那就分析当人叫完两秒的时候的情况。人距车的距离关于 t=v/a 对称，也就是说 t=v/a+1 也就是t=v+1（因为 a=1
14、）时，人距车必须小于 20 米，有60+1/2*(v+1) -v*(v+1)=20,解出 v 就 o 了10方法五、根据判别式等于零来求解。作业：1一辆值勤的警车停在公路边。当警员发现从他旁边以v=8ms 的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶。经 2.5s ，警车发动起来，以加速度 a=2ms 2 做匀加速运动，试问：（1）警车要多长时间才能追上违章的货车?（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大?解析：方法 1、利用速度相等这一临界条件求解，警车和货车速度相等时相距最远。v 警=at，v 货=v0，由 v 警=v 货得 at 1=v0即相距最远时警车所用的时间为 t 1=4
15、s此时货车和警车前进的距离分别为 x 货=v0（t 0+t1）=8ms （2.5s+4s ）=52ms 警 =2m s 2（4s ）2=16m两车的最大距离为 x max =x 货x 警=52m 16m=36m两车的位移分别为 x 警=，x 货=v0（t+t0 ）追上时两车位移相等 x 警=x 货，即= v0（t +t0 ）解得追上时所用时间 t 2=10s。第 5 页 共 10 页 方法 2、利用二次函数的知识求解。11货车和警车的位移分别为 x 警= ，x 货=v0 （t+t0） ，两车的位移之差为x=x 货 x 警=v0（t+t0 ）= t 2+8t+20=（t 4）2+36当 t=4s
16、 时，x 有最大值 36m ，即追上之前相距最大为36m 。当 t=l0s 时，x=0，即相遇。2客车以 20m/s 的速度行驶, 突然发现同轨道前方 120处有一货车正以 5m/s 的速度同向匀速行驶, 于是客车紧急刹车, 若以 0.9m/s2 的加速度匀减速前进, 问：（1） 客车是否会撞上货车? 若会撞上货车，将会在匀减速前进多久时撞上？（2） 若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时距离货车至少多远？（3） 若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时的加速度至少多大？3甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以 v 1=10m/s 的速度做匀速运动，经过车站 A 时关闭油门以 a 1=4m/s2
17、的加速度匀减速前进。2s 后乙车与甲车同方向以a 2=1m/s2 的加速度从同一车站 A 出发，由静止开始做匀加速直线运动。问乙车出发后经多长时间追上甲车？12解析： 解法一（公式法）：甲、乙两车自同一地点于不同时刻开始运动，乙车出发时甲车具有的速度为100111=-=t a v v t m/s42-m/s=2 m/s，此时离甲车停止运动的时间 4211=a v t t s=0.5s。 根据题设条件，乙车在 0.5s 内追不上甲车，也就是说乙车追上甲车时，甲车已经停止了运动。甲车停止时离车站 A 的距离 421022121=a v x 甲 m=12.5m， 设乙走完这段路程所需的时间为 t ，
18、由甲乙 x t a x =2221 得 15. 12222=a x t 甲s=5s。 故乙车出发后经过 5s 追上甲车。联想 求解本题最易犯的错误是：根据追上的条件乙甲 x x =，有 222010121) (21) (t a t t a t t v =+-+， 代入数据可得 t =2.6s。错误的原因在于对汽车等运输工具做减速运动的实际规律理解不深。本题中甲车在被乙车追上前已停止运动。上述计算的实质是认为甲车速度减为 0 后又反向加速运动，所以计算出与乙车相遇的时间就短了。4在水平直轨道上有两列火车 A 和 B 相距 s 。A 车在13后面做初速度为 v 0、加速度大小为 2a 的匀减速直线
19、运动；而 B 车同时做初速度为 0、加速度大小为 a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求 A车的初图 237第 6 页 共 10 页 速度 v 0 应满足的条件。解析： 要使两车不相撞， A 车追上 B 车时其速度最多只能与 B 车速度相等。设 A 、B 两从相距 s 到 A 车追上B 车时，A 车的位移为 x A ，末速度为 v A ，所用时间为t ；B 车的位移为 x B ，末速度为 v B ，运动过程如图237 所示。现用四种方法求解。解法一（利用位移公式和速度公式求解）：对 A 车有 20) 2(21t a t v x A -+=，t a v v a ) 2(0-+
20、=。 对 B 车有 221at x B =，at v B =。 两车有 B A s s s -=，追上时，两车刚好不相撞的条件是 B A v v =，由以上各式联立解得 as v 60=。故要使两车不相撞，A 车的初速度 v 0 应满足的条件是 v 0as 。解法二（利用速度公式和速度位移关系式求解）：两车刚好不相撞的临界条件是：即将追上时两车速度相等。设此速度为 v ，A 车追上 B 车前，A 车运动的时间14为 av v a v v a v v t A A A 22000-=-=-=， B 车运动的时间为 a v a v t B B =, 因为 B A t t =，所以 a v a v v
21、 =-20，即 30v v = A 车的位移 av v a v v x A A A 42220202-=-=， B 车的位移 a v a v x B B 2222=， 因为 B A x s x +=，所以 a v s a v v 242220+=-。 即 av v s 43220-= 两式联立解得 as v 60=。故要使两车不相撞，A 车的初速度 v 0 应满足的条件是 v 0as 。解法三（利用判别式解）：由解法一可知 B A x s x +=，即 22021) 2(21at s t a t v +=-+， 整理得 02302=+-as t v at 。这是一个关于时间 t 的一元二次方程
22、，当根的判别式 s a v 234) 2(20-=0 时，t 无实第 7 页 共 10 页 数解，即两车不相撞。故要使两车不相撞，A 车的初速度 v 0 应满足的条件是 v 0as 6。15解法四（用速度图象解）：如图 238 所示，先作 A 、B 两车的速度图象。设经过时间 t 两车刚好不相撞，则对 A 车有 at v v v A 20-=，对 B 车有 at v v B =，由以上两式联立解得 av t 30=。 经时间 t 两车的位移之差，即为原来两车间的距离 s ，它可用 速度图象中阴影部分的面积表示，由速度图象可知 av a v v t v s 63212120000=。 故要使两车
23、不相撞，A 车的初速度 v 0 应满足的条件是 v 0as 6。联想 分析解决两物体的追及、相遇类问题，应首先在理解题意的基础上，认清两物体在位移、速度、时间等方面的关联，必要时须画出运动关联的示意图。这类问题的特殊之处是常与极值条件或临界条件相联系。分析解决这类问题的方法有多种，无论哪一种方法，分析临界条件、解决相关的临界条件方程或用数学方法找出相关的临界值，是解决这类问题的关键和突破口。5甲、乙两车相距为 s ，同时同向运动，乙在前面做加速度为 a 1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为 a 2、初速度为 v 0 的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。解析 解
24、法一（物理方法）：16由于两车同时同向运动，故有 v 甲= v0+ a 2t ，v 乙= a1t 。（1）当 a 1a 2 时，a 1t a 2t ，可得两车在运动过程中始终有 v 甲 v 乙. 。由于原来甲车在后，乙车在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然追上乙车。由于甲车追上乙车时 v 甲 v 乙，所以甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次。（2）当 a 1= a 2 时，a 1t = a2t ，v 甲 v 乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次。（3）当 a 1a 2 时，a 1t a 2t ，v 甲和 v 乙的大小关系会随着运动时间的增大而发生变化. 。刚开
25、始 a 1t 和 a 2t 相差不大且甲有初速度 v 0，所以 v 甲 v 乙. 。随着时间的推移，a 1t 和 a 2t 相差越来越大，当 a 1t -a 2t = v0 时，v 甲= v 乙，接下来 a 1t -a 2t v0，则有 v 甲 v 乙。若在 v 甲= v 乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于 v 甲 v 乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在 v 甲= v 乙时，两车刚好相遇，随后由于 v 甲 v 乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在 v 甲= v 乙之前，甲车已超过乙车，即已相遇一次，随后由于 v 甲 v 乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇
26、一次，则两车能相遇两次。方法二(数学方法）：17设经过时间 t 两车能够相遇，由于图 238第 8 页 共 10 页 22021t a t v s +甲， 2121t a s 乙， 相遇时有 s s s =-乙甲，则 022) (0221=+-s t v t a a ，所以 2121200) (2a a sa a v v t -=。（1）当 a 1a 2 时，t 只有一个解，则相遇一次。（2）当 a 1= a2 时，s t v t a t a t v s s =-+=-0212202121 乙甲，所以 0v s t =. 。t 只有一个解，则相遇一次。（3）当 a 1a 2 时，若 s a a
27、 v ) (22120-，t 无解，即不相遇；若 s a a v ) (22120-=，t 只有一个解，即相遇一次；若 s a a v ) (22120-，t 有两个正解，即相遇两次。 联想 以上两种解法，正好体现了解答物理问题的两种典型思路。方法一从比较两车的速度关系和位移关系出发，经过仔细而严密的逻辑推理，得出了不同条件下的不同结果。这种解法注重物理过程的分析，物理情景比较清楚。方法二先假设两车相遇，由两车位移之间的关系列出求解相遇时间的方程，然后再对方程解的个数展开讨论。这种解法的特18点是将物理问题转化为数学问题，充分运用数学规律和技巧使问题得以解决，论述简洁明了。6 羚羊从静止开始奔
28、跑，经过 s 1=50m 的距离能加速到最大速度 v 1=25m/s，并能维持一段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过 s 2=60m 的距离能加速到最大速度 v 2=30m/s，以后只能维持这个速度 4.0s 。设猎豹距离羚羊 x 时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后 1.0s 开始奔跑，假设羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，问：(1) 猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x 值应在什么范围？(2) 猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x 值应在什么范围？解析： (1) 猎豹在达最大速度且尚未减速前追到羚羊，即猎豹的运动只能是先匀加速运动后匀速运动。设猎豹在维持最大速度的时间
29、 t 内追到羚羊，由题意知 t 4.0s 。现在我们首先探索的问题是：当猎豹追上羚羊时，羚羊的运动情况如何？为此，我们可先分别求出羚羊和猎豹做加速运动的加速度和时间。羚羊做加速运动的加速度为 50225221211=s v a m/s2=6.25m/s2， 羚羊做加速运动的时间为 2519. 625111=a v t s=4.0s；第 9 页 共 10 页 而猎豹做加速运动的加速度为 60230222222=s v a m/s2=7.5m/s2， 猎豹做加速运动的时间为 5. 730222=a v t s=4.0s。 若猎豹刚达到最大速度时追上羚羊，则羚羊只加速了 t =3s，有 602121
30、21=-=t a s x m 2325. 621-m=32m； 若猎豹刚要减速时追上羚羊，则有60) (112221=+-+=t v s t v s x m 430+m ) 32550(+-m=55m。由此可知，猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x 值应为 32m x 55m 。(2) 羚羊刚要开始奔跑时，猎豹已前进的距离2202315. 72121=t a x m=3.75m。 由此可知。猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x 值应为 3.75mx 32m 。联想： 本题的求解告诉我们，研究物体的运动，首先要分析清楚物体的运动过程。特别是当物体有多个运动阶段时，必须明确问题所研究的是运动的哪一个
31、阶段。当问题涉及多个物体的运动时，应先分别独立研究各个物体的运动，然后找出它们之间的联系。207甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以 v 1=16m/s 的初速度，a 1=-2m/s2 的加速度作匀减速直线运动，乙车以 v 2=4ms 的速度，a 2=1m s 2 的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。解法一：两车同时同向出发，开始一段由于甲车速度大于乙车速度，将使两车距离拉开，由于甲车作匀减速运动，乙车作加速运动，总有某一时刻两车速度相同，此时两车相距最远，随着甲车进一步减速，乙车进一步加速，动车速度大于甲车速度，使两车距离变小，当乙车追上甲
32、车时两车运动位移相同。当两车速度相同时，两车相距最远，此时两车运动时间为 t 1，两车速度为 v对甲车： v=v1+a1t 1 对乙车： v=v2+a2t 1两式联立得 t 1=(v1-v 2)/(a1-a 2)=4s此时两车相距 s=s1-s 2=(v1t 1+a1t 12/2)- (v2t 1+a2t 12/2)=24m当乙车追上甲车时，两车位移均为 s ，运动时间为 t 则： v 1t+a1t 2/2=v2t 2+a2t 2/2得 t=8s 或 t=0 (出发时刻，舍去。)21解法二：甲车位移 s 1= v1t+a1t 2/2 乙车位移 s 2= v2t 2+a2t 2/2某一时刻两车相
33、距为s s=s1-s 2= (v1t+a1t 2/2)-(v2t 2+a2t 2/2) =12t-3t2/2当 t=-b/2a 时，即 t=4s 时，两车相距最远 s=124-342/2=24m当两车相遇时，s=0，即 12t-3t 2/2=0 t=8s 或 t=0(舍去)8 火车甲以速度 V 1 向前行驶，发现前方 S 米处另一辆火车乙正以速度 V 2（V 2V 1）做匀第 10 页 共 10 页 减速运动，加速度的大小为 2，火车甲为了避免与火车乙相撞，也开始做减速运动，则加速度 1 的大小至少为多少？解：因为二者均作匀减速运动，所以它们的 V-t 图都是直线，根据题意可作图五，图中阴影部
34、分的面积即是甲、乙两车停下时它们的位移差 S 1。222112121t V t V S -=2212t V V -=222V t =22222112V V V S -= 当 S S 1 S 22212) (V V V -时 它们相遇有共同的速度。如图中的点。此时的解是（由图可知） 121) (21t V V S -= 221V V t -= 111V V t -= 222112) (+-=S V V 当 S S 2，既 S 22212) (V V V -时，此时的解由图可知 22/112121t V t V S -= 222V t = 111V t = 22222112V S V += 由此可见，利用图象不但物理过程清楚。还可以避免漏解。百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆
