1、 六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page0 of 14知识框架一 质数与合数1基本概念一个数除了 1 和它本身,不再有 别的约数, 这个数叫做质数 (也叫做素数).一个数除了 1 和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数 .要特别记住:0 和 1 不是质数,也不是合数 .考点: 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点. 除了 2 和 5,其余质数个位数字只能是 1,3,7 或 9.这也是很多题解题思路,需要大家注意.2.部分特殊数字的分解; ; ; ; ;13710134127013719537198237; ; ; .228253. 判断一个数是否为质数的方法根据定
2、义如果能够找到一个小于 p 的质数 q(均为整数) ,使得 q 能够整除 p,那么 p 就不是质数,所以我们只要拿所有小于 p 的质数去除 p 就可以了;但是这样的计算量很大,对于不太大的 p,我 们可以先找一个大于且接近 p 的平方数 ,再列出所有不大于 K 的质数,用这些质数去除 p,如没有能 够除尽的那么 p 就2K为质数.例如:149 很接近 ,根据整除的性 质 149 不能被 2、3、5、7、11 整除,所以 149 是质数.14二、约数与倍数11 求最大公约数的方法分解 质因数法 :先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来例如: , ,所以 ;23712537(231,5)721短除
3、法: 先找出所有共有的约数,然后相乘例如: ,所以 ;89632(,8)236辗转 相除法: 每一次都用除数和余数相除,能 够整除的那个余数,就是所求的最大公约数用辗转相数论模块综合复习六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page1 of 14除法求两个数的最大公约数的步骤如下:先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是 0 为止那么,最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是 1,那么原来的两个数是互质的)例如,求 600 和 1515 的最大
4、公 约数: ; ; ;15602315 601285 330; ;所以 1515 和 600 的最大公约数是 15285391 21.2 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变;求出各个分数的分母的最小公倍数 a;求出各个分数的分子的最大公约数 b; 即为所求a2.1 求最小公倍数的方法分解 质因数的方法;例如: , ,所以 ;23172537231,53712短除法求最小公倍数;例如: ,所以 ;8396218,2326 ,(,)ab2.2 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数;求出各个分数分子的最小公倍数 ;求出各个分数分母的最大公约数 ;ab即为所求例如
5、: ba35,15,412()4注意:两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数 .例如: 1,4,233.1 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。如:1400 严格分解质因数之后 为 ,所以它的 约数有(3+1)(2+1) (1+1)=432=24 个。(包括 13257和 1400 本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点,授 课时应 重点讲解,公式的推 导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理” 形式基 础之上,结合乘法原理推导出来的,不是很复杂,建 议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式
6、的逆推,有相当一部分常考的偏 难题型考察的就是 对这个公式的逆用,即先告诉一个数有多少个约数,然后再结合其他几个条件将原数 “还原构造”出来,或者是“构造出可能的最值”。3.2 求任一整数的所有约数的和六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page2 of 14一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有 约数的和。如: ,所以 21000 所有约数的和为32105723()(15)(17480此公式没有第一个公式常用,推导过程相对复杂,需要 许多步提取公因式,建议帮助学生找
7、规律性的记忆即可。三、余数问题三大余数定理:1.余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数之和,或这个和除以 c 的余数。例如:23,16 除以 5 的余数分 别是 3 和 1,所以 23+16=39 除以 5 的余数等于 4,即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。例如:23,19 除以 5 的余数分 别是 3 和 4,所以 23+19=42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数,即2.2.余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数的积,或者这个积除
8、以 c 所得的余数。例如:23,16 除以 5 的余数分 别是 3 和 1,所以 2316 除以 5 的余数等于 31=3。当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之 积再除以 c 的余数。例如:23,19 除以 5 的余数分 别是 3 和 4,所以 2319 除以 5 的余数等于 34 除以 5 的余数,即 2.3.同余定理若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a、b 对于模 m 同余,用式子表示为:ab ( mod m ),左边的式子叫做同余式。同余式读作:a 同余于 b,模 m。由同余的性 质,我们可以得到一个非常重要的推论:若两个数 a,b 除以同一个数 m 得到的
9、余数相同, 则 a,b 的差一定能被 m 整除用式子表示为:如果有 ab ( mod m ),那么一定有 abmk,k 是整数,即 m|(ab)中国剩余定理一个自然数分别除以 3,5,7 后,得到三个余数分别为 2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得 这个数字除以 3 余 1,并且还是 5 和 7 的公倍数。先由 ,即 5 和 7 的最小公倍数出发,先看 35 除以 3 余 2,不符合要求,那么就继续看 5 和 757的“下一个”倍数 是否可以,很显然 70 除以 3 余 120类似的,我们再构造一个除以 5 余 1,同 时又是 3 和 7 的公倍数的数字,显然 21 可以符合要求。最后再
10、构造除以 7 余 1,同时 又是 3,5 公倍数的数字,45 符合要求,那么所求的自然数可以 这样计算:,其中 k 是从 1 开始的自然数。2703245,2,7kk也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据 实际情况 对数的范围加以限制,那么我 们就能找到所六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page3 of 14求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,那么我们可以计算 得到所求270312453,72如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的 23 加上3,5,7即可,即 23+105=128。四、位值原理位值原理的定义:同一个
11、数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数值也不同。也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外, 还有一个“ 位置值”。例如“2”, 写在个位上,就表示 2 个一,写在百位上,就表示 2 个百,这种数字和数位 结合起来表示数的原则,称 为 写数的位值原理。位值原理的表达形式:以六位数为例: a100000+b10000+c1000+d100+e10+f。abcdef五、数的进制我们常用的进制为十进制,特点是 “逢十进一”。在 实际生活中,除了十进制计数法外,还有其他的大于1 的自然数进位制。比如二进 制,八 进制,十六进制等。二进制:在计算机中,所采用的 计数法是二进制,即 “逢二进 一”。
12、因此,二进制中只用两个数字 0 和 1。二进制的计数单位分别是 1、21、22、23、,二 进制数也可以写做展开式的形式,例如 100110 在二进制中表示为:(100110) 2=125+024+023+122+121+020。二进制的运算法则:“满二进一”、 “借一当二”,乘法口诀是:零零得零,一零得零,零一得零,一一得一。注意:对于任意自然数 n,我们有 n0=1。n 进制:n 进制的运算法则是“逢 n 进一,借一当 n”,n 进制的四 则混合运算和十进制一样,先乘除,后加减;同级运算,先左后右;有括号时 先计算括号内的。进制间的转换:如右图所示。十进制 二进制十六进制八进制六、完全平方
13、数常用性质1.主要性质六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page4 of 141.完全平方数的尾数只能是 0,1,4,5,6,9。不可能是 2,3,7,8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数, 约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数 p 整除完全平方数 ,则 p 能被 整除。2aa2.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被 4 整除;任何奇数的平方被 4(或 8)除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。3.自
14、然数的平方末两位只有:00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。4.完全平方数个位数字是奇数(1,5, 9)时,其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数(0,4)时,其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为 6 时,其十位数字必 为奇数。7.凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数;个位数字为 1,4,9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾:平方差公式: 2()abab例题精讲【例 1】 两个质
15、数之和为 ,求这两个质数的乘积是多少 .39六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page5 of 14【 如果 a,b 均为质数,且 ,则 _.3741abab【例 2】三个质数的乘积恰好等于它们和的 11 倍,求这三个质数. 【 三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 倍,求这三个质数【例 3】现有三个自然数,它们的和是 1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?【 10 个非零不同自然数的和是 1001,则它们的最大公约数的最大值是多少? 【例 4】数 360 的约数有多少个?这些约数的和是多少? 六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page6 of 1
16、4【 已知 两个数都是只含质因数 3 和 5,它们的最大公约数是 75,已知 有 12 个约数, 有mn、 mn10 个约数,求 与 的和 【例 5】一个两位数有 6 个约数,且这个数最小的 3 个约数之和为 10,那么此数为几? 【 如果你写出 12 的所有约数,1 和 12 除外,你会发现最大的约数是最小约数的 3 倍现有一个整数 n,除掉它的约数 1 和 n 外,剩下的约数中,最大约数是最小约数的 15 倍,那么满足条件的整数 n 有哪些? 【例 6】在 1 到 100 中,恰好有 6 个约数的数有多少个? 六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page7 of 14【 恰有
17、8 个约数的两位数有_个 【例 7】用某自然数 去除 ,得到商是 46,余数是 ,求 和 a192rar【巩固】甲、乙两数的和是 ,甲数除以乙数商 余 ,求甲、乙两数108132【例 8】一个自然数,除以 11 时所得到的商和余数是相等的,除以 9 时所得到的商是余数的 3 倍,这个自然数是_.【例 9】有一个大于 1 的整数,除 所得的余数相同,求这个数.45,910六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page8 of 14【 有一个整数,除 39,51,147 所得的余数都是 3,求这个数.【例 10】一个三位数除以 17 和 19 都有余数,并且除以 17 后所得的商与余数的
18、和等于它除以 19 后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少?【例 11】 与 的和除以 7 的余数是_2032【巩固】求 的余数2461350471【例 12】 被 除所得的余数是多少?3013六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page9 of 14【例 13】一个大于 1 的数去除 290,235,200 时,得余数分别为 , , ,则这个自然数是多少?a25【例 14】某三位数 和它的反序数 的差被 99 除,商等于_与_的差;abccba【 与 的差被 9 除,商等于_与_的差;ab【例 15】已知 .1370,abcdababcd求【 已知一个
19、四位数加上它的各位数字之和后等于 2008,则所有这样的四位数之和为多少六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page10 of 14【例 16】有一个两位数,如果把数码 3 加写在它的前面,则可得到一个三位数,如果把数码 3 加写在它的后面,则可得到一个三位数,如果在它前后各加写一个数码 3,则可得到一个四位数将这两个三位数和一个四位数相加等于 求原来的两位数60【 如果把数码 5 加写在某自然数的右端,则该数增加 ,这里 A 表示一个看不清的数码,求1这个数和 A。【例 17】 _;222(10)(10) ;2() ) ) ) ;4710365 _;88888()()34)65)
20、(74) 若 ,则 _10n【例 18】将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少?【 二进制数 10101011110011010101101 转化为 8 进制数是多少?六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page11 of 14【例 19】试求(2 -1)除以 992 的余数是多少? 206【 计算 除以 26 的余数203(1)【附加思考题】设 是质数,证明: , , 被 除所得的余21n212n1数各不相同【例 20】 是 的平方12345671(23456754321)【 下面是一个算式: ,这个算式的得12312435123456数能否是某个数的平方?【例 2
21、1】1016 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数,则 a 的最小值是_六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page12 of 14【 已知 恰是自然数 b 的平方数,a 的最小值是 。3528a【例 22】已知自然数 n 满足: 除以 n 得到一个完全平方数,则 n 的最小值是 。12!【 考虑下列 32 个数: , , , ,请你去掉其中的一个数,使得其余各数的乘积为1!23!2!一个完全平方数,划去的那个数是 【例 23】证明:形如 11,111,1111,11111,的数中没有完全平方数。【例 24】称能表示成 的形式的自然数为三角数有一个四位数 ,它既是三角数,又是123k N完全平方数则 N六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习 Page13 of 14【 自然数的平方按大小排成 1,4,9,16,25,36,49,问:第 612 个位置的数字是几?