1、wilyes11 收集 博客(与学习无关) ：http:/ 本综合实验旨在考察及训练学生对微分方程建模及 Matlb 编程的灵活运用。通过本实验了解数学建模的基本思想，并熟练掌握用数学软件解决数学问题的方法。提高学生的综合能力。二.实验内容1、已知微分方程组 0yxdt满足初始条件 0|,1|0ttyx（1） 求上述微分方程组初值问题的特解(解析解)，并画出解函数的图形yf（2） 分别用 ode23、 ode45 求上述微分方程组初值问题数值解 (近似解)，求解区间为 利用画图比较两种求解器之间的差异0,.5t2、分别用 Euler 折线法和四阶 Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题
2、1)0(,cosyxe的数值解(步长 h 取 0.1)，求解范围为区间0,3 3、海防某部缉私艇上的雷达发现正东方向 15 海里处有一艘走私船正以 20海里/小时的速度向正北方向行驶，缉私艇立即以 40 海里/ 小时的速度前往拦截。用雷达进行跟踪时，可保持缉私艇的速度方向始终指向走私船。建立任意时刻缉私艇的位置和缉私艇航线的数学模型，确定缉私艇追上走私船的位置，求出追上的时间，画出航线图形，并通过改变速度等参数进行讨论。三. 实验方案（程序设计说明）第 1 题：使用 dsolve 函数、ode23、ode45 求解器编程求解；第 2 题：利用 Euler 折线法和四阶 Runge-Kutta
3、法的递推公式编程求解；第 3 题：实验方案如下：(一)建立模型以 时刻缉私艇位置为原点，正东方向为正 轴方向，正北方向为正 y0t x轴方向建立直角坐标系，则缉私艇与走私船的初始距离 ，设缉私艇行驶15awilyes11 收集 博客(与学习无关) ：http:/ 1的路程为 ，缉私艇航线任一点切线与 轴正向夹角为 ，则有s xwilyes11 收集 博客(与学习无关) ：http:/ 2缉私艇：速度 ，初始位置 ， 时刻位置40=Vj 0,tyx,走私艇：速度 ，初始位置 ， 时刻位置 。2z ,15tazV,由题意有方程： sin,cosjjVdtydtx(1)0)(,)0()()(2222
4、yxytVxadttxtzjzj方程(1)即为缉私艇任意时刻位置的数学模型。，两边对 求导并化简得：axtVydxyztnx(2)dtaz2而 ， ，故jVdts221dxyyxs(3)21dxsj令 ，由(2)(3) 得：jzVk(4)0)(,)0(122ydxykdxa方程(4)即为缉私艇航线的数学模型。(二)模型求解令 ， ，代入 (4)，dxyr2yrwilyes11 收集 博客(与学习无关) ：http:/ 3，积分并化简得：0)(12raxdk，取两边倒数有：kxa2，两式相加并化简：kkaxr21，积分并化简得：0)(yxdxkk，其中 。2112 kaxakakk jzV上式即
5、为缉私艇的航线方程。由题意，缉私艇追上走私艇时，有：， ，15x)(2zj2Vaky)(2zjzVayt按本题条件： ， ， ，得： ， ，40=j 10=.5t即缉私艇在半小时后于 点恰好追上走私艇。1,5若取 ， ，得： ，30=Vj 2z8y.9t若取 ， ，得： ，5j 7.4=036程序及运行结果见后文。四.实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）第 1 题：M 函数文件 fun.mfunction xx=fun(t,x)xx=-x(1)-x(2); x(2)-x(1);程序文件 prog1.mclear;syms x y tfprintf(特解为 :n)wilyes11 收集 博客(
6、与学习无关) ：http:/ 4x,y=dsolve(Dx+x+y=0,Dy+x-y=0,x(0)=1,y(0)=0,t)figure(1);ezplot(x,y,0,2);clear;figure(2);y0=1;0;t,xx=ode45(fun,0,2,y0); subplot(1,2,1);plot(xx(:,1),xx(:,2),r-,LineWidth,2);title(ode45)hold onclear;y0=1;0;t,xx=ode23(fun,0,2,y0); subplot(1,2,2);plot(xx(:,1),xx(:,2),b-,LineWidth,3);title(
7、ode23)第 2 题：Euler 折线法：prog2_1.mclearf=sym(y-exp(x)*cos(x);a=0; b=3;h=0.1;n=(b-a)/h+1; x=0; y=1;szj=x,y;for i=1:n-1y=y+h*subs(f,x,y,x,y);x=x+h;szj=szj;x,y;endszjplot(szj(:,1),szj(:,2),or-)Runge-Kutta 法：prog2_2.mclear;f=sym(y-exp(x)*cos(x);a=0; b=3; h=0.1;n=(b-a)/h+1;x=0; y=1; szj=x,y;for i=1:n-1l1=su
8、bs(f,x,y,x,y);l2=subs(f,x,y,x+h/2,y+l1*h/2);l3=subs(f,x,y,x+h/2,y+l2*h/2);l4=subs(f,x,y,x+h,y+l3*h);y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h;szj=szj;x,y;wilyes11 收集 博客(与学习无关) ：http:/ 5endszjplot(szj(:,1),szj(:,2), dg-)第 3 题：解析法：prog3_1.mvz=20;a=15;x=0:0.05:15;hold on;vj=40;k=vz/vj;yj=a/2*(a-x)./a).(1+k)/(1+
9、k)-(a-x)./a).(1-k)/(1-k)+a*k/(1-k2);plot(x,yj,r-,LineWidth,2)disp(缉私艇速度:40, 在(15,num2str(yj(length(yj),),追上走私艇,用时,num2str(yj(length(yj)/vz*60),分钟)vj1=30;k=vz/vj1;yj1=a/2*(a-x)./a).(1+k)/(1+k)-(a-x)./a).(1-k)/(1-k)+a*k/(1-k2);plot(x,yj1,g-,LineWidth,2)disp(缉私艇速度:30, 在(15,num2str(yj1(length(yj1),),追上走
10、私艇,用时,num2str(yj1(length(yj1)/vz*60),分钟)vj2=50;k=vz/vj2;yj2=a/2*(a-x)./a).(1+k)/(1+k)-(a-x)./a).(1-k)/(1-k)+a*k/(1-k2);plot(x,yj2,b-,LineWidth,2)disp(缉私艇速度:50, 在(15,num2str(yj2(length(yj2),),追上走私艇,用时,num2str(yj2(length(yj2)/vz*60),分钟)maxl=max(yj(length(yj),yj1(length(yj1),yj2(length(yj2);xz=15,15;yz
11、=0,maxl;plot(15,yj(length(yj),yj1(length(yj1),yj2(length(yj2),rs,xz,yz,k-,LineWidth,2)legend(缉私艇速度:40, 缉私艇速度:30,缉私艇速度:50,2)axis(0,16,0,maxl+1)数值法：jst.mfunction dx=jst(t,x,vz,vj,a)s=sqrt(a-x(1)2+(vz*t-x(2)2);dx=vj*(a-x(1)/s;vj*(vz*t-x(2)/s;prog3_2.mvz=20;vj=40;a=15;tf=a*vj/(vj2-vz2);ts=0:0.05:tf;x0=0
12、,0;opt=odeset(reltol,1e-6,abstol,1e-9);t,x=ode45(jst,ts,x0,opt,vz,vj,a);tt=t(length(t);xt=x(length(x),1);yt=x(length(x),2);wilyes11 收集 博客(与学习无关) ：http:/ 6fprintf(缉私艇在%s 小时后追上走私艇，坐标 (%s,%s),num2str(tt),num2str(xt),num2str(yt)figure(1);plot(t,x,LineWidth,2);title(x(t),y(t)图);grid;gtext(x(t); gtext(y(t
13、);figure(2);plot(x(:,1),x(:,2),LineWidth,2);title(y(x)图);grid;gtext(x);gtext(y);五程序运行结果第 1 题：特解为: x = 1/2*exp(-2(1/2)*t)+1/2*exp(2(1/2)*t)-1/4*2(1/2)*exp(2(1/2)*t)+1/4*2(1/2)*exp(-2(1/2)*t)y =-1/4*2(1/2)*exp(2(1/2)*t)+1/4*2(1/2)*exp(-2(1/2)*t)-2 -1 0 1 2 3 4 5-5.5-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50xyx =
14、 1/2 exp(-21/2 t)+.+1/4 21/2 exp(-21/2 t), y = -1/4 21/2 exp(21/2 t)+1/4 21/2 exp(-21/2 t)0.5 1 1.5 2 2.5 3-6-5-4-3-2-10 ode450.5 1 1.5 2 2.5 3-6-5-4-3-2-10 ode23wilyes11 收集 博客(与学习无关) ：http:/ 7第 2 题：Euler 折线法：szj =0 1.00000.1000 1.00000.2000 0.99000.3000 0.96930.4000 0.93730.5000 0.89360.6000 0.8383
15、0.7000 0.77180.8000 0.69490.9000 0.60931.0000 0.51741.1000 0.42231.2000 0.32821.3000 0.24071.4000 0.16661.5000 0.11441.6000 0.09411.7000 0.11801.8000 0.20031.9000 0.35782.0000 0.60972.1000 0.97822.2000 1.48832.3000 2.16822.4000 3.04962.5000 4.16742.6000 5.56022.7000 7.26992.8000 9.34212.9000 11.8258
16、3.0000 14.77300 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5051015Runge-Kutta 法：szj =0 1.00000.1000 0.99480.2000 0.97870.3000 0.95090.4000 0.91090.5000 0.85830.6000 0.79330.7000 0.71650.8000 0.62900.9000 0.53291.0000 0.43091.1000 0.32681.2000 0.22561.3000 0.13371.4000 0.05901.5000 0.01121.6000 0.00211.7000 0.04561.8000 0.
17、15821.9000 0.35902.0000 0.67022.1000 1.11712.2000 1.72832.3000 2.53642.4000 3.57742.5000 4.89162.6000 6.52312.7000 8.52042.8000 10.93592.9000 13.82603.0000 17.2510wilyes11 收集 博客(与学习无关) ：http:/ 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5024681012141618第 3 题：prog3_1.m（解析法）缉私艇速度:40,在(15,10)追上走私艇,用时 30 分钟缉私艇速度:30,在(15,18)追上走
18、私艇,用时 54 分钟缉私艇速度:50,在(15,7.1429)追上走私艇,用时 21.4286 分钟0 2 4 6 8 10 12 14 16024681012141618 图图图图图:40图图图图图:30图图图图图:50wilyes11 收集 博客(与学习无关) ：http:/ 9prog3_2.m（数值法）0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50246810121416 x(t),y(t)图x(t)y(t)0 2 4 6 8 10 12 14 16024681012 y(x)图xywilyes11 收集 博客(与学习无关) ：http:/ 10六实验总结本综合实验主要考察了对微分方程的求解及利用微分方程建立实际问题的数学模型。要求的知识点非常全面，包括解微分方程、Matlb 编程等。通过本实验我了解了数学建模的基本思想，并进一步掌握了用 Matlb 解决数学问题的方法。在实验中，第 3 题的解题过程比较复杂，主要是微分方程的化简及求解，我自己给出了解析解的算法。在 Matlab 也可以用已有的函数求解并模拟运动过程，由于时间及水平有限没加入以上内容，以后应该继续努力。学生签名： 七教师评语及成绩教师签名： 年 月 日年 月 日
