1、1复习专题一、 重要极限、无穷小的运算法则、高阶无穷小、等价无穷小代换、洛必达法则1 _， _， _sinlm201sinlmx420cos1limxx_2设 、 、 是给定实数，则 _li1nn3若 ，则 _lim15xxa4若当 时， 是 的高阶无穷小，则 _0()fx3 220()lim1sinxfe5求极限 _，sin30lixe_，201limcotxx_03lixx6【答案】1 0（无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小） ，0（第一个重要极限） ，2（等价无穷小代换、第一个重要极限）错误解法： sinsisinlmllml1n正确解法：2200011sisilllsin0nnixxxx
2、（等价无穷小代换）2244001cos()limlixx（第一个重要极限）22244000(sin)sinlillmxxx22 （ 型未定式，第二个重要极限）e1limli111nnn e 3 ， 型未定式，第二个重要极限，解答过程如下：l51，从而 /lilili15x xa axx xa eln5a40（高阶无穷小、等价无穷小代换） 2223000()()()1limlilim01sin2xxxfffe5 （ 型未定式，三次洛必达法则） ， （ 型未定式，四次洛必达法则） ，163（ 型未定式）3*二、 间断点的判定1设 ，则 是函数 的_21sin,()arct,xexfx1)(xf(A
3、) 连续点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点2 有第一类间断点_，第二类间断点1,0()ln)xef x_【答案】1B，解题要点：，11lim()lisinsi1()xxfeef211li()liarct()xxf fx2 ，0x3*三、 导数的定义1设 存在，则 _，0()fx 00()(limxfxf_，0)hh_0()(2lixfxfx2设 ， ，则 _()fa()3f20()limhfafh3设 在 处可导，且 ，则fx()fb_0lim(sin)(sin)xfafax4设 在 处连续，且 ，求 2x2()lmxf(2)f【答案】1 （习题 2-1 第 3 题
4、） ， ， 0()f0()fx03()f236，解答过程如下： 2222220 022220 0222()()()()(limlim()li lim()()3)36h hh hfaffaffafhffffafaffa 3 ，解答过程如下：交换分子、分母的位置，则12b00(sin)(sin)lim(i)(sin)snsn)sinli i2)xxxfaxfaxffafaxfaxxxb 4 （习题 2-1 第 4 题）解：因为 在 处连续，()fx24所以 ，2222()()()lim()lilimli()0xx xxffff从而 2220lililixxxffff*四、 参数方程求导设由方程组
5、确定了 是 的函数，求 10yteyx20tdyx解法一： ，2(1)ydextt，2 214()yyyedxttx tte于是当 时， ，从而 0t1xy220tdx解法二：由方程(1)可得， ，代入方程(2)得， ()2t10ye由隐函数求导法可得， ，(1)2ydyex2()()yyydy ex x于是当 时， ，从而 0t1x21204td【备注】详细推导过程请参考 2013-2014-1-高等数学-期中测验答案*五、 对数求导法【备注】习题 2-4 第 3 题*六、 积分上限函数求导【备注】习题 5-3 第 2、3、4 、5、6、8 题*七、 微分的求法1设 ，则 _()1)(2()
6、fxxn 0xdf52设 ，其中 可微，则 _()lnfxyfefdydx3设函数 在 上可微，且 ，函数 在 处的,0()lim2xf()yf0微分 _0xdy【答案】1 ，解答过程如下： ，其中!n0()xdfd0()()lim!xff n2 ，解答过程如下：()l(l)fefx， ，两式相除即可()ln)(l)fxdyfd12xd3 ，解答过程如下： ，其中因为 在 处可微（从而连续） ，40()xy()f0x所以 ， ，0()lim()lixxfff0()yf且 ，0()2从而 000 2()()()lililim()(0)4xxxyfffxf *八、 单调区间、曲线的拐点1函数 的单
7、调减少区间为_43()1)fx2曲线 的拐点是_lny【答案】1 （注意：驻点是定义域中的点）40,72 （注意：拐点是曲线上的点，而不是定义区间中的点）,3*九、 抽象函数的分部积分法【备注】习题 4-3 第 3、4、6 题，总复习四第 2、3、4 题总复习五第 15、19、20、26、29 题6*十、 旋转体的体积1 求圆 绕 轴旋转一周而形成的旋转体的体积20xyx，解法一：因为旋转轴是 轴，所以选择 作为积分变量，取值范围 如下图所示，xx1,所求体积可以看作上、下半圆分别绕 轴旋转形成的旋转体体积之差，对应的体积微元如图所示： 上半圆： ，下半圆 ，21xy221xycos12 22
8、1 0020()4884cos xtVdddtdt 解法二：本题可以选择 作为积分变量，取值范围 如下图所示，所求体积可以看y,2作左、右半圆分别绕 轴旋转形成的旋转体体积之和 x7，对应的体积微元如图所示: 右半圆： ，左半圆21()xy221()xy体积微元 21()dVdydy（略去高阶无穷小 ）2221()4()yy d22 20 0 04()11()dydy 其中12 2220 0(1)()(1)() 0tyydyydtd(对称区间，偶倍奇零)1 sin2 1/222220 00/ /20() 1sinicos(cos)ty tut uudud 2求由曲线 ， 所围成的图形绕 轴旋转
9、一周所产生的旋转体的体积2yx2yx解：所求的体积为两个旋转体的体积之差： 1112240003()10Vdd上 =*十一、 利用函数的单调性证明不等式1. 当 时， 4x2x解法一：构造辅助函数 ，则 ， ，2()xf()2lnxf2()ln)xf8因为当 时无法直接判断 、 成立，所以需要进一步利用三阶导数4x()0fx()fx判断已知 ，所以当 时，23e43334()ln)(2ln)(l)2(ln)20xxxxf e从而由函数的单调性与导数的关系可得， 单调增加，且f42322()(l)(l)1(l4)1()fxf 进一步 单调增加，且 43lnn0fxf再进一步， 单调增加，且 ，即
10、 ，原命题得证()fx 2()02x解法二：因为 等价于 ，所以构造辅助函数 ，则2xln2lx()lnfx()lnf显然 单调增加，当 时，x4x，214()lnlln2lnl104f e故 单调增加，且 ，即 ，原命题得证fx42()fx2x2. 当 时， 0231tan解：构造辅助函数 ，则()fxx222sec1tan(tan)(t)xx 当 时， ，从而 ，但 的符号无法直接判断02xtan0x0x构造辅助函数 ，则 ，这意味着 单调增()g22()sec1ta0gx ()gx加， ，于是 ， ，原命题得xfx3n()f f证*十二、 利用闭区间上连续函数的介值定理、中值定理证明等式
11、1设函数 在 上连续，在 内可导，且 ，证明至少存在一点()fx0,1(0,1)(0)1f9，使 (0,1)2()()0ff分析：因为 ，所以 成立当且仅当成立, ()f()()ff利用凑微分的技巧，把等式的左边看作 在 处的导数值，即 ，于2()()Fxf()0F是本题可以转化为函数求驻点的问题证明：因为 ，所以由零点定理可知，至少存在一点 ，使(0)1f0(,1)x0()fx构造辅助函数 ，则 ， 在 上连续，在 内可2()()Fxf0()Fx()Fx,(0,)导，由罗尔定理可得，少存在一点 ，使 ，即 ，命,12()ff题得证2设函数 在 上可导， ，且在 内 ，证明在 内()fx,ab
12、()afxb(,)a(1fx(,)ab有且仅有一个 值适合 ()fx分析：本题可以转化为方程求根或函数求零点的问题证明：构造辅助函数 ，因为 在 上可导（从而连续） ，所以()gxf()fx,ab一定在 上取得最小值和最大值，分别设为 和 又因为 ，所()fx,abmM()afxb以 ，从而 ， 由mM()0fa()0gf介值定理可得，至少存在一点 ，使得 ，即 0,)xbx0x下面证明 的唯一性设存在不等于 的另外一点 满足 不妨假设0x 1(,)ab1()，则由罗尔定理可得，至少存在一点 ，使得01 0,x()gf这与题设条件“在 内 ”矛盾，原命题得证(,)ab1fx3已知函数 在 上连
13、续，在 内可导，且 ， ，其中()fx,(,)ab()fab()fa10为不等于零的常数，证明：存在 ，使得 ；存在两个不同的(,)ab()f，使得 ,(,)ab2()f分析：本题可以转化为方程求根或函数求零点的问题证明：(1) 构造辅助函数 ，xfxF)(因为 在 上连续，又 ，()Fxba, 0)(22baa所以由零点定理可得，存在 ，使得 ，既),(bF(f(2) 在 ， 上分别利用拉格朗日中值定理，得)(xf,，)()(faf),(a，)()(fbf),(b两式相乘，并由(1)得， 2)(f4设函数 和 在 上连续，在 内可导，且 ， ，证明：()fxg,ab(,)ab()0fa()f
14、b在 内至少存在一点 ，使 (,ab()0ffg分析：构造辅助函数 ，使得 或者 与()Fx()()f()F有关，则本题可以转化为函数求驻点的问题()ffg讨论微分方程 ，这是一个可分离变量的微分方程由分离变量法解()()0xfx得 （ 为任意常数） ()gfeC若令 ，则 显然 当且仅当()gxFxf()()()gxFfxfe()0F综上所述，对 在 上应用罗尔定理，命题()0f (),ab得证*十三、 一、二阶线性微分方程的求解111微分方程 满足 的特解是_21yx13xy2求微分方程 的通解4e3若三阶常系数齐次线性微分方程有解 ， ， ，则该微分方程为1xy2xe3xy_【答案】1 （常数变易法）312yx2 （ ， 为任意常数）1Cee1C2知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程，特征方程法3 ，求解要点：方程通解为0yy，123123xyCe从中看出特征根分别为 ， ，特征方程为rr，232()0r对应的齐次微分方程是 0yy
