1、二、计算题（共 3 小题，每小题 10 分，总计 30 分）1假设生产函数为 ，其中 ， 。请12023fL,K + L+ Ki010,23您考虑如下问题：1) 当 满足何种条件时，该生产函数表现出规模报酬不变特征？i0,122) 证明：在规模报酬不变条件下，相应的边际产量是递减的。1解：根据里昂惕夫函数特征，必须确定最小的投入量。得到等产量线为3) 或者18,2LK18,2LK同理，当产量为 480 时，等产量线为4) 或者40,640,6因此，最小成本为 。215285) 8 分画图：要求画出两条等产量线，等成本线。2. 考察如下完全信息静态博弈，求其全部纳什均衡：L M RU 2, 2
2、6, 1 1, 1M 1, 6 7, 7 1, 1D 1, 1 1, 1 0, 0表 1 二人静态博弈2本题是三人博弈的典型案例。对于战略有限情况，通常采用划线法，用多个支付表表示该局势：当参与人 C 选择 1 时1 2 31 3，3，3 3，2，3 3，1，32 2，3，3 2，2，3 2，1，33 1，3，3 1，2，3 1，1，3给定参与人 C 的选择，A、B 的相对均衡是：（1，1） 。此时参与人 C 的战略也是最优的。于是得到一个纳什均衡（1，1，1） 。当参与人 C 选择 2 时1 2 31 3，3，2 3，2，2 3，1，22 2，3，2 6，6，6 6，5，63 1，3，2 5
3、，6，6 5，5，6给定参与人 C 的选择，A、B 的相对均衡是：（1，1）或（2，2） 。当 A、B 都选 2 时，参与人 C 的战略也是最优的。于是得到一个纳什均衡（2，2，2） 。同理可得到另一个纳什均衡（3，3，3） 。支付表 4 分，均衡 2 分一3考虑一个由三个寡头垄断者操纵的市场，反需求函数由 给出，其中PQa， 为企业 的产量。每一企业生产的边际成本为常数 ，没有固定成123Q =qiqi1,23c本。企业按如下顺序进行产出决策：企业 1 首先选择 ；企业 2 和 3 观测到 后同时分别选择1q01q和 。求出此博弈的子博弈精炼解。233解：企业 1 有两个信息集，因此企业 1
4、 的战略空间是 ，企业 2 只111,HLLS有一个信息集，因此其战略空间是 。22Sq2 分设均衡为 ，则满足如下条件：12,HLq112* 121* 12212argmxarHL HqLHLqcqcqacq2 分对应如下充要条件： *21 11*2 2HL HLHLacqqacq3 分解方程即得贝叶斯均衡产量： *1*231623HHLLHLacqacqdg、计算题（共 2 小题，每小题 15 分，总计 30 分）1两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人都有四个纯战略：杠子、老虎、鸡、虫子。输赢规则是：杠子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杠子。两个人同时出令。如果一方打败另一个，赢者的效用为
5、1，输者的效用为1，否则效用都为 0。写出这个博弈的支付矩阵，并求其纳什均衡。解：根据题意，得到如下支付矩阵：老虎 小鸡 虫子 杠子老虎 0，0 1，1 0，0 1，1小鸡 1，1 0，0 1，1 0，0虫子 0，0 1，1 0，0 1，1杠子 1，1 0，0 1，1 0，05 分利用划线法可知，博弈没有纯战略的纳什均衡。不难看出，双方都没有（弱）占优策略。假设在均衡状态下，参与人 1 的混合战略为 ，则根据1234,p支付等值化条件，参与人 2 的四个策略是无差异的，或者说： 4314213pp得到 。因此，参与人 1 的最优混合战略是 。利1324,p 1122,pp用对称性，参与人 2
6、的最优混合战略也是 。纳什均衡是12,112,pp2考察如下双寡头模型。市场反需求函数为 ，其中 为PQa12 =q市场总产量， 为企业 的产量。两个企业的总成本都为 ，iqi1,2iic但需求不确定：以 的概率为高需求的，此时 ；以 的概率为低需求H1的，此时 。还有，信息也是非对称的：企业 1 知道需求是高还是低，但La企业 2 不知道。所有这些都是公共知识。两企业同时进行产量决策。1) 请确定这两个企业的战略空间。2) 假定 、 、 和 的取值范围使得所有均衡产出都是正数，此博弈的贝HaLc叶斯纳什均衡是什么？3) 解：企业 1 有两个信息集，因此企业 1 的战略空间是，企业 2 只有一
7、个信息集，因此其战略空间是11,LLSq。224) 3 分5) 设均衡为 ，则满足如下条件：12,HLq6)112*1 12* 12212argmxarHL HqLHLqcqcqacq7) 2 分8) 对应如下充要条件：9) *21 11*2 2HL HLHLacqqacqq10) 5 分11) 解方程即得贝叶斯均衡产量：*1*23163HHLLHLcqacq二、计算题（共 2 小题，每小题 15 分，总计 30 分）1考察如下完全信息静态博弈，求其全部纳什均衡：L M RU 0, 4 4, 0 5, 3M 4, 4 0, 4 5, 3D 3, 5 3, 5 6, 6表 1 双人静态博弈解：根
8、据划线法，可求得两个纯战略纳什均衡：（M，L） 、 （D ，R ） 。根据奇数定理，该博弈可能存在混合战略纳什均衡。为确定混合战略均衡，先用重复剔除弱劣方法剔除掉参与人 2 的 M 战略，再剔除参与人 1 的 U 战略，得到如下支付表：L RM 4，4 5，3D 3，5 6，610 分设参与人 1 的混合战略为 ，则在均衡状态下，对于参与人 2 有120,p1246p由于 ，得到 。因此，参与人 1 的最优混合战略是 。12p112p12,利用对称性，参与人 2 的最优混合战略也是 。纳什均衡是 。2,2给定古诺博弈：市场反需求函数为 ，其中 为市场总PQa12 =q产量， 为企业 的产量。两个企业的总成本都为 。请您思iqi1,2iic考以下问题：1) 在完全信息静态条件下，这一博弈的纳什均衡是什么？它是帕累托最优的吗？为什么？2) 假设这一阶段博弈重复无限次。试问：在什么样的贴现条件下，企业选择冷酷战略可保证产量组合 是子博弈精炼纳什均衡的？724,ac2解：在完全信息条件下，纳什均衡是 ，对应的支付是 。3,ac 229,ac该均衡不是帕累托最优的。帕累托最优产量当满足总产量为 ，对应的总支付2c为 。24ac6 分在无限重复下，如果给定产出组合是子博弈精炼的，对任意参与人，以下条件当满足： 2 22171714894accac其中左边第一项是背弃协议所得最大支付。
