1、 http:/ 个别化辅导讲义 第 21 页第 6 课 二次函数在闭区间上的最值一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设 ，求 在 上的最大值与最小值。)0()(2acbxxf )(xfnm，分析：将 配方，得顶点为 、对称轴为abc422， abx2当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上 的最值：0a )(xf（1）当 时， 的最小值是 ，nmb，2)(xf cf42的最大值是 中的较大者。)(nfm、（2）当 时， 在 上是增函数则 的最小值是 ，最大值是),(a)(f， x)(mf
2、)(nf（3）当 时， 在 上是减函数则 的最大值是 ，最小值是),(b)(xfn， )(f)(f)(nf当 时，可类比得结论。0a（一） 、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定； （2）轴定，区间变； （3）轴变，区间定； （4）轴变，区间变。1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值” 。例 1. 函数 在区间0，3 上的最大值是_ ，最小值是_。42xy练习. 已知 ，求函数 的最值。321)(2xf2、
3、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值” 。例 2. 如果函数 定义在区间 上，求 的最小值。fx()12t， 1fx()例 3. 已知 ，当 ， 时，求 的最大值3)(2f ,txRt)(f典型例题基础过关http:/ 个别化辅导讲义 第 22 页观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都
4、有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当 时a0)(21)()( 21max 如 图如 图， ， nmabnff )(2)()(2)( 543min如 图 如 图如 图， ， abfnabfxf当 时0a)(2)()()()( 876max如 图 如 图如 图， ， abfnnff fxfmbann()()()i， 如 图如 图219103、轴变区间
5、定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值” 。例 4. 已知 ，且 ，求函数 的最值。x21a0fxa()23例 5. (1) 求 在区间-1,2上的最大值 。2f(x)ax1(2) 求函数 在 上的最大值。)(y,http:/ 个别化辅导讲义 第 23 页4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值” 。例 6. 已知 ，求 的最小值。)(42axy023yxu（二） 、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例 7. 已
6、知函数 在区间 上的最大值为 4，求实数 的值。2()1fxax3,2a例 8. 已知函数 在区间 上的最小值是 3 最大值是 3 ，求 ， 的值。2()xf,mnmnm解：由 ，知 ，则 ，21fx13,26,(,1n又在 上当 增大时 也增大所以,mnx)(f maxin)(3ff解得 40评注：解法利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 ， 的取值范围，避开了繁n难的分类讨论，解题过程简洁、明了。例 9. 已知二次函数 在区间 上的最大值为 3，求实数 a 的值。2f(x)a(1)x2,3解：（1）令 ，得1f3此时抛物线开口向下，对称轴方程为 ，且 ，故 不合题意；x2,2
7、1（2）令 ，得f()31a2此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故 符合题意；a2（3）若 ，得f()23此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故 符合题意。3综上， 或1a解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。http:/ 个别化辅导讲义 第 24 页1函数 在 上的最小值和最大值分别是（ ） y12x,1 ,3 ,3 （C） ,3 （D） , 3 )
8、(A)(B4321412函数 在区间 上的最小值是（ ）22xy,2)(7)()()(3函数 的最值为（ ）5482xy最大值为 8，最小值为 0 不存在最小值，最大值为 8 )(A)(B（C）最小值为 0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值D4若函数 的取值范围是_4,022xy5已知函数 上的最大值是 1，则实数 a 的值fxaa()()()1332 在 区 间 ，为 6如果实数 满足 ，那么 有（ ）y,2)1(xy(A) 最大值为 1 , 最小值为 (B) 无最大值，最小值为 43（C）最大值为 1, 无最小值 (D) 最大值为 1，最小值为7已知函数 在闭区间 上有最大值
9、3，最小值 2，则 的取值范围是（ 32xy,0mm） (A) (B) (C) (D) ),1,2,1,(8若 ，那么 的最小值为_12,0yxx3yx9设 是方程 的两个实根，则 的最小值_1Rm02m21x10设 求函数 的最小值 的解析式。),(,4)(2 Rtxxf )(xf)(tg11已知 ，在区间 上的最大值为 ，求 的最小值。a1a12. 设 a为实数，函数 2()()|f. (1) 若 (0)1f，求 的取值范围； (2) 求 x的最小值； 巩固训练http:/ 个别化辅导讲义 第 25 页(3) 设函数 (),()hxfa，直接写出不等式 ()1hx的解集(不需给出演算步骤).
