1、 济南大学考查课课程报告题 目 数字信号处理离散傅立叶变换学 院 自动化与电气工程学院 专 业 电气传动 1001 班 姓 名 姚新新 济南大学2012 年 11 月 25 日数字信号处理离散傅里叶变换作者 梁爽(济南大学 自动化与电气工程学院 姚新新，山东 济南 250022）摘 要： 数字信号处理是把信号用数字或符号表示的序列，通过计算机或通用（专用）信号处理设备，用数字的数值计算方法处理（例如滤波、变换、压缩、增强、估计、识别等） ，以达到提取有用信息便于应用的目的。数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。在进行数字信号处理之前需要通过模数转换器将信号从模拟域转换到数
2、字域，而数字信号处理的输出经常也要通过数模转换器将信号从数字域变换到模拟域。数字信号处理的核心算法是离散傅里叶变换(DFT)，是 DFT 使信号在数字域和频域都实现了离散化，从而可以用通用计算机处理离散信号。离散傅立叶变换即是本论文所要研究的核心问题。关键词： 数字信号处理；信号；离散傅里叶变换；模数转换器；数模转换器Digital Signal Processing - Discrete Fourier Transform(School of Automation and Electrical Engineering, University of Jinan, Jinan250022，Chi
3、na)Abstract: Digital signal processing deal the signal sequences that are shown in digital or symbols.Through the computer or general (special) signal processing equipment, the sequences can be dealt in digital numerical calculation method processing (such as filtering, transformation, compression,
4、enhancement, estimate, identification, etc.), in order to extract useful information for the purpose of application. The purpose of the digital signal processing is measuring or filtering the continuous analog signal in the real world.Before the digital signal processing the signals need through the
5、 AD converter convertered from simulation domain into digital domain, and digital signal processing output often will through the DA converter need convertered from digital domain transformation to simulation domain.The core of the digital signal processing algorithm is Discrete Fourier Transform (D
6、FT), which make signals in digital domain and frequency domain become discretization, thus general computer can process discrete signals. Discrete Fourier Transform is the core question which is researched deeply in the thesis.Keywords: digital signal processing;signal; Discrete Fourier Transform; a
7、nalog(ue)-digital converter; Digital - analog converter引言:数字信号处理离散傅立叶变换的论文，这算不上真正意义的论文，只是了解一下论文的格式，借此写写自己关于数字信号处理这门课程的学习收获与心得。作为专业选修课，一定程度上，自己并没有拿出很多时间与精力进行学习研究，只是本着一种对新知识渴求的态度，对数字信号处理相关知识进行一定的了解学习。数字信号处理，就个人的体会来说它很重要，今后的学习与工作应该会有所涉及，因此在这最后的课程论文中进行些许有价值的知识总结吧。1 数字信号处理的绪论11 信号信号是信息的物理表现形式，或者说是传递信息的函数
8、，信息的载体，是随时间和空间变化的某种物理量，在数学上可以表示为一个或几个独立变量的函数。111 信号的分类从不同的角度，信号可以进行多种分类。按信号与时间的函数关系来分，信号可分为确定性信号与随机信号。按自变量的取值是否连续来分，可分为连续时间信号与离散时间信号。按幅值是否连续来分，可分为模拟信号与数字信号。按信号随时间变量 t（或 n）变化的规律来分，可分为周期信号与非周期信号。按能量与功率的角度，可分为能量信号与功率信号。按信号是关于原点对称或关于纵轴对称来分，可分为奇信号与偶信号。112 自变量的变换-平移、反褶、伸缩信号的平移：信号的波形沿 x 轴左右平行移动，但波的形状不变。信号的
9、反褶：信号的波形以纵轴为轴翻转180。信号的伸缩：信号的波形在时间轴上线性展宽或压缩，但纵轴上的值不变。12 系统系统是处理（或变换）信号的物理设备。或者进一步说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都成为系统。121 系统的分类记忆系统与无记忆系统：如果系统的输出仅仅决定于该时刻的输入，则这个系统就称为无记忆系统。系统的输出不仅与当前的输入有关，而且还与以前的输入有关，这样的系统称为记忆系统。可逆系统与不可逆系统：如果系统不同的输入下，有不同的输出，则称该系统为可逆系统。它满足一一对应关系。如果一个系统分别对两个或两个以上不同的输入，能产生相同的输出，则这个系统是不可逆系统。因果系统
10、与非因果系统：如果一个系统在任何时刻的输出只决定于现在以及过去的输入，而与系统以后的输入无关，则该系统为因果系统（它满足先因后果） 。稳定系统：一个系统，若其输入是有界的（即输入的幅度不是无限增长的） ，则系统的输出也是有界的，则称系统是稳定的。系统对输入产生的响应是无界的，则系统是不稳定的。时不变系统：指系统的行为特性不随时间而变。线性系统：满足可性和齐次性。按所处理信号的种类不同可将系统分为四类。模拟系统：系统输入、输出均为模拟信号。连续时间系统：系统输入、输出均为连续时间信号。离散时间系统：处理离散时间信号（序列） ，系统输入、输出均为离散时间信号。数字系统：系统输入、输出均为数字信号。
11、2 离散时间信号与系统21 离散时间信号序列在离散时间系统中，信号要用离散时间的数字序列来表示。211 序列的运算序列的运算包括移位、反褶、尺度变换、和、积、累加、差分、卷积等。移位：设某一序列 x(n)，当 n0 为正时，x(n-n0)是将 x(n)沿 n 轴正方向平移 n0 个序号，x(n+n0)是将 x(n)沿 n 轴负方向平移 n0 个单位。n0 为负时，则相反。反褶：如果序列为 x(n)，则， x(-n)是以n=0 的纵轴为对称轴将序列 x(n)翻转 180。序列的时间尺度变换（抽取与零值插入）(1)抽取：序列为 x(n)，其时间尺度变换后的序列为x(Dn)，D 为正整数。 x(Dn
12、)表示从 x(n)的每连续D 个抽样值中取出一个组成的新序列。(2)零值插入：将序列 x(n)扩展，是把原序列的两个相邻抽样值之间插入 D-1 个零值。两序列的和：同序号的序列值逐项对应相加而构成一个新的序列。两序列的积：同序号的序列值逐项对应相乘而构成一个新的序列。累加：在某一个 n0 处的值等于这一个 n0 上的值 x(n0)及以前的所有 n 值上的 x(n)之和。差分运算：前向差分 x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分 x(n)=x(n)-x(n-1)卷积积分：求连续线性时不变系统输出响应（零状态响应）的主要方法。同样，对于离散系统，卷积和是求离散线性移不变系统输出响应（零状态响应）
13、的主要方法。两序列为 x(n)和h(n)，则 x(n)和 h(n)的卷积和定义为212 常用序列单位抽样（单位冲激）序列单位阶跃序列矩形序列实指数序列复指数序列 22 线性移不变系统线性系统满足叠加原理（可加性、比例性） ，移不变系统的响应与激励施加于系统的时刻无关，线性移不变系统可用它的单位抽样响应来表征，即输入为单位抽样序列时系统的输出线性移不变系统的性质满足交换律、分配律、结合律。常系数线性差分方程3 z 变换与离散时间傅立叶变换信号与系统的分析方法时域分析法：1.连续时间信号与系统：信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，卷积积分。2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算，卷积和，差
14、分方程的求解。 变换域分析法：1.连续时间信号与系统：拉普拉斯变换、傅里叶变换等。2.离散时间信号与系统：Z 变换，离散时间傅里叶变换 DTFT、离散傅里叶变换 DFT(/FFT)。31 z 变换序列 x(n)的 Z 变换定义Z 反变换)()()( nxhmnxhnym0)(nnCax)()si(cos)( 00janxn00()()NMkmaynbxnnnzxxX)()()(1X对于任意给定的序列 x(n)，使其 Z 变换 X(z)收敛的所有 z 值的集合称为 X(z)的收敛域。有限长序列 右边序列左边序列 双边序列X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的 z 变换收敛域一定在模最
15、大的有限极点所在的圆之外，边序列的 z 变换收敛域一定在模最小的有限极点所在的圆之内。3Z 变换和拉普拉斯变换的关系此时，抽样序列的 z 变换=理想抽样信号的拉普拉斯变换，平面 s 平面对应到复平面 z 平面。Z 变换和傅里叶变换的关系抽样序列在单位圆上的 z 变换=其 理想抽样信号的傅立叶变换Z 变换的基本性质3序列的傅立叶变换（DTFT）定义序列的傅立叶变换即序列的 z 变换在单位圆上的值序列的 Fourier 变换主要性质有线性、序列的移位、乘以实指数序列、乘以复指数序列（调制） 、时域卷积定理、频域卷积定理、序列的线性加权、帕赛瓦里定理、序列的反褶、序列的共轭等。序列的 Fourier
16、 变换的对称性质共轭对称序列：共轭反对称序列：.离散系统的系统函数与频率响应离散系统的系统函数 H(z):系统的频率响应： 离散傅立叶变换（DFT）傅立叶变换的几种可能形式连续时间、连续频率傅里叶变换（FT）连续时间、离散频率傅里叶级数（FS）离散时间、连续频率序列的傅里叶变换（DTFT）离散时间、离散频率离散傅里叶变换（DFT）1 周期序列的离散傅立叶级数(DFS)周期序列的 DFS 正变换和反变换： -/11()001.()2-=3. ,4()=nNiiinNnkmmkNNkWniN共 轭 对 称函 性周 期 性 为 整数 具 有 以 下 性 质 数可 约 性正 交 性 ：，离散傅立变换（
17、DFT）有限长序列的 DFT 正变换和反变换：Roc0： zRocx:x:()()()j jnnXeDTFxe()eexn(oonHzhZ()(|()jzej DTFenz()()(sTsaeXXz()()()jTjTaeXXj 21100()()()()NNjnknknXkDFSxexWj10102)()()()(NnnkNkjXekISnx10102)()(NnknNnkjWxexkX 1,0:N10102)()()(NkknNkjX ,:x|序列 x(n)在时域是有限长的(长度为 N)，它的离散傅里叶变换 X(k)也是离散、有限长的(长度也为 N)。n 为时域变量，k 为频域变量。离散傅
18、里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT 实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。DFT 的物理意义：序列 x(n)的 Z 变换在单位圆上的等角距取样。DFT 与序列的 DTFT 和变换的关系：x(n)的 N 点 DFT 是 x(n)的 z 变换在单位圆上的 N点等间隔抽样；x(n)的 DTFT 在区间0,2上的N 点等间隔抽样。离散傅立叶变换的性质线性性质： 1212()()DFTaxnbXk圆周移位：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。时域序列的调制等效于频域的圆周移位。对偶性：圆周共轭对称性：任意周期序列：共轭对称
19、分量：共轭反对称分量：Parseval Theory：圆周卷积和： 12()xnN120()NmynRN圆周卷积过程：1）补零 2）周期延拓 3）翻褶，取主值序列 4）圆周移位 5）相乘相加周期卷积、圆周卷积与线性卷积：作圆周卷积 时，应先将两者“补零”至长度为 L点的序列后进行圆周卷积。2. 线性卷积的 DFT 计算方法要求 DFT 点数 L=N+M-1。补L-N 个零x(n) L点DFT补L -M个零h(n) L点DFTL点IDFTy(n)= x(n)*h(n)快速傅立叶变换（FFT）离散傅立叶变换在数字信号处理中起着非常重要的作用，然而直接计算 DFT 的运算量非常庞大，为此提出以高效快
20、速运算快速傅立叶变换（FFT） 。FFT 分为按时间抽选的（DIT）的基-2FFT 算法（库利-图基算法）与按频率抽选的（DIF）的基-2FFT 算法（桑德-图基算法）。 结论用心把这门课程学习到的知识进行了简单整理，虽然花了点时间有点累，但很快乐很充实，付出是会有一定收获的，这也算是数字信号处理课程的一个完美结束吧。感谢老师的辛勤付出，我会更加努力的。大学四年过得匆匆，不经意间我都已是大三的孩子，回顾走过的岁月，有幸福有成功有快乐，虽不能说毫无遗憾，但我已很满足，今后的人生我会继续完善自己，提升自己，过自己喜欢的简单精致的生活，做一个优秀幸福的小女人。我不能说，我是夜空中最璀璨的星星，但我一定是最努力闪烁的那一颗，我会用心去过最美的人生。参考文献： 1 蒋萍数字信号处理课件，济南：济南大学 2012. 2 周利清，苏菲数字信号处理基础北京：北京邮电大学出版社，200510()nkxW2()jke2je)()( kXWnRmxmNN)lkWnlN )()()( kRNxknXDFTNeo*)1/2e()oxnxnN1010*)()(NnNkYXyx
