1、3.4 实际问题与一元一次方程【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 体会数学建模思想. 2. 进一步探究如何用一元一次方程解决实际问题. 二. 知识要点：1. 数学建模这里所讲的数学建模是利用数学方法（一元一次方程）解决实际问题的一种实践. 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式（一元一次方程）表达，建立起数学模型，然后运用数学方法进行求解. 建立数学模型的这个过程就称为数学建模. 2. 用一元一次方程解决实际问题的几个注意事项（1）先弄清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再找出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理. （2）
2、所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等. （3）要养成“验”的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义. （4）不要漏写“答” 、 “设”和“答”都不要丢掉单位名称. （5）分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真. 三. 重点难点：1. 重点：进一步体现一元一次方程与实际的密切联系，渗透数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力. 2. 难点：本讲问题的背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地列方程是主要难点. 突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系. 【典型例题
3、】例 1. 墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图中实线所示. 小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示. 小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？101066分析：饰物形状变化前后有两个不变的量，一个是周长，另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽. 根据题意可设长方形的长为 x，则长方形的周长为 2x210，梯形的周长为 101010610652. 则 2x2052，从而解得 x16. 解：设小明所钉长方形的长为 x，根据题意得：2x2101010610610整理得，2 x2052解得， x16由于饰物变化前后长度为 10 的边没有变化，所以长方形的一边长为
4、10 厘米. 答：长方形的长为 16 厘米，宽为 10 厘米. 评析：图形变化问题的等量关系往往是变化前后的周长相等、面积相等、体积相等. 例 2. 一批货物，甲把原价降低 10 元卖出，用售价的 10%做积累，乙把原价降低 20 元，用售价的 20%做积累，若两种积累一样多，则这批货物的原售价是多少？分析：设这批货物的原售价为 x 元，则甲的积累是（ x10）10%元，乙的积累是（ x20）20%，相等关系是：甲的积累乙的积累. 解：设这批货物的原售价为 x 元，根据题意得：（ x10）10%（ x20）20%化简得： x102（ x20）即 x102 x40解得 x30答：这批货物的原售价
5、为 30 元. 评析：这个问题的相等关系比较简单，难点是对两个百分数的处理. 例 3. （2008 年广东湛江）某足球比赛的计分规则为胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 一个队踢 14 场球负 5 场共得 19 分，问这个队胜了几场？分析：根据题意，所得的 19 分是踢胜的场数和踢平的场数所得的积分，而踢胜的场数和踢平的场数共 1459 场，如果设胜了 x 场，那么踢平的场数就是 9 x 场. 分别乘它们的分值，和为 19. 解：设胜了 x 场，根据题意得：3x1（14 x5）19即 3x9 x19解得 x5答：这个队胜了 5 场. 评析：积分多少与胜、平、负的场数相关，同
6、时也与比赛积分规定有关，如果对体育比赛有一定了解，会有助于理解题意. 例 4. （2008 年安徽）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了 5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了 14%. 求这个月的石油价格相对上个月的增长率. 分析：数量关系如下表：上个月 这个月石油进口量 1 15%进口石油费用 1 114%石油价格 1 1 x解：设这个月的石油价格相对上个月的增长率为 x. 根据题意得：（1 x） （15%）114%解得 x 20%15答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为 20%. 评析：借助表格来分析较复杂的数量关系. 这道题所用的相等关系是：数量价格
7、费用. 例 5. （2007 年上海）2001 年以来，我市药店积极实施药品降价，累计降价的总金额为269 亿元. 五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示，表中缺失了 2003 年，2007 年的相关数据. 已知 2007 年药品降价金额是 2003 年药品降价金额的 6 倍，结合表中信息，求 2003 年和 2007 年的药品降价金额. 年份 2001 2003 2004 2005 2007降价金额（亿元） 54 35 40 K分析：相等关系较为明显，可以根据累计降价的总金额为 269 亿元列方程，结合表格如果设 2003 年降价金额为 x 亿元，则 2007 年降价金额为 6x 亿元，
8、有54 x35406 x269. 解：设 2003 年降价金额为 x 亿元，根据题意得：54 x35406 x269整理得，7 x140解得， x206x620120答：2003 年和 2007 年药品降价金额分别是 20 亿元和 120 亿元评析：这个问题是以表格形式传递信息的，这种形式在现实中很普遍，重点培养从不同形式获取有关数据信息，是值得注意的问题.例 6. （2008 年希望杯初一第 1 试）初一（1）班有学生 60 人，其中参加数学小组的有36 人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少 5 人，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的 多 2人，则同时参加这两个小组
9、的人数是 （ ）14A. 16 B. 12 C. 10 D. 8分析：数量关系如下：全班共 60 人；参加数学小组的 36 人；参加英语小组的是 36531 人；设同时参加两个小组的人数是 x 人；两个小组都不参加的人数是 （x2）人. 如图所示，可以得另外两个数量关系：只参加数学小组的（36 x）人；14只参加英语小组的（31 x）人. 图中四部分相加和为 60. 即（ x2）（36 x）14（365 x） x60. 解得： x12. 全 班 共 60人都 参 加x人都 不 参 加（ x 2） 人数 学 3人 英 语 31人4解：B评析：这道题的数量关系非常复杂，但是结合图形可以使其变得很明
10、朗. 【方法总结】应用数学知识去研究和和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型. 从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学研究的基础. 没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一. 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决 问题的能力的必备手段之一. 【模拟试题】 （答题时间：60 分钟）一. 选择题1. 实验中学七年级（2）班有学生 56 人，已知男生人数比女生人数的 2 倍少 11 人，求男生和女生各多少人？下面设未知数的方法，合适的是 （ ）A. 设总人数为 x 人
11、 B. 设男生比女生多 x 人C. 设男生人数是女生人数的 x 倍 D. 设女生人数为 x 人2. 甲厂的年产值为 7450 万元，比乙厂的年产值的 5 倍还多 420 万元，若设乙厂的年产值为 x 万元，下列所列方程中错误的是 （ ）A. 5x4207450 B. 74505 x420C. 7450（5 x42 0）0 D. 5x42074503. 某种品牌的彩电降价 30%后，每台售价为 a 元，则该品牌彩电每台原价应为 （ ）A. 0.7a 元 B. 0.3a 元 C. 元 D. 元a0.3 a0.74. A、B 两城相距 720km，普快列车从 A 城出发 120km 后，特快列车从
12、B 城开往 A 城，6h 后两车相遇. 若普快列车是特快列车速度的 ，且设普快列车速度为 xkm/h，则下列所列23方程错误的是 （ ）A. 7206 x6 x120 B. 7201206（ x x）32 32C. 6x6 x120720 D. 6（ x x）12072032 325. 用两根长 12cm 的铁丝分别围成正方形和长与宽之比为 21 的长方形，则长方形和正方形的面积依次为 （ ）A. 9cm2和 8cm2 B. 8cm2和 9cm2 C. 32cm2和 36cm2 D. 36cm2和 32cm2*6. 有一位旅客携带了 30kg 重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最
13、多可免费携带 20kg 重的行李，超重部分每千克按飞机票价格 1.5%购买行李票 ，现该旅客购买了 180 元的行李票，则他的飞机票价格应是 （ ）A. 800 元 B. 1000 元 C. 1200 元 D. 1500 元二. 填空题1. （2006 年河北）一件运动衣按原价的八折出售时，售价是 40 元，则原价为_元. 2. 买 4 本练习本与 3 枝铅笔一共用了 4.7 元. 已知铅笔每枝 0.5 元，则练习本每本_元. *3. 一个长方形鸡场的一边靠墙，墙的对面有一个 2m 宽的门，另三边（门除外）用篱笆围成，篱笆总长 33m，若鸡场的长宽32（尽量用墙） ，则鸡场的长为_ m，宽为_
14、 m. 4. 某市居民 2007 年末的储蓄存款达到 9079 万元，比 2006 年末的储蓄存款的 15 倍还多4 万元，则 2006 年末的存款为_. 5. （2008 年甘肃省白银）某商店销售一批服装，每件售价 150 元，打 8 折出售后，仍可获利 20 元，设这种服装的成本价为每件 x 元，则 x 满足的方程是 _. *6. （2008 年广东茂名）依法纳税是每个公民应尽的义务，新的中华人民共和国个人所得税法规定，从 2008 年 3 月 1 日起，公民全月工薪不超过 2000 元的部分不必纳税，超过 2000 元的部分应缴纳个人所得税，此项税款按下表分段累进计算. 黄先生 4 月份
15、缴纳个人所得税税金 55 元，那么黄先生该月的工薪是_元. 全月应纳税所得税额 税率不超过 500 元的部分 5%超过 500 元至 2000 元的部分 10% 三. 列方程解应用题1. （2006 年吉林）据某统计数据显示，在我国的 664 座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市. 其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的 4 倍少 50 座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的 2 倍. 求严重缺水城市有多少座？*2. 甲、乙两个工人接受了加工一批服装的任务，规定两人各加工这批服装的一半，已知乙的工作效率相当于甲的 ，工作了 8 小时，甲完成了自己的任务，这时
16、乙还差 24 件服45装没有完成. 这批服装共有多少件？3. 如图所示，小红将一个正方形剪去一个宽为 4cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上沿平行短边的方向剪去一个宽为 5cm 的长条. 若两次剪下的长条面积正好相等，那么每一长条的面积为多少？原正方形的面积为多少？ 4cm5cm*4. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节约用水的目的. 该市规定了如下的用水标准：每户每月的用水不超过 6m3时，水费按每立方米a 元收费；超过 6m3时，不超过部分每立方米仍按 a元收费，超过部分每立方米按 b 元收费. 该市居民张大爷一家今年 3、4 月份的用水量和水费如下表：
17、月份 用水量/ m3 水费/元3 5 7.54 9 27设该户每月用水量 为 x（ m3） ，应缴水费 y（元）. （1）求 a、 b 的值，写出用水不超过 6m3和超过 6m3时， y 与 x 之间的代数表达式；（2）若张大爷一家今年 5 月份的用水量为 8m3，该户 5 月份应缴的水费是多少？*5. 振华中学为进一步推进素质教育，把素质教育落到实处，利用课外兴趣小组活动开展棋类教学活动，以提高学生的思维能力，开发智力，七年级一班有 50 名同学，通过活动发现只有 1 人象棋、围棋都不会下，有 30 人象棋、围棋都会下，且会下象棋的学生比会下围棋的学生多 7 人. （1）若设会下围棋的有 x
18、 个人，你能列出方程并证明 x 是 35、36、37 三个数中的哪一个吗？（2）你知道只会下象棋不会下围棋的人数吗？ 全 班 同 学会 下 象 棋 的 人 数 会 下 围 棋 的 人 数30【试题答案】一. 选择题1. D 2. D 3. D 4. B 5. B 6. C二. 填空题1. 50 2. 0.8 3. 15 10 （提示：可设长为 3x，宽为 2x，则 3x2 x2 x233）4. 605 万元 5. x 200.81506. 2800 提示：设黄先生 4 月份的工薪是 x 元，如果 x 在 2000 元2500 元，则5%（ x2000）55，解得 x3100，不符合题意；如果
19、x 在 2500 元4000 元，则10%（ x2000500）5%50055，解得 x2800. 所以黄先生 4 月份的工薪是 2800 元. 三. 列方程解应用题1. 解：设严重缺水城市有 x 座，根据题意得：4x502 x x664解得， x102答：严重缺水城市有 102 座. 2. 解：设甲每小时加工服装 x 件，则乙的工作效率是每小时加工 x 件，根据题意得：458x x82445去分母整理得：8 x1208x 正好是甲完成的工作量，这个工作量又是总数的一半，所以这批服装有1202240 件. 答：这批服装共有 240 套. 另解：设这批服装共有 2x 件，则 x （ x24） ，
20、解得 x120，2 x240. 18 45 183. 解：设原正方形的边长为 xcm，列方程为：4x5（ x4）解得， x2042080（ cm2） ，2020400（ cm2）答：每一长条的面积为 80cm2，原正方形的面积为 400cm2. 4. 解：（1）3 月份用水 5m3不超过 6m3，所以水费按每立方米 a 元收取，所以5a7.5，所以 a1.5；4 月份用水 9m3，所以 7.5（96） b27，解得： b6.5. 不超过 6m3时， y1.5 x；超过 6m3时， y7.56.5（ x6）（2）由（1）可得当 x8 时， y7.56.5（ x6）即 y7.56.5220.5（元）答：略5. （1）设会下围棋的学生有 x 人，则会下象棋的学生为（ x7）人，那么只会下围棋的学生有（ x30）人，只会下象棋的学生为（ x730）人，根据题意得：x x730501，把 x35， x36， x37 分别代入方程，有 x36 成立，所以会下围棋的有 36 人. （2）会下象棋不会下围棋的有 x7303673013（人）. 精品资料，你值得拥有！
