1、用心 爱心 专心 - 1 -第 85 课时课题：复数的代数形式及其运算一教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。二教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。三教学过程：（一）主要知识：1共轭复数规律 ， ；2复数的代数运算规律（1）i =1，i =i，i = 1，i = i；4n41n42n43n（3）i i i i = 1，i i i i =0；n12n3n12n3；3辐角的运算规律（1）Arg（z z ）Argz Argz1212（3）Arg =nArgz（nN）nz，n 1。或 zR。要条件是|
2、z|a|。（6）z z 0，则12用心 爱心 专心 - 2 -4根的规律：复系数一元 n 次方程有且只有 n 个根，实系数一元 n 次方程的虚根成对共轭出现。5求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式|z | |z |z z |z |+|z |的运用。121212即|z z |z |+|z |等号成立的条件是：z ，z 所对应的向量共线且同向。12|z z |z | |z |等号成立的条件是：z ，z 所对立的向量共线且异向。1212（二）范例分析.2004 年高考数学题选1.（2004 高考数学试题（浙江卷，6）已知复数 z1=3+4i, z2=t+i, 且 是实数，则实
3、12zA数 t=( )A B C D433434432.(2004 年北京春季卷，2)当 时，复数 在复平面上对应的12mimz)1()2(点位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.(2004 年北京卷，2）满足条件 的复数 在复平面上对应点的轨迹是 |zi34z( C )A一条直线 B两条直线 C圆 D椭圆.主要的思想方法和典型例题分析：1化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。【分析】这是解答题，由于出现了复数 和
4、，宜统一形式，正面求解。z解法一、设 zxyi（x，yR），原方程即为 2313xyxi用复数相等的定义得： = 1， = 1+3i.z2用心 爱心 专心 - 3 -两边取模，得：代入式得原方程的解是 = 1， = 1+3i.z2【例 2】（1993全国理）设复数 z=cosisin（0【解】zcos+isin =cos4isin44zcos(2)sin(2)tantancos(4)sin(4)22即 ，又0，当 时， 或3t3t17【说明】此题转化为三角问题来研究，自然、方便。【例 3】设 a，b，x，yR+，且 （r0），22xy求证：用心 爱心 专心 - 4 -分析令 =ax+byi，
5、=bx+ayi（a，b，x，yR+），则问题化归为证明：1z2z| |+| |r（a+b）。2证明设 =ax+byi， =bxayi（a，b，x，yR+），则1z2z=|（a+b）x+（ab）yi|=|（ab）（x+yi）|（ab）r。解如图所示，设点 Q，P，A 所对应的复数为：即（x 3a+y i）（ i）（x 3a+yi）00由复数相等的定义得而点（x ，y ）在双曲线上，可知点 P 的轨迹方程为0用心 爱心 专心 - 5 -【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善于根据题设构造恰到好处的复数，
6、可使问题迎刃而解。2分类讨论思想分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。【例 5】（1990全国理）设 a0，在复数集 C 中解方程 z 2|z|=a。2分析一般的思路是设 z=xyi（x，yR），或 z=r（cosisin），若由z 2|z|=a 转化为 z =a 2|z|，则 z R。从而 z 为实数或为纯虚数，这样再分别求解就222方便了。总之，是一个需要讨论的问题。【解】解法一z =a 2|z|R，z 为实数或纯虚数。2问题可分为两种情况：（1）若 zR，则原方程即为|z| +2|z| a=
7、0，2（2）若 z 为纯虚数，设 z=yi（yR 且 y0），则原方程即为|y| 2|y|a=02当 a=0 时，|y|=2 即 z=2i。当 0a1 时，当 a1 时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。综上所述，原方程：当 a=0 时，解为 z0 或 z=2i解法二设 z=xyi，x，yR，将原方程转化为3数形结合思想用心 爱心 专心 - 6 -数与形是数学主要研究内容，两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相转化的广阔前景，复平面的有关试题正是它的具体表现。运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一，应引起注意。【例 6】已知|z|=1，且 z +z1，求 z。5【解】由 z +z=
8、1 联想复数加法的几何性质，不难发现 z，z ，1 所对应的三点 A，B，C5 5及原点 O 构成平行四边形的四个顶点，如图所示，【说明】这样巧妙地运用联想思维，以数构形，以形思数，提炼和强化数形结合的思想方法，有利于培养学生思维的深刻性。【例 7】复平面内点 A 对应复数 z，点 B 对应复数为 ， O 为原点， AOB 是面积为 的35z_ 65直角三角形，arg z(0， )，求复数 z 的值 2 f(3)【分析】哪一个角为直角，不清楚，需要讨论【解】因| OA|=|z| | |=|OB|，故 A 不可能是直角，因而可能 AOB=90 或35z_ ABO=90若 AOB=90，示意图如图
9、 1 所示因 z 与 所对应的点关于实轴对称，故 argz=45,z_ S AOB= |OA|OB|= |z| | |= |z|2= 于是，| z|=2，12 12 35z_ 310 65从而， z=2(cos45+isin45)= + i2 2若 ABO=90，示意图如图 2 所示因 z 与 所对应的点关于实轴对z_ 称，且 AOB90，故 argz=45令 z=r(cos+ isin)，则cos2= = ，sin2= ， S AOB= |OA|OB|sin2|OB|OA|35 45 12xOABy图1xOABy图2用心 爱心 专心 - 7 -= r r = r2= 12 35 45625
10、65于是， r= 又 cos= = ，51+cos22 2 55sin= = ， 故 z= ( + i)=2+i1-cos255 52 55 55综上所述， z= + i 或 z=2+i2 2【说明】解题关键点：正确地对直角的情况进行分类讨论，正确地理解复数的几何意义，作出满足条件的示意图解题规律：复数的几何意义来源于复数 z=a+bi(a、bR)与复平面上的点(a，b)之间的一一对应，它沟通了复数与解析几何之间的联系，是数形结合思想的典型表示解题技巧：复数 z 与它的共轭复数 在复平面内对应的向量关于实轴对称z_ 这样巧妙地以形译数，数形结合，不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想
11、方法在解题中的作用。4集合对应思想【例 8】如图所示，在复平面内有三点 P ，P ，P 对应的复数123应的复数为 a，2a，3a，且它们有相同的辐角主值 （如图所示），即 A，P ，P ，P12共线。3用心 爱心 专心 - 8 -从而 2sin2因此有 a=2i。5整体处理思想解复数问题中，学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题。这样常常给解题带来繁琐的运算，导致解题思路受阻。因此在复数学习中，有必要提炼和强化整体处理的思想方法，居高临下地把握问题的全局，完善认识结构，获得解题的捷径，从而提高解题的灵活性及变通性。【例 9】已知 z=2 i，求 z 3z z +5z 2 的值。65
12、43【分析】如果直接代入，显然比较困难，将 z 用三角式表示也有一定的难度。从整体角度思考，可将条件转化为（z 2） =（ i） = 1，即 z 4z+4= 1，即 z 4z+5=0，再22将结论转化为 z 3z z +5z 2=（z 4z5）（z z ）+2，然后代入就不困难了。6543243【解】z=2 i，（z 2） =（ i） = 1即 z 4z+5=02z 3z z +5z 2=（z 4z+5）（z z ）+2=2。654343【例 10】已知 ，求 。42logxix【解】解由条件得【说明】把题中一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，可避免由局部运算带来
13、的麻烦。【例 11】复平面上动点 z 的轨迹方程为：|z z |z |，z 0，另一动点 z 满足 z11010z= 1，求点 z 的轨迹。解由|z z |z |，知点 z 的轨迹为连结原点 O 和定点 z 的线段的垂直平分线。011 0用心 爱心 专心 - 9 -将此式整体代入点 z1 的方程，得的圆（除去原点）。【例 12】设 zc，a0，解方程 z|z|azi=0。边取模，得【说明】解复数方程，可通过整体取模，化为实数方程求解。综上所述，解答复数问题，应注意从整体上去观察分析题设的结构特征，挖掘问题潜在的特殊性和简单性，充分利用复数的有关概念、共轭复数与模的性质、复数的几何意义以及一些变
14、形技巧，对问题进行整体化处理，可进一步提高灵活、综合应用知识的能力。6有关最值问题的多角度思考【例 13】复数 z 满足条件|z|=1，求|2z z+1|的最大值和最小值。2解法一|z|=1，z=cosisin|2z z+1|=|2（cosisin） （cosisin）1|2=|（2cos2 cos1）（2sin2 sin）i|用心 爱心 专心 - 10 -|2z z+1| =|2z z+ |22z2设 z 的实部为 a，则 1a1|2z z+1|=|2az 1|22，|2z z+1| =42max解法三：设 =x+yi（x，yR），z=abi（a，br）且 a +b =1，2用心 爱心 专心
15、 - 11 -这说明 对应的点是如图所示的椭圆，问题转化为求该椭圆上各点中与原点距离的最大值和最小值。时的圆的半径。得 8x 2x8 9r 0， 由相内切条件知 =0,22解法四由模不等式：|2z z+1|2|z| |z|+1=4，等号成立的条件是 2z ， z，1 所对应的向量共线且22 2同向，可知 z 是负实数，在|z|=1 的条件下，z=-1当 z= 1 时|2z z+1| =4。max但另一方面：|2z z+1|2|z| |z| 1=0，这是显然成立的，可是这不能由此确定22|2z z+1| =0，实际上等号成立的条件应为 2z ， z，1 表示的向量共线且异向，由 2z2min 2
16、与 1 对应的向量共线且异向知 z=i，但是当 z=i 时，2z 与 z 不共线，这表明2|2z z+1|的最小值不是 0。2以上这种求最小值的错误想法和解法是学生易犯的错误，此部分内容既为重点也为难点，应向学生强调说明，并举例，切记取等号的条件。【例 14】2001 年普通高等学校招生全国统一考试(理 18)用心 爱心 专心 - 12 -已知复数 z1 i(1i)3()求 argz1及| z|；()当复数 z 满足| z|1，求| zz1|的最大值【分析】本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力【解】() )47(2)(31 isncoii ，| z1| 471zar
17、g2()设 ，则sinco iz)2(sin)(cos1429)()2(| 221 z当 时， 取得最大值 ，从而得到 的最大值为 4sin1|z |1z21四课后作业：1、下列命题中正确的是 A方程|z+5| |z 5i| =8 的图形是双曲线22B方程|z+5| =8 的图形是双曲线C方程|z+5i| |z 5i|=8 的图形是双曲线的两支D方程|z+5i| |z 5i|=8 的图形是双曲线靠近焦点 F(0，5)的一支2、方程 的图形是 22ziziA圆 B椭圆 C双曲线 D直线3、在复平面上绘出下列图形：4、已知 是虚数， 是实数。z4z(1)求 z 对应复平面内动点 A 的轨迹；(2)
18、设 u=3iz+1，求 u 对应复平面内动点 B 的轨迹；（3）设 ，求 对应复平面内动点 C 的轨迹。1vv5、设 A，B，C 三点对应的复数分别为 z ，z ，z 满足123(1)证明：ABC 是内接于单位圆的正三角形；(2)求 SABC；用心 爱心 专心 - 13 -6、若 ，求 所对应的点 A 的集合表示的图形，并求其面积12z1uzi7设 z1， z2是两个虚数，且 z1+z2=-3，| z1|+|z2|=4若 1=argz1， 2=argz2，求 cos( 1- 2)的最大值8（2003 年普通高等学校招生全国统一考试（上海理 17）已知复数 z1=cos i， z2=sin+ i
19、，求| z1z2|的最大值和最小值.四、专题训练参考答案1、解：DA 的图形是直线，B 的图形是圆，C 是图形是双曲线的一去故选 D|z+5i|-|z-5i|=8 才是双曲线的两支2、解：A 原方程即|z (2+i)| =7故选 A23、解：4、解：（1） 因为 z 是虚数，所以24440zzRz，于是 ，即 ，且 ，因此动点 A 轨迹是中心在原点，半径等于0z222 的圆，但去掉两个点(2，0)与( 2，0)(2)由 u=3iz+1 得 u 1=3iz由(1)及题设知|z|=2，z2，所以|u 1|=6，且 u 16i因此动点 B 的轨迹是圆，中心在(1，0)，半径等于 6，但去掉两点(1，
20、6)与(1， 6)(3)设 z=2(cos+isin)，(0，)则用心 爱心 专心 - 14 -再令 v=x+yi(x，yR)，则5、解：(1)由(ii)知 A，B，C 三点都在单位圆上再结合(i)得z = (z +z )123设 BC 中点为 D，它对应复数为 z ，那么4由于正三角形的外接圆与内切圆的圆心合一，因此ABC 的内切圆圆心6、用心 爱心 专心 - 15 -因此动点 A 的图形是一个圆环设此圆环面积为 S，那么7解：设| z1|=r，则| z2|=4-r(0 r4)将 z1=r(cos 1+isin 1)， z2=(4r)(cos 2+isin 2)，代入 z1+z2=-3，得rcos 1+(4-r)cos 2 = -3，rsin 1+(4-r)sin 2 = 0 )两式平方相加，得 r2+(4-r)2+2r(4-r)(cos 1cos 2+sin 1sin 2)=9，于是 cos( 1- 2)= =1+ ，9- r2 - (4- r)22r(4-r) 72(r-2)2-8当 r=2 时，cos( 1- 2)取最大值 .188解： 2212|sinco(sin)|(1sinco)(sin)z2ii.4故 的最大值为 最小值为 .|21z,3
