1、數學教材教法 B 班 TKU95B14 曾德嘉【整數計算】 TKU95B02 劉宜樺- 1 -整數計算第章 綱要結構在國小階段，整數指的是非負整數，所處理的是離散量的計數與計算。整數教學是國小數學的核心課程之一。課程安排應善用學生在入學前，已有的各種計數與解題能力，在既有的基礎上恰當地統整、釐清並擴張其經驗。整數計算是一切數學學習的基礎。在教學中，學童經由活動、情境掌握計算的意義，藉著各種例子體驗計算的規則與策略。流暢的計算能力，有如語文學習中，基本的文字駕馭能力，不僅可以內化學童的數字感，並且是日後（國、高中）學習抽象運算及形式推導的基礎，這樣的能力固然是學習科學所必須，也是能夠有效處理日常
2、生活的基本能力之一。培養流暢的計算能力，應注意以下幾點：1. 計算程序的發展有其嚴格性，必須每個環節都能掌握，才會有紮實的計算能力。2. 在理解運算意義時，固然可以多樣舉例，但在學習計算程序時，則應運用最恰當的例子（例如幣值），讓學生能順利掌握計算的方式。3. 計算程序本質上較為抽象，也因此才能應用於各種不同的情境。在理解運算的意義後，就應該慢慢脫離情境，做計算練習。4. 計算的練習必須要多樣，讓學生能從多角度熟練運算的性質與程序。5. 學生應該養成簡單心算與驗算的習慣。6. 計算時能運用四則運算的性質，協助心算與估算，簡化計算、驗算與解題。國小整數教學的課程目標在於：1. 從計數開始，學習位
3、值的約定與換算，並在演算中，逐步熟悉，最後能掌握大數。2. 在二年級下學期，理解算術的樞紐九九乘法，作為日後所有計算的基礎。3. 到四年級時，能夠不拘泥於位數，熟練加、減、乘、除的直式計算。4. 五年級時熟悉整數四則混合計算。5. 在六年級時，理解基本的因數分解與質數概念，並與分數運算相互加強，建立完整的數字感。數學教材教法 B 班 TKU95B14 曾德嘉【整數計算】 TKU95B02 劉宜樺- 2 -第章 數學結構第節 加法概念合成合成是加法的概念，透過合成的運作，可以使兩個數合成一個新的數。 （如：5 和 4 合成了 9）一般可分為併加型和添加型兩型。第項 併加型 （合成）example
4、: 小丸子 在便利商店買了兩顆巧克力糖和三顆牛奶糖，她一共買了多少顆糖呢？第項 添加型 （增加）example: 小玉 有一顆蘋果，奶奶再給她三顆蘋果，請問小玉總共有多少顆蘋果呢？ 第節 減法概念分解分解為減法的概念，透過逆向的分解運作，一個數可以分成兩個數。 （如：5 可以分為 2 和 3）通常可分為拿走型 、 追加型兩型。第項 拿走型example: 桌上原來有 5 個布丁， 豬太郎回家後吃了 2 個，桌上還剩下幾個布丁呢？吃掉 還剩下第項 追加型example: 一支鉛筆 10 元， 小新現在身上有 6 元，他如果要買一支鉛筆還需要多少錢？第節 認識 、 及符號1. 透過數數具體物的問題
5、活動，轉移至運作與 、 、及符號的聯結，記錄整個解題活動，獲得運算符號的具體意義。2. 用添加型與併加型的問題情境，來介紹運算符號，用拿走型及比較型來介紹運算符號 。3. =的意義是等價關係，而目前學童的= 概念，可能只是一個訊號，要求決定運算的結果，或是左邊的運算會變成右邊的結果，因此對學童而言，157=8 的意義是：15 減 7 變成 8，而不是157與8等價，教學時有必要將合成與比較問題並列，來介紹等號的等價意義。數學教材教法 B 班 TKU95B14 曾德嘉【整數計算】 TKU95B02 劉宜樺- 3 -第節 合十 、 拆十 、兩步驟合成分解問題1. 以一百以內的加減，進行合十 、 拆
6、十 、 兩步驟合成問題 、 兩步驟分解問題以及兩步驟合成分解混合問題等活動，擴展學童解題的能力。2. 合十：如 6 和 8 是 10 和多少拆十：如10 和 6 是 7 和多少3. 兩步驟合成問題 example：小丸子有三張郵票，媽媽給了她五張，爺爺又送他六張，她現在共有幾張？進行兩步驟合成分解問題活動時，教材應限制於併加型 、 添加型及拿走型等學童熟悉的問題類型範圍內，讓學童同時進行分解與合成活動外，並做為將來進退位運算學習的基礎。第節 認識乘法在數學運算中，整數乘法算是最常會用到的計算。而乘法就像是加法，是一對整數的形成到一個特定數字叫做乘積的運算。第項倍的概念從日常生活中的倍數現象，例
7、如一盒月餅有 6 個，一箱飲料有 12 瓶等，慢慢導入倍的觀念，讓學生有乘法的基本初步概念。第項的倍語言轉換example: 一頭豬有 4 隻腳，五頭豬總共有多少隻腳？五個 4即是4 的五倍第項 乘法與連加的關係學生可以藉由連加的生活情境，取得倍數的概念。example: 五個 4 相加 4444420 即五頭豬共有 4520（隻腳）第節 認識除法除法最早的運用在於將東西平均分配，即是所謂的等分 。第項 除法通常可分為等分除問題和包含除問題二大類：1. 等分除（平分）即是異名數相除，或是說解決單位 量 未知的問題。example: 把 15 顆糖果（總量）分給 小嘉、小華、 小隆三個人（單位數
8、） ，每人可到多少顆（單位量）？15 顆糖果分給三個人，每人得 1535（顆）2. 包含除（分裝）即是同名數相除，或是說解決單位 數 未知的問題。數學教材教法 B 班 TKU95B14 曾德嘉【整數計算】 TKU95B02 劉宜樺- 4 -example: 小明 有 12 顆糖（總量） ，每 4 個一包（單位量） ，可以裝成幾包（單位數）？把 12 顆糖，每 4 個一包，可分成 1243（包）第項 連減與除法的關係除法與減法相關，因為整數的除法可視為一連串的減法，而每個減數都是相同的。例如：124 ，能視為 1248，844，440，因為有三個減數的關係，因此，124這個想法過程引導出一個問題
9、：幾個 4 等於 12？第項 除法與乘法的相互關係所謂乘法與除法之間的相互關係應該有兩層意義：1. 除法原理所謂 25830，其實就是解 25830(商數) (餘數 )的問題，也就是被除數等於除數乘以商數加餘數 ，通常要求餘數小於 30。2. 乘除互逆example : 12 7 7 12第節 四則運算當式子中有乘除的運算和加減的運算混在一起時，為了處理加減要先運算的問題，或者部份的問題中，為了先處理後面的運算，我們必須用一個符號加以區別，以打破由左而右的習慣。這個符號，我們習慣是以括號表示之。所以當式子中有括號時，我們約定括號內的運算先做，然後乘除運算比加減先算，最後才是由左至右運算。第項
10、四則運算約定的原則：1. 由左往右依次運算2. 括號內的先算3. 先乘、除後加、減第項 常見的例題1. 計算加減混合題和應用題example: 巴士上有乘客 42 人，到站後有 18 人下車， 25 人上車，問現在車上有乘客多少人？2. 計算乘、加、減混合題和應用題。example: 蘋果每個 5 元，西瓜每個 32 元，購買 6 個蘋果 2 個西瓜要付多少元？3. 計算除、加、減混合題和應用題。example: 三位朋友一起到茶樓喝茶，吃了點心 38 元，粉麵 34 元，問平均每人要付多少元？數學教材教法 B 班 TKU95B14 曾德嘉【整數計算】 TKU95B02 劉宜樺- 5 -4.
11、計算乘、除混合式題和應用題。example: 糖 15 包，每包重 10 公斤，如果將全部分裝成 5 大袋，每袋重多少公斤？第章 教學策略第節 加法&減法1. 在兒童的解題過程中，經常問你是怎麼想到(知道)這個答案?引導學童的注意力，由答案是什麼？轉移到這是怎麼做的2. 老師在面對不同解題策略時，宜採較開放的態度，接受學童各種的解題過程。3. 到比較型的問題時，先問誰多?誰少? 再問多多少 ?少多少？4. 再添加、併加、拿走、追加的基本題型當中，加以變化，併使用適當數字做練習。第節 乘法以低年級學童為例，可歸納出下列五種方法（依序而言）：1. 引起動機：教師講述“ 青蛙王子”的故事：有一位王子
12、被巫婆變成了青蛙，為了破解巫婆的咒語變回原來的樣子，青蛙王子要去找一個願意跟他同桌吃飯、同床共眠的公主來幫牠的忙。有一天，王宮裡公主的金球滾到青蛙王子住的池塘中；青蛙王子願意幫忙撿球，但是要求公主答應讓牠到王宮和公主一道吃飯並睡公主的床，公主勉為其難答應後，青蛙王子如約撿回金球。後來青蛙王子終於如願的和公主一起用餐，也睡到公主的床。可是牠不但沒有變回原來的樣子，就連公主也變成了青蛙。為什麼呢？原來巫婆要用池塘裡的蛤蟆來煉製她的神奇藥水，可是她卻不知道到底池塘裡的蛤蟆總共有幾隻眼睛？更不知蛤蟆有幾條腿？巫婆要青蛙王子和青蛙公主幫她的忙，找到答案以後，咒語自然會解除。 教師可以請小朋友幫王子公主來
13、數數看池塘裡的蟾蜍共有幾隻眼睛和幾條腿。2. 主題探索的程序：引起動機之後，帶領孩子共同解決問題。老師可以和學生一起唱數蝦蟆的歌謠。利用故事的講述，配合歌謠來呈現主題。教師可以請兩個學生到台上來當蝦蟆，由台下的學生來數數看兩隻蝦蟆共有幾條腿和幾隻眼睛。數分鐘後，徵求自願者發表他們的算法，再請每一位小朋友記錄自己的算法及答案。依序增加蛤蟆的數量，讓兒童做答；另以難度較高的題目，做為小組討論的題材，給予充分時間探討後，請各組說明解題的方式。發表結束之後，再讓各生記錄自己最擅長的算式及做法。3. 專業術語和符號介紹：幾個幾和倍數概念的闡述固然是介紹乘法符號的相關名詞，然而除了數學教材教法 B 班 T
14、KU95B14 曾德嘉【整數計算】 TKU95B02 劉宜樺- 6 -以各式教具或實物讓兒童容易理解兩者的意涵外，太多抽象題目的練習，反而使兒童的認知機轉僵化，成為背誦公式般的解答機器。因此，宜以簡單明瞭的例子和定義來介紹，例如用 5 的乘法來看，我們可以直接以教室裡的學生拿來計算，每五人為一組，六組共有多少人？讓兒童自由發表各種解題方式，教師再利用連加法解釋乘法是加法的快速計算法，並列式是說明乘法表（即九九乘法）的意義。4. 應用的相關活動：兒童確實知道乘法的意義後，教師可利用教具佈題讓兒童練習，作為教學的依據，讓學生在遊戲中接觸並學習乘法，可以讓學生學習熱忱提高。此外，大部分的教師和家長喜
15、歡讓學生直接背九九乘法表，然縱使學生對九九乘法倒背如流，但對其真正的意思一知半解，這豈不是本末倒置嗎？不過，當兒童對乘法表已能隨意查用之後，倒也不妨進行一場擂臺賽，比賽乘法表的背誦或應用，以激發兒童適度的競爭。5. 學習單和電腦輔助教學：這兩者的名稱雖不同，但都是針對學生的學習需求所設計的。學習單則可以用書面的方式，再度傳遞乘法的概念以及解題的途徑，並提供不同類型的練習。而電腦的部分，無論光碟或是網際網路，都可以找到許多既生動又有趣，且讓兒童百玩不厭的相關教學遊戲，使孩子不學會乘法也難。第節 除法1. 先建立學生除法的重要概念平分，之後再呈現等分除與包含除問題。等分除問題，除了一個一個分的策略
16、之外，也要鼓勵學生使用嘗試錯誤的方法一次分二個(或二個以上) 。2. 除法直式包括兩個內容，第一是反映乘法的運算過程，第二是記錄了問題和結果。可是學生在解決除法問題時，沒有能力馬上估算出商的大小，可以慢慢分，找到答案，把這些嘗試分分看的過程，以直式記下來。3. 而在等分情境中，分配可以用逐一分配(每人一顆，再每人一顆)的方式進行，最後看看分了幾次或者數一數每個人分到多少就可以獲得答案。4. 而在等組情境中，則可以用逐次扣除(裝一袋剩下，再裝一袋)的方式進行，最後用扣了幾次或者數一數裝成幾袋的方式獲得答案。在數值運算上，都可以用逐次的減法來計算，像把算式 258 32 寫成258 32 226
17、， 226 32 194 ， 194 32總共可以減 8 次，最後剩下 2，因此258 32 82可以說 258 除以 32 得商數 8、餘數 2 就是這個意思。把 32 連續被減的部分用乘法來看就是減掉 8 次 32，因此 25832 的意思就是數學教材教法 B 班 TKU95B14 曾德嘉【整數計算】 TKU95B02 劉宜樺- 7 -258 32 8 2因此 25832 也可以想成就是258 有幾個 32？剩下多少？的問題。第節 四則運算在多步驟四則問題情境中，透過比較的活動，形成乘、除先算，再由最左往右記法的共識，省略在併式填充題中標示乘、除先算，再由最左往右計算步驟的括號 。exam
18、ple：小新 有 21 枝鉛筆，給了妹妹 3 枝，弟弟 2 枝，去合作社又買了 7 枝，問小新現在有多少枝鉛筆？ 甲 同學 乙 同學(213)27( ) 21327( )(213)27 2132718 27 1827167 16723 23又如以下算式：A 方式 B 方式50(56) 18( ) 505618( )50(56)18 5056 185030 18 5030188018 801862 62皆可由討論與比較中，讓學生了解先乘除、後加減，由左至右的運算原則 。第章 認知結構依照 Piaget 的認知結構論，他將兒童分為以下四個時期：期 別 年 齡 特 徵感覺動作期 0 2 歲1. 憑感
19、覺與動作以發揮其基模功能。2. 由本能性的反射動作到目的性的活動。3. 對物體認識具有物體恆存性概念。數學教材教法 B 班 TKU95B14 曾德嘉【整數計算】 TKU95B02 劉宜樺- 8 -前運思期2 7 歲【一二年級】1. 能使用語言表達概念，但有自我中心傾向。2. 能實用符號代表實物。3. 能思維但不合邏輯。具體運思期7 11 歲【二五年級】1. 能根據具體經驗思維以解決問題。2. 能理解可逆性的道理。3. 能理解守恆的道理。形式運思期11 歲以上【五年級以上】1. 能做抽象思維。2. 能按假設驗證的科學法則解決問題。3. 能按形式邏輯的法則思維問題。認知發展階段第節 前運思期1.
20、具體及知覺集中：只能注意到某一各向度，無法思考各個面向。example：將較矮較寬的 A 杯水倒到較高較窄的 B 杯，兒童會認為 B 杯的水多。 2. 狀態對於轉換：只注意靜態而忽略動態過程。example：只能看到 B 杯的水位較高，而忽略從 A 杯倒至 B 杯的過程。 3. 不可逆：無法進行回到原點的思考。example：小新 的妹妹是小葵 小葵的哥哥是小新4. 自我中心主義：不能客觀分析事實。第節 具體運思期1. 表象異於實質：表面所建與實質是不一定是相同的。example：把紅色的車子放在綠色的玻璃紙後面，雖然眼睛所看到的是灰黑色，但是仍知道實際上車子是紅色的。2. 類包含概念：此階段
21、的小朋友不僅能分類且具有類包含概念。example：紅花 7 朵，白花 3 朵，是紅花多還是花多？花多。前運思期的兒童的回答紅花多，但在具體運思期的兒童已經知道類包含，因此是花多。3. 守恆概念：任何物質不管其形狀或外表的改變，其本質還是不變的。4. 序位化：若要排序，可依長短排列，而不會就從頭排到尾。第節 形式運思期1. 假設演譯：從假設的前提出發，經過演譯歷程，以獲得結論，也就是從一般的原理原則中形成假設。數學教材教法 B 班 TKU95B14 曾德嘉【整數計算】 TKU95B02 劉宜樺- 9 -2. 組合推理：對於事物的多因素進行組合歸納，進而加以推理，以思考解決問題。數學教材教法 B 班 TKU95B14 曾德嘉【整數計算】 TKU95B02 劉宜樺- 10 -參考資料：1. 林宜臻老師數學園地http:/jen.naer.edu.tw/ 2. 九年一貫課程與教學網http:/teach.eje.edu.tw/3. 數學科教材教法 ，五南出版社C. Alan Riedesel, James E. Schwartz, & Douglas H. Clements著謝如山謝名起謝名娟譯。
