1、1正项级数收敛的判别法 一个比较精细的正项级数判别法一个比较精细的正项级数判别法摘要：本文用级数n =31n lnpn做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，笔者称之为“对数判别法”。关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，2然而此判别法有时精确度仍然不够。以下本文就以级数1pn =3n ln n做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法“对数判别法”。我们先看级数n =31n lnpn的敛散性：当 p 1 时级数收敛；当 p 1 时级数发散。这个结论可用柯西积分判别法证明（
2、具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著数学分析简明教程 ） ，本文不再细述。先考虑发散的情况。由比较判别法有：设数列u n 是正项数列，若 n 足够大时，有u n u n +1(n +1) ln(n +1)n ln n3成立，则u n 发散。n =1为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”：u n u n +1(n +1) ln(n +1)n ln nnu n (n +1) u n +1-1ln(n +1) -ln nln n，由拉格朗日中值定理知，对任意 n ，存在 n (n , n +1) ，使得 ln(n +1) -ln n =1n,故u n u n +1(n +1) ln(n
3、+1)4n ln n nu n (n +1) u n +1n ln n nu n (n +1) u n +1-1要使 n 足够大时有 n ln n -11lim n ln n n nu n (n +1) u n +1nu n-1而显然 limn nn=1，故当 lim n ln n n (n +1) u n +1-1n =1收敛的情况可类似讨论：设数列u n 是正项数列，若存在 p 1 使得 n 足够大时，有5u n n +1)pu (n +1)ln(n +1n (lnn )p成立，则u n 收敛。n =1因为u pp pn n nu (n +1)ln(n +1)n +1n (lnn )pnu
4、 (n +1) u -1ln (n +1) -ln6n +1lnpn，由拉格朗日中值定理知，对任意 n ，存在 n (n , n +1) , 使得 ln(n +1) p-ln np=p l n n p -1,npp -1 故u n u (n +1)ln(n +1)n p -1n +1n (l n n )p7n ln n nu (n +1) u -1pn l n n n +1n l n n ，p -1 要使 n 足够大时有 n ln n nu n (n +1) u -1pn lnn p -1n +1n lnn 成立，只需lim n ln n nu nlim pn lnn p -1n (n +1)
5、 u -1n +1n p -1=p ，n lnn 若 lim n ln n 8nu n 1+s n (n +1) u -1=s 1，取 p =21, 就有n +1lim n ln n nu n -1lim pn lnp n n (n +1) u n +1n pn lnn =p ，故当 lim n ln n nu n n (n +1) u -1=s 1 时，u n 收敛。n +1n =1综合上述，得到下面的定理29定理（“对数判别法”）：设正项级数u n 满足：n =1lim n ln n nu n -1=s ，n (n +1) u n +1则（1）当 s1 时，u n 收敛n =1（2）当 sn =1参考文献：数学分析简明教程 ，邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社，1999 年 6 月 3
