1、- 1 -42.2 & 4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用圆与圆的位置关系提出问题上图为某次拍到的日环食全过程可以用两个圆来表示变化过程问题 1：根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？提示：5 种，即内含、内切、相交、外切、外离问题 2：能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断问题 3：直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？提示：可以导入新知1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含2圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为 r1， r
2、2，两圆连心线的长为 d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系 外离 外切 相交 内切 内含图示d 与 r1， r2的关系d r1 r2 d r1 r2|r1 r2| d r1 r2d| r1 r2| d| r1 r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1： x2 y2 D1x E1y F10( D E 4 F10)，21 21C2： x2 y2 D2x E2y F20( D E 4 F20)，2 2- 2 -联立方程组得Error!则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2 组 1 组 0 组两圆的公共点个数 2 个 1 个 0 个两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内
3、含化解疑难几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题判断两圆的位置关系例 1 当实数 k 为何值时，两圆C1： x2 y24 x6 y120， C2： x2 y22 x14 y k0 相交、相切、相离？解 将两圆的一般方程化为标准方程，C1：( x2) 2( y3) 21， C2：( x1) 2( y7) 250 k.圆
4、 C1的圆心为 C1(2,3)，半径长 r11；圆 C2的圆心为 C2(1,7)，半径长 r2 (k50)，50 k从而| C1C2| 5. 2 1 2 3 7 2当 1 5，即 k34 时，两圆外切50 k当| 1|5，即 6，即 k14 时，两圆内切50 k 50 k当| 1|51 ，50 k 50 k即 14 k34 时，两圆相交当 1 5 或| 1|5，50 k 50 k即 k14 或 34 k50 时，两圆相离类题通法1判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离 d；(3)通过 d 与 r1
5、r2，| r1 r2|的大小关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合2应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆- 3 -心距与两圆半径的关系活学活用1两圆 C1： x2 y22 x30， C2： x2 y24 x2 y30 的位置关系是( )A相离 B相切C相交 D内含答案：C2(湖南高考)若圆 C1： x2 y21 与圆 C2： x2 y26 x8 y m0 外切，则 m( )A21 B19C9 D11答案：C 与两圆相交有关的问题例 2 求经过两圆 x2 y26 x40 和 x2 y26 y280 的交点且圆心在直线x y40 上
6、的圆的方程解 法一：解方程组Error!得两圆的交点 A(1,3)， B(6，2)设所求圆的圆心为( a， b)，因圆心在直线 x y40 上，故 b a4.则有 ， a 1 2 a 4 3 2 a 6 2 a 4 2 2解得 a ，故圆心为 ，12 (12， 72)半径为 .(12 1)2 ( 72 3)2 892故圆的方程为 2 2 ，(x12) (y 72) 892即 x2 y2 x7 y320.法二： 圆 x2 y26 y280 的圆心(0，3)不在直线 x y40 上，故可设所求圆的方程为 x2 y26 x4 (x2 y26 y28)0( 1)，其圆心为 ，代入 x y40，求得 7
7、.(31 ， 31 )故所求圆的方程为 x2 y2 x7 y320.类题通法1圆系方程一般地过圆 C1： x2 y2 D1x E1y F10 与圆 C2： x2 y2 D2x E2y F20 交点的圆的方程可设为 x2 y2 D1x E1y F1 (x2 y2 D2x E2y F2)0( 1)，然后再由其他条件求出 ，即可得圆的方程2两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆 C1： x2 y2 D1x E1y F10 与圆 C2： x2 y2 D2x E2y F20 相交，则两圆公共- 4 -弦所在直线的方程为( D1 D2)x( E1 E2)y F1 F20.3公共弦长的求法(1)代数法：将两圆
8、的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解活学活用已知圆 C1： x2 y22 x6 y10，与圆 C2： x2 y24 x2 y110 相交于 A， B 两点，求 AB 所在的直线方程和公共弦 AB 的长解：由圆 C1的方程减去圆 C2的方程，整理，得方程 3x4 y60，又由于方程3x4 y60 是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程 3x4 y60 的解因为两点确定一条直线，所以 3x4 y60 是两圆公共弦 AB 所在的直线方程圆 C1： x2 y22 x6 y10
9、，圆心为 C1(1,3)，半径 r3，圆心 C1到直线 AB 的距离 d ， 3 12 625 95 AB2 2 .r2 d29 (95)2 245 AB 所在的直线方程为 3x4 y60，公共弦 AB 的长为 .245直线与圆的方程的实际应用例 3 有一种大型商品， A， B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费 A 地是 B 地的两倍，若 A， B 两地相距 10 千米，顾客选择 A 地或 B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？解 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐
10、标系，如图所示，设 A(5,0)，则 B(5,0)在坐标平面内任取一点 P(x， y)，设从 A 运货到 P 地的运费为 2a 元/千米，则从 B 运货到 P 地运费为 a 元/千米若 P 地居民选择在 A 地购买此商品，则 2a a ， x 5 2 y2 x 5 2 y2整理得 2 y2 2.(x253) (203)- 5 -即点 P 在圆 C： 2 y2 2的内部(x253) (203)也就是说，圆 C 内的居民应在 A 地购物同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物圆 C 上的居民可随意选择 A， B 两地之一购物类题通法求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤(1)认真审题，明确题意
11、；(2)建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)把代数结果还原为实际问题的解活学活用某公园有 A， B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km 和 2 2 2km，且 A， B 景点间相距 2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大由平面几何知识知，该点应是过 A， B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点以小路所在直线为 x 轴， B 点在 y 轴正半轴上建立平面直角坐标系由题意，得
12、A( ， )， B(0,2 )，2 2 2设圆的方程为( x a)2( y b)2 b2，由 A， B 两点在圆上，得Error!或Error! 由实际意义知 a0， b ，2圆的方程为 x2( y )22，切点为(0,0)，2观景点应设在 B 景点在小路的投影处坐标法解决平面几何问题例 4 如图所示，在圆 O 上任取 C 点为圆心，作圆 C 与圆 O 的直径 AB 相切于 D，圆 C 与圆 O 交于点 E， F，且 EF 与 CD 相交于 H.求证：EF 平分 CD.解 证明：以 AB 所在直线为 x 轴， O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，设| AB|2 r， D(a,0)，- 6
13、 -则| CD| ，r2 a2 C(a， )，r2 a2圆 O： x2 y2 r2，圆 C：( x a)2( y )2 r2 a2.r2 a2两方程作差得直线 EF 的方程为2ax2 y r2 a2.r2 a2令 x a，得 y ，12r2 a2 H ，(a，12r2 a2)即 H 为 CD 中点， EF 平分 CD.类题通法平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题(2)通过代数运算，解决代数问题(3)把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论活学活用在平行四边形 ABCD 中，用坐标法证明：|
14、AB|2| BC|2| CD|2| DA|2| AC|2| BD|2.证明：以 CA 所在的直线为 x 轴，线段 CA 的中点 O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系设 A(a,0)， B(b， c)，则 C( a,0)， D( b， c)|AB|2| BC|2| CD|2| DA|22(| AB|2| BC|2)2( b a)2 c2( a b)2( c)24 a24 b24 c2，|BD|2| AC|2( b b)2( c c)2( a a)24 a24 b24 c2.|AB|2| BC|2| CD|2| DA|2| AC|2| BD|2.- 7 -11.由 两 圆 相 切 求 圆
15、的 方 程典例 (12 分)求半径为 4，与圆 x2 y24 x2 y40 相切，且和直线 y0 相切的圆的方程解题流程故 a22 ，此时圆的方程为( x22 )2( y4) 216 或( x22 )2( y4)6 6 6216.(10 分)- 8 -综上，所求圆的方程为( x22 )2( y4) 216 或( x22 )2( y4) 216 或10 10(x22 )2( y4) 216 或( x22 )2( y4) 2 16.(12 分)6 6活学活用(江苏高考节选)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为 圆心的圆 M： x2 y212 x14 y600 及其上一点 A(2,4)
16、(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上， 求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B， C 两点，且 BC OA，求直线 l 的方程；解：圆 M 的标准方程为( x6) 2( y7) 225，所以圆心 M(6,7)，半径为 5.(1)由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N(6， y0)因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 0 y07，圆 N 的半径为 y0，从而 7 y05 y0，解得 y01.因此，圆 N 的标准方程为( x6) 2( y1) 21.(2)因为直线 l OA，所以直线 l 的斜率为 2.4 0
17、2 0设直线 l 的方程为 y2 x m，即 2x y m0，则圆心 M 到直线 l 的距离d .|26 7 m|5 |m 5|5因为 BC OA 2 ，22 42 5而 MC2 d2 2，(BC2)所以 25 5， m 5 25解得 m5 或 m15.故直线 l 的方程为 2x y50或 2x y150.- 9 -随堂即时演练1圆 x2 y250 与圆 x2 y212 x6 y400 公共弦长为( )A. B.5 6C2 D25 6答案：C2已知两圆相交于 A(1,3)， B(m，1)，两圆的圆心均在直线 x y c0 上，则m2 c 的值为( )A1 B1C3 D0答案：B3已知圆 C1：
18、( x1) 2( y2) 24，圆 C2：( x2) 2( y2) 29，则两圆的位置关系是_答案：外切4已知两圆 x2 y210 和( x1) 2( y3) 220 相交于 A， B 两点，则直线 AB 的方程是_答案： x3 y05已知圆 C1： x2 y22 mx4 y m250，圆 C2： x2 y22 x0.(1)m1 时，圆 C1与圆 C2有什么位置关系？(2)是否存在 m，使得圆 C1与圆 C2内含？答案：(1)相交 (2)不存在课时达标检测一、选择题1已知 0 r 1，则两圆 x2 y2 r2与( x1) 2( y1) 22 的位置关系是( )2A外切 B相交C外离 D内含答案
19、：B2半径长为 6 的圆与 x 轴相切，且与圆 x2( y3) 21 内切，则此圆的方程为( )A( x4) 2( y6) 26B( x4)2( y6) 26C( x4) 2( y6) 236D( x4)2( y6) 236- 10 -答案：D3已知圆 C：( x3) 2( y4) 21 和两点 A( m,0)， B(m,0)(m0)若圆 C 上存在点P，使得 APB90，则 m 的最大值为( )A7 B6C5 D4答案：B4若集合 A( x， y)|x2 y216， B( x， y)|x2( y2) 2 a1，且 A B B，则a 的取值范围是( )A(，1 B5，)C1,5 D(，5答案：
20、D5设两圆 C1， C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离| C1C2|等于( )A4 B4 2C8 D8 2答案：C二、填空题6已知圆 C1： x2 y26 x70 与圆 C2： x2 y26 y270 相交于 A， B 两点，则线段 AB 的垂直平分线方程为_答案： x y307若圆 x2 y24 与圆 x2 y22 ay60( a0)的公共弦长为 2 ，则 a_.3答案：18已知实数 x， y 满足 x2 y24 x10，则 的最大值为_，最小值为yx_答案： 3 3三、解答题9圆 O1的方程为 x2( y1) 24，圆 O2的圆心 O2(2,1)(1)若圆 O2与圆 O1外切，求圆 O2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆 O2与圆 O1交于 A， B 两点，且| AB|2 ，求圆 O2的方程2解：(1)由两圆外切，| O1O2| r1 r2，r2| O1O2| r12( 1)，2故圆 O2的方程是( x2) 2( y1) 2128 .2两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为 x y12 0.2
