1、第2课时 椭圆几何性质的应用,第二章 2.1.2 椭圆的简单几何性质,学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质. 2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 点与椭圆的位置关系,思考1 判断点P(1,2)与椭圆 y21的位置关系.,知识点二 直线与椭圆的位置关系,思考 类比直线与圆的位置关系，给出直线与椭圆的位置关系.,答案 有三种位置关系：相离、相切和相交,梳理 判断直线和椭圆位置关系的方法,当0时，方程有 ，直线与椭圆 ； 当0时，方程有 ，直线与椭圆 ； 当0时，方程 ，直线与椭圆 .,两个不同解,相交,两个相同解,相切,无解,相
2、离,知识点三 弦长公式,其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得.,思考辨析 判断正误 1.若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.( ),题型探究,例1 已知直线l：y2xm，椭圆C： 1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点；,类型一 直线与椭圆的位置关系,解答,解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，,消去y，得9x28mx2m240. 方程的判别式(8m)249(2m24)8m2144.,(2)有且只有一个公共点.,解答,这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点.,反
3、思与感悟 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 0直线与椭圆相交； 0直线与椭圆相切； 0直线与椭圆相离. 特别提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.,跟踪训练1 (1)直线ykxk1与椭圆 1的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定,答案,解析,解析 直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交.,答案,解析,由244(1m2)(6m2)0，,类型二 直线与椭圆的相交弦问题,解答,若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x20，x1x218
4、.,解答,(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.,解 方法一 当直线l的斜率不存在时，不合题意. 所以直线l的斜率存在. 设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4).,得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0. (32k216k)24(14k2)(64k264k20)0.,由于AB的中点恰好为P(4,2)，,即x2y80.,由于P(4,2)是AB的中点，x1x28，y1y24，,即x2y80.,反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆
5、方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.,解答,解 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差， 得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0. ,直线xy10的斜率k1.,|x2x1|2. 联立ax2by21与xy10，可得(ab)x22bxb10.,4(x2x1)2(x1x2)24x1x2,且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，,得(ab)x22bxb10.,且直线AB的斜率k1，,类型三 椭圆中的最值(或范围)问题,解答,例3 已知椭圆4x2y21及直线yxm. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；,解答,(2)求被椭圆
6、截得的最长弦所在的直线方程.,解 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知5x22mxm210，,所以当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.,解答,引申探究 本例中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程.,反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的
7、限制条件.,跟踪训练3 已知椭圆C：x22y24. (1)求椭圆C的离心率；,解答,(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求|AB|的最小值.,解答,解 设A(t,2)，B(x0，y0)，x00.OAOB，,达标检测,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,2.直线yx2与椭圆 1有两个公共点，则m的取值范围是 A.m1 B.m1且m3 C.m3 D.m0且m3,1,2,3,4,5,(4m)24m(3m)0，16m24m(3m)0， m1或m0且m3，m1且m3.,3.过椭圆 1内一点P(1,1)的直线l与椭圆交于A，B两点，且P是线段AB的中点，则直线l的方程
8、是 A.x2y30 B.x2y10 C.2xy30 D.2xy10,1,2,3,4,5,答案,解析,答案,4.已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x 40有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_.,1,2,3,4,5,解析,1,2,3,4,5,5.已知椭圆C的两个焦点是F1(2,0)，F2(2,0)，且椭圆C经过点A(0， ). (1)求椭圆C的标准方程；,解答,1,2,3,4,5,(2)若过左焦点F1且倾斜角为45的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求线段PQ的长.,解答,解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为 (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x或y的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解.,规律与方法,
