1、第 5 次 课教学目的：理解晶体的宏观对称性；理解对称操作；了解对称操作群的概念；了解点群，对称素的概念，了解32个点群；了解7大晶系14种布拉伐格子；教学内容：1.5 晶体的宏观对称性1.6 点群1.7 晶格的对称重点难点：晶体的宏观对称性；对称素；对称操作；对称操作群1.5 晶体的宏观对称性原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同的宏观对称性，怎样描述晶体的宏观对称性？ 概括晶体宏观对称性的系统方法就是考察晶体在正交变换的不变性。 在三维情况下，正交变换表示为：12133xaxyyzz 矩阵 是正交矩阵 ,ija 如图 XCH001_062 所示，绕 z 轴转 角的正交矩阵：cosi
2、n0i01P 点的坐标变换： cosin0i01xxyyzz 中心反演的正交矩阵：P 点的坐标变换： 一个变换为空间转动，矩阵行列10xxyyzz式等于1 变换为空间转动加中心反演，矩阵行列式等于1 一个物体在某一个正交变换下保持不变，称之为物体的一个对称操作，物体的对称操作越多，其对称性越高。 1 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动： ，共有9个对称操作；如图XCH001_026_01所示。 3,22) 绕6条面对角线轴转动 ，共有6个对称操作；如图XCH001_026_02所示。 3) 绕4个立方体对角线轴转动 ，共有8个对称操作；如图XCH001_026_03所4,3示。 4) 正
3、交变换 也是一个对称操作； （不动操作）105) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 立方体的对称操作共有48个。 4 重轴、3 重轴和 2 重轴的标记如图 XCH001_056 所示。 2 正四面体的对称操作 四个原子位于正四面体的四个顶角上，显然正四面体的对称操作包含在立方体操作之中 如图 XCH001_027 所示 1) 绕三个立方轴转动： ，共有3个对称操作； 2) 绕4个立方体对角线轴转动 ，24,共有8个对称操作； 3) 正交变换 也是一个对称操10作； 4) 绕三个立方轴转动： ，加上中3,2心反演，共有6个对称操作； 5) 绕6条面对角线轴转动 ，加上中心反演，共有6个对
4、称操作； 正四面体的对称操作共有 24 个 3 正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动： ，共有245,335个对称操作；如图XCH001_028所示。 2) 绕对棱中点连线转动 ，共有3个对称操作；3) 绕相对面中心连线转动 ，共有3个对称操作； 4) 正交变换 也是一个对称操作； 105) 以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作 正六面柱的对称操作共有 24 个 4 对称素 为简洁明了地概括一个物体的对称性，不去一一列举所有的对称操作，而是描述它所具有的“对称素” 。对称素就是一个物体的旋转轴，以及旋转反演轴。一个物体绕某一个转轴转动 ，以及其倍数不变时，称该轴为物体 n 重旋转轴，2
5、/n计为 n。 一个物体绕某一个转轴转动 加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍/数不变时，称该轴为物体 n 重旋转反演轴，计为 。n（1）立方体 立方轴 为 4 重轴，计为 4；同时也是 4 重旋转反演轴，计为 ； 3(,)2 4 面对角线 为 2 重轴，计为 2；同时也是 2 重旋转反演轴，计为 ； 2 体对角线轴 为 3 重轴，计为 3；同时也是 3 重旋转反演轴，计为(,)；3（2）正四面体 立方轴是 4 重旋转反演轴，但不是 4 重轴 面对角线是 2 重旋转反演轴，但不是 2 重轴 体对角线轴是 3 重轴，但不是 3 重旋转反演轴 （3）对称素它的含义：先绕轴转动，再作中心反演，
6、如图XCH001_029所示。 点实际A上是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，表明对称素 存在一个对称面M。2所以称对称素 为镜面，用 m 或 表示。2（4）对称操作群 一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群 5 群的基本知识 （1）群的基本性质群代表一组“元素”的集合，GE,A,B,C,D这些“元素”被赋予一定的“乘法法则” ，满足下列性质： 1) 集合 G 中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素，即，若 A, B G, 则 AB=C G. 叫做群的封闭性。2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A3) 对于任意元素A, 存在逆元素A -1, 有：AA -1=E 4)
7、元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C （2）几个简单的群 1) 所有正实数(0除外)的集合，以普通乘法为运算法则，组成正实数群。 2) 所有整数的集合，以加法为运算法则，组成整数群。 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，其运算法则就是连续操作。 单位元素：不动操作 任意元素的逆元素：绕转轴 角度，其逆操作为绕转轴 角度；中心反演的逆操作仍是中心反演； 连续进行 A 和 B 操作，相对于 C 操作，如图XCH_001_030 所示。 A 操作：绕 OA 轴转动 ，S 点转到 T点； 2B 操作：绕 OC 轴转动 ，T点转到 S 点； 上述操作中 S 和 O 没动，而 T
8、 点转动到 T点。相当于一个操作 C：绕 OS 轴转动 23表示为： C=BA群的封闭性 可以证明： 满足结合律 ()AB1.6 点群晶体中原子的周期性排列形成了晶体一定的宏观对称性，不同的形式的原子排列形成的宏观对称性，其对称操作也具有一定的限制。 描述晶体周期性的布拉伐格子： 123lal 经历对称操作后晶体不变，相应的布拉伐格子也不变 1. 对称素 设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以用 来描述，如图12laXCH001_031所示。绕转轴的任意对称操作，转过角度为：； B点转到B点该点必有一个格点； A点和B点是等价的，以通过B点的轴顺时针转过： A点转到A点该点必有一个格
9、点； 且有： n为整数 A，(12cos)B12cosn只能取值：1，0，1，2，3 相应的的角度： 000,69,128任何晶体的宏观对称性只能有以下几种对称素： 1,234,例如长方形、正三角形、正方形和正六方形可以在平面内周期性重复排列。 而正五边形及其它正n边形则不能作周期性重复排列，如图XCH001_032所示。 2. 点群 以10种对称素为基础组成的对称操作群，一般称为点群。 由对称素组合成群时，对称轴的数目、对称轴之间的夹角将受到严格的限制， 例如：两个2重轴之间的夹角只能为： 003,456,9如果存在一个n重轴和与之垂直的二重轴，就一定存在n个与之垂直的二重轴。 如图XCH0
10、01_033所示，2个二重轴2和2；绕轴2的转动计为A，绕轴2的转动计为B。连续进行操作AB，与之垂直的轴上一点N回到原处，轴2转到2”的位置。A和B均为对称操作：也是对称操作。 CC的操作则是绕NN轴转过 角2度。 其 0026,91,8 3453. 32种点群 理论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群。即晶体的宏观对称只有32个不同类型。 不动操作，只含有一个元素，表示没有任何对称性的晶体； 1C回转群 只包含一个旋转轴的点群： ，共4个；下标表示是几n 236,C重旋转轴； 双面群 包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群：D，共4个； 236,D群 群加上中心反演 iC1群
11、 群加上反演面 s群 群加上与n重轴垂直的反演面，共4个 nh群 群加上含有n重轴的反演面，共4个 v1.7 晶格的对称由 32 种点群描述的晶体对称性，对应的只有 14 种布喇菲格子，分为 7 个晶系。单胞的三个基矢 沿晶体的对称轴或对称面的法向，在一般情况下，它,abc们构成斜坐标系。它们间的夹角用 表示，即 ； ；,(,)bc(,)ca 。 (,)ab按坐标系性质划分的七大晶系： 晶系 单胞基矢的特性 布喇菲格子 所属点群 三斜晶系 ，夹角不等 123a简单三斜 1,sC单斜晶系 ， 123213,a简单单斜，底心单斜 22,sh正交晶系 ， 123a123a简单正交，底心正交体心正交，
12、面心正交22,vhDC三角晶系 ，12309三角 333,ivd四方晶系 ，123a0简单四方，体心四方442,hvdCDS六角晶系 ， 12312,a01六角 66332,hvC立方晶系 ，123a09简单立方，体心立 方面心立方 ,hdhTO 14 种布拉伐原胞 1） 简单三斜 如图XCH001_034_01 2） 简单单斜 如图XCH001_034_02 3） 底心单斜 如图XCH001_034_03 4） 简单正交 如图XCH001_034_04 5） 底心正交 如图XCH001_034_05 6） 体心正交 如图XCH001_034_06 7） 面心正交 如图XCH001_034_07 8） 三角 如图XCH001_034_08 9） 简单四方（四角） 如图XCH001_034_09 10） 体心四方（四角） 如图XCH001_034_10 11） 六角 如图XCH001_034_11 12） 简立方 如图XCH001_034_12 13） 体心立方 如图XCH001_034_13 14） 面心立方 如图XCH001_034_14 大个晶系晶格的关系, 如图XCH001_034_15所示 作业：1.12
