1、 1 / 242010 高考复习数学亮点试题函数郑善友（山东省东平县第一中学）函数是中学数学的核心内容。在整个中学数学课程中充当着联系各部分代数知识的“纽带 ”，同时也为解析几何学习中所需的数、形结合思想奠定了基础。函数是高中数学的主线，是每年高考必考查的重点内容之一，函数与方程、函数与数列、函数与不等式的相互渗透和交叉一直是高考的热点，近年来抽象函数问题、函数与向量结合、函数与概率统计结合、探索创新性问题又成为新的视点，可以说是常考常新。随着新教材课程改革的不断向前发展，高考函数命题已从理论和实践上发生了深刻的变化，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多新的解题途径，拓宽了高考对函数问题的命
2、题空间。下面结合 2009 年全国各省的高考试题，探讨高考函数问题命题新的趋势，供复习时参考。1 对函数定义的深化理解与函数图象的灵活运用的问题1.(2009 年高考数学陕西卷)定义在 R 上的偶函数 ()fx满足：对任意的1212,(,0)xx，有 2121()(0xf.则当 *nN时,有 (A) fnffn (B) (1)(1)fffn (C) ()() (D) )( 【答案：】C 1212121,(,0)()()0)(,0() )()()(1)xxxffxfffffnfnffnf解 析 ： 时 ， 在 为 增 函 数为 偶 函 数 在 ， 为 减 函 数而 n+-,2. (2009 年高
3、考数学山东卷)函数xey的图象大致为 ( ).2 / 241x y 1O A xyO11B xyO1 1 C xy1 1 D O【解析】:函数有意义,需使 0xe,其定义域为 0|x,排除 C,D,又因为221xxxey,所以当 时函数为减函数,故选 A. 答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质 .本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.3.（2009 年高考数学江西卷）如图所示，一质点 (,)Pxy在 O平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在 x轴上的投影点 ,0Q的运动速度 ()Vt的图象大致为A B C
4、 DyxO(,)Pxy(,0)QO()VttO()VttO()VttO()Vtt3 / 24答案：B【解析】由图可知，当质点 (,)Pxy在两个封闭曲线上运动时，投影点 (,0)Qx的速度先由正到 0、到负数，再到 0，到正，故 A错误；质点 ,Py在终点的速度是由大到小接近 0，故 D错误；质点 (,)Pxy在开始时沿直线运动，故投影点 (,)Qx的速度为常数，因此 C是错误的，故选 B.4.（2009 年高考数学江西卷）设函数 2()(0)fxabxc的定义域为 D，若所有点 (,),)sftD构成一个正方形区域，则 的值为A 2 B 4 C 8 D不能确定 答案：B【解析】 12max|
5、()xf，224bacb， |a， 4a，选 B5.(2009 年高考数学山东卷)若函数 f(x)=a x-x-a(a0 且 a 1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .【解析】: 设函数 (0,xya且 1和函数 yx,则函数 f(x)=a x-x-a(a0且 a 1)有两个零点, 就是函数 (,xya且 与函数 ya有两个交点,由图象可知当 10时两函数只有一个交点 ,不符合 ,当 1时,因为函数()xy的图象过点(0,1),而直线 x所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 1a答案: 1a 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系
6、 ,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.2 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用问题新课标高考中,求函数的值域（或最值）及活用奇偶性、单调性、周期性及对称性成为热点问题，重点考查二次函数、指数函数、对数函数、分段函数及抽象函数的有关性质，并且利用函数性质灵活解题.函数的单调性常用来判断、证明、比较大小，求单调区间及有关参数的范围，奇偶性则经常扩展到图象的4 / 24对称性，且与单调性和周期性联系在一起，解决较复杂的问题.尤其值得注意的是，凡涉及到函数、方程和不等式的问题，必须首先考虑定义域，这也是学生解决问题时容易忽略的地方. 6.(200
7、9 年高考数学山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 )(xf，满足(4(fxfx,且在区间0,2上是增函数,若方程 f(x)=m(m0)在区间 8,上有四个不同的根 1234,则 1234_.xx 【解析】:因为定义在 R 上的奇函数，满足 ()(ffx,所以(4)(fxfx,所以, 由 )(xf为奇函数,所以函数图象关于直线 2x对称且0,由 )f知 8()f,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 (xf在区间0,2上是增函数,所以 x在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m0)在区间 ,上有四个不同的根 1234,x,不妨设1234xx由对称性知 12x34x所
8、以28答案:-8【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性 ,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.7.(2009 年高考数学山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2()1(,log2xfxf，则 f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得 2(1)logf, ()f, (1)0(1)ff,-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 5 / 24(2)1(0)ff, (3)2(1)()0ff,4321, 543f, 6(5)40ff,所以函数
9、 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2009）= f （5）=1,故选 C.答案:C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算 .8.(2009 年高考数学山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 )(xf，满足(4(fxfx,且在区间0,2上是增函数,则( ). A. 25)180)f B. (80)1(25)fffC. (25ff D. 25【解析】:因为 )x满足 4)(ffx,所以 ()(ffx,所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则 1(, 0)8, )31,又因为 )(xf在 R上是奇函数， 0)f,得 (ff, 1(25(ff,而由(4)(fxfx得
10、 )4)3(1,又因为 )x在区间0,2上是增函数 ,所以 )f,所以 01(f,即 (80fff,故选 D. 答案:D.【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质 ,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 3 以分段函数为主线的问题9.（2009 天津卷文）设函数 0,64)(2xxf则不等式 )1(fxf的解集是（ ）A ),3()1, B ),2()1,3 C ),3()1, D (【答案】A6 / 24【解析】由已知，函数先增后减再增当 0x， 2)(f31(f令 ,)(xf解得 3,1x。当 0， 3,6x故 )(ff ，解得 13或【考点定位】本试题考查分
11、段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。10.（2009 年高考数学上海卷）有时可用函数0.15ln,(6)()4,axfx描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（ *xN） ，()fx表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关。（1） 证明：当 7x时，掌握程度的增加量 (1)(fxf总是下降；（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 15,2,(,2, (13。当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科。证明（1）当 0.47()(3)(xfxfx时 ，而当 时 ，函数 3y单调递增，且 )(4x0
12、故 (1)(fxf单调递减 当 7时 ，掌握程度的增长量 (1)(fxf总是下降（2）由题意可知 0.1+15ln 6a=0.85整理得 0.56ae解得.052.13.0,2(1,71由此可知，该学科是乙学科 4 以抽象函数为主线的问题7 / 2411.（2009 年高考数学四川卷）已知函数 ()fx是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有 1ff，则 5()2f的值是 （( )（） （ A.0 B. 2 C.1 D. 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。 （同文12）解析：令 21x，则 0)21()(21)()21( ffff ；令 x，则0)(
13、f由 1()xfxf得 )(1)(xf，所以 0)(25(0)2(135)2(3)(25)( ffffff，故选择 A。12.（2009 年高考数学全国卷）函数 ()fx的定义域为 R，若 (1)fx与(1)fx都是奇函数，则( ) (A) 是偶函数 (B) (fx是奇函数 (C) ()2)fx (D) 3)是奇函数解: (1)fx与 ()f都是奇函数，(1)(),1)()fxffxf，函数 关于点 ,0，及点 ,0对称，函数 ()fx是周期2()4T的周期函数. (4)14fx，3fxfx，即 3)是奇函数。故选 D13.（2009 年高考数学江西卷）已知函数 ()fx是 ,)上的偶函数，若
14、对于0x，都有 (2()fxf） ，且当 0,2时， 2log(1fx） ，则8 / 24(208)(9)ff的值为 ( )A B 1 C 1 D 2答案：C【解析】 12(208)(9)(0)logfff,故选 C.点评：本题融抽象函数、函数的单调性、数列等知识于一体，解题思路是：赋值(化抽象为具体) 作恒等变形逆用函数单调性将函数关系式转化为自变量间的关系式( 数列中 an 与 Sn 的关系)。利用抽象条件，通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函数的性质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再运用相关性质去解决有关问题，是求解抽象函数问题的常规思路。其
15、中合理赋值起关键性的作用。对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加数量的趋势。 5 以三次函数为主线的问题14.(2009 年高考数学山东卷)已知函数 321()fxabx,其中 0a （1） 当 ba,满足什么条件时, f取得极值?（2） 已知 0,且 )(xf在区间 (0,1上单调递增,试用 表示出 的取值范围.解: (1)由已知得 2ab,令 0)(xf,得 210abx,)(xf要取得极值,方程 x必须有解,所以 240b,即 2, 此时方程 2x的根为1abax,224baba,所以 12()(fx 当 0a时,x (-,x1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+)f(x)
16、 0 0 f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数所以 )(x在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.9 / 24当 0a时, x (-,x2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+)f(x) 0 0 f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数所以 )(x在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.综上,当 ba满足 a时 , )(xf取得极值. (2)要使 )(xf在区间 0上单调递增,需使 2()10fxabx在 (,上恒成立.即 1,(,2abx恒成立, 所以 max()2b设 ()g, 221()axg,令 0x得 1a或 x(舍去), 当 1a时, ,当
17、 (0,)时 (0gx, 1()2ax单调增函数;当 1(,xa时 (), ()x单调减函数,所以当 时, ()gx取得最大,最大值为 1()ga.所以 ba当 01a时 , ,此时 ()0gx在区间 (,1恒成立,所以 1()2axg在区间 (,上单调递增,当 1时 最大,最大值为 1(),所以 b综上,当 1a时, ba; 当 01a时, 2ab 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论10 / 24的思想解答问题.
18、15.（2009 年高考数学天津卷） （本小题满分 12 分）设函数 0),(,)1(31)(2mRxmxxf 其 中（）当 时 ， 曲线 ） ）（，在 点 （ ffy处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数 )(xf有三个互不相同的零点 0， 21,x，且 21x。若对任意的 ,21x， 1恒成立，求 m 的取值范围。【答案】 （1）1（2） )(xf在 ),和 ),(内减函数，在),(m内增函数。函数 在 1处取得极大值 )1(mf，且f= 323函数 )(xf在 1处取得极小值 )(mf，且 )(f= 31223【解析】解：当 (,31)( 2/2 fxxfm故时 ，所以曲线
19、 ） ）（，在 点 （)(xfy处的切线斜率为 1. （2）解： 12 ，令 0)(xf，得到 mx1,因为 mm1,0所 以当 x 变化时， )(,xf的变化情况如下表：()1,(m),1(m)(xf+ 0 - 0 +f极小值 极大值)(xf在 )1,m和 ),(内减函数，在 )1,(m内增函数。函数 在 处取得极大值 )1f，且 f= 31223函数 )(xf在 处取得极小值 (，且 )(=11 / 24（3）解：由题设， )(31)31() 2122 xxmxxf 所以方程 122m=0 由两个相异的实根 21,，故 3，且0)(34，解得 )(，舍因为 23,2,211 xxx故所 以
20、若 0)(3)(f则 ，而 0)(1xf，不合题意若 ,21x则对任意的 ,21x有 ,21则 )()(1f 又 )(f，所以函数 )(xf在,21x的最小值为 0，于是对任意的 ,21x， 1)(f恒成立的充要条件是 3)(mf,解得 3m 综上，m 的取值范围是 ),21(【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。16.（2009 年高考数学福建卷）已知函数 321()fxaxb,且 (1)0f (1) 试用含 a的代数式表示 b,并求 的单调区间；（2）令 1,设函数 ()fx在 12,()x处取得
21、极值，记点 M ( 1x, )f)，N( x, ()f)， P( m), ,请仔细观察曲线 ()f在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的 m ( 1x, x 2)，线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t 的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点 Q(n ,f(n), x n1 时, 当 x 变化时， ()fx与 f的变化情况如下表：x (,12)a(,1)(,)()f+ +x单调递增 单调递减 单调递增由此得，函数 ()f的单调增区间为 (,12)a和 (,)，单调减区间为(12,)a。当 时， 12a此时有 ()0fx恒
22、成立，且仅在 1x处 ()0fx，故函数 ()fx的单调增区间为 R当 a时， 同理可得，函数 ()fx的单调增区间为 (,)和(12,)，单调减区间为 (1,2)a 综上：当 a时，函数 ()fx的单调增区间为 (,1)和 (,)，单调减区间为(12,)；当 时，函数 ()fx的单调增区间为 R；当 a时，函数 的单调增区间为 (,1)和 (2,)a，单调减区间为(1,2).()由 得 321()fxx令 2()30fx得 12,3x由（1）得 增区间为 (,)和 ,，单调减区间为 (,)，所以函数13 / 24()fx在处 12,3x取得极值，故 M（ 51,3）N（ ,9） 。观察 的图
23、象，有如下现象：当 m 从-1（不含-1 ）变化到 3 时，线段 MP 的斜率与曲线 ()fx在点 P 处切线的斜率 ()fx之差 Kmp- ()fm的值由正连续变为负。线段 MP 与曲线是否有异于 H，P 的公共点与 Kmp ()fm的 m 正负有着密切的关联；Kmp ()f=0 对应的位置可能是临界点，故推测：满足 Kmp ()f的 m就是所求的 t 最小值，下面给出证明并确定的 t 最小值.曲线 ()fx在点(,)Pmf处的切线斜率 2()3fm；线段 MP 的斜率 Kmp2453当 Kmp ()f=0 时，解得 12或直线 MP 的方程为2454()33mmyx令22()()gxf当
24、m时， 2)x在 (1,上只有一个零点 0x，可判断 ()fx函数在(1,0)上单调递增，在 0,)上单调递减，又 (1)2g，所以 g在2上没有零点，即线段 MP 与曲线 fx没有异于 M，P 的公共点。当 ,3m时，24(0)03mg. 2()0gm所以存在 ,使得 即当 23时 MP 与曲线 ()fx有异于 M,P 的公共点 综上，t 的最小值为 2.（2）类似（1）于中的观察，可得 m 的取值范围为 1,314 / 24解法二：（1）同解法一.（2）由 1a得 321()fxx，令 2()30fx，得12,3x由（1）得的 ()fx单调增区间为 (,1)和 (3,)，单调减区间为 (1
25、,)，所以函数在处取得极值。故 M( 5,3).N( 9)() 直线 MP 的方程为2244.3mmyx由22324531myx得 322(4)40xxm线段 MP 与曲线 f有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数 322()(4)4gxx在 (-1,)上有零点.因为函数 )为三次函数,所以 )g至多有三个零点,两个极值点.又 (10m.因此, (x在 m上有零点等价于 ()gx在 1,)m内恰有一个极大值点和一个极小值点,即 22)36(40x在 内有两不相等的实数根.等价于22236140()()m （ ） 即152,25mm或 解 得又因为 13,所以 m 的取
26、值范围为(2,3)从而满足题设条件的 r 的最小值为 2.点评：以上三题融三次函数、导数、不等式、方程等知识于一体，主要考查导数在三次函数的极值与单调性问题中的应用。新增导数内容后，近几年高考卷中陆续出现考查三次函数的最值、极值、单调性、图象等内容，导数为这类问题的解决提供了新的方法。这类问题虽然难度不大，但具有内容新、背景15 / 24新、方法新等特点。 6 以向量知识为背景的函数问题17.（2009 年高考数学四川卷）设 V是已知平面 M上所有向量的集合，对于映射 :,fVa，记 的象为 ()fa。若映射 :fV满足：对所有ab、及任意实数 ,都有 ()bb，则 f称为平面 M上的线性变换
27、。现有下列命题：设 f是平面 M上的线性变换， aV、 ，则 ()()faf 若 e是平面 上的单位向量，对 ,e设 ，则 是平面 上的线性变换； 对 ,()aVfa设 ，则 f是平面 M上的线性变换； 设 f是平面 M上的线性变换， aV，则对任意实数 k均有 ()(fakf。其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）【答案】【解析】：令 1，则 )()(bfabf故是真命题同理，：令 0,k，则 kf故是真命题： af)(，则有 )()()()bfafbabb 是线性变换，故是真命题：由 eaf)(，则有 ef)(ebfafebab )()( e是单位向量， e0，故是假命题【备考提示】本小
28、题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。点评：本题融向量、函数、导数、含参数的不等式等知识于一体，解题思路是：将向量间的几何(位置) 关系数量化(坐标关系) ，利用导数研究函数的单调性。由16 / 24于向量具有几何表示和代数表示的特点，这就使其成为近几年高考表述函数问题的重要载体。以向量知识为背景的函数问题常常在高考中作为“把关题” ，对此，复习中我们要引起高度重视。7 函数与其他知识网络交汇点问题现实世界中的问题解决往往不只是由单一的知识能解决，而是需要几科或一科内的几个知识综合起来才能解决.考试说明明确要求要注重学科的内在
29、联系和知识的综合，高考命题充分体现了这方面的要求.函数与其它数学知识、其它学科知识的结合，渗透大学的数学知识联系等，这些综合问题，需要扎实掌握各部分的知识，科学架设桥梁，全面分析问题，从而达到解决问题的目的.18.（2009 高考数学陕西卷）设曲线 1*()nyxN在点（1，1）处的切线与 x轴的交点的横坐标为 nx,则 12n 的值为（ ）(A) 1 (B) (C) 1n (D) 1答案:B解析: 对 1*()()n nyxNyx求 导 得 ,令 得在点（1，1）处的切线的斜率 k,在点（1，1）处的切线方程为 (1)()nnk,不妨设 0y,1nnx则 2231.4x , 故选 B.【考点
30、定位】本试题考察了导数的应用，求切线的方程以及错位相消的数学思想。19.若曲线 2fxaInx存在垂直于 y轴的切线，则实数 a的取值范围是 .解析 解析：由题意该函数的定义域 0x，由 12fx。因为存在垂直于 y轴的切线，故此时斜率为 ，问题转化为 范围内导函数12fxa存在零点。解法 1 （图象法）再将之转化为 2gxa与 1hx存在交点。当 0a不符合题意，当 0时，如图 1，数形结合可得显然没有交点，当 如图 2，17 / 24此时正好有一个交点，故有 0a应填 ,或是 |0a。解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程 120ax在 ,内有解，显然可得 21,0ax20.（2009
31、 江苏卷） 设 a为实数，函数 2()()|fxa. (1)若 ()f，求 的取值范围； (2)求 x的最小值； (3)设函数 (),()hfxa，直接写出( 不需给出演算步骤)不等式1的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。（1）若 (0)1f，则 20|11a（2）当 xa时， 2()3,fxx2min(),0,()3faaf当 时， 22(),fa2in,0()()0ffaa18 / 24综上2min,0()3afx（3） ,时， ()1hx得 22310ax，2241(
32、)8aa当 6或 时，0,(,)xa；当 2时，0,得：2233()()0aaxx讨论得：当 26(,)a时，解集为 (,);当 (,)时，解集为2233(,)aa;当 2,a时，解集为2,).21.（ 2009 年 高 考 数 学 广 东 卷 ） 已知二次函数 ()ygx的导函数的图像与直线 yx平行，且 ()ygx在 1处取得极小值 1()m设 f（1）若曲线 (yx上的点 P到点 (0,2)Q的距离的最小值为 2，求 m的值；（2） ()kR如何取值时，函数 yfxk存在零点，并求出零点 解：（1）依题可设 1)()2maxg ( 0a)，则xag2)1() ；又 的图像与直线 2yx平
33、行 2a 1mxg1)(2， 2gxmf， 设 ,oPy，则 202002 )()(| xyxQ 19 / 24mmx 2|2202 当且仅当 20时， 2|PQ取得最小值，即 |PQ取得最小值 2当 m时， )( 解得 12 当 时， 22m 解得（2）由 10yfxkx( x)，得 20kxm *当 1k时，方程 *有一解 2x，函数 yfxk有一零点 2x；当 时，方程 有二解 410m，若 0m， 1k，函数 yfx有两个零点 )1(24kx，即1)(kx；若 0m， ，函数 yfxk有两个零点 )1(24kmx，即1)(kx；当 时，方程 *有一解 410mk, 1m, 函数 yfx
34、k有一零点 x 综上，当 1k时, 函数 yfk有一零点 2x；当 m( 0)，或 1m（ 0）时，函数 yfxk有两个零点 )1(kx；20 / 24当 1km时，函数 yfxk有一零点 mkx1.22.（2008 年高考数学江苏卷第 18 题）设平面直角坐标系 中，设二次函数oy的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为2()()fxbxRC。（1） 求实数 的取值范围；（2） 求圆 的方程；问圆 是否经过某定点（其坐标与 无关）？请证明你Cb的结论解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法（）令 0，得抛物线与 轴交点是（0，b） ；xy令 ，由题意 b0 且 0，解得
35、b1 且 b02fb（）设所求圆的一般方程为 2xyDEF令 0 得 这与 0 是同一个方程，故y20xF2xbD2，F b令 0 得 0，此方程有一个根为 b，代入得出 Eb1x2Ey所以圆 C 的方程为 .2(1)0xy（）圆 C 必过定点，证明如下：假设圆 C 过定点 ，将该点的坐标代入圆 C 的方程，00(,),)yb不 依 赖 于并变形为 （*）20(1xy为使（*）式对所有满足 的 都成立，必须有 ，)b01y结合（*）式得，解得200xy002 1xxyy， ，或， ，经检验知，点 均在圆 C 上，因此圆 C 过定点。(,1)2,8 现实生活中函数的实际问题23.(2009 年高
36、考数学山东卷)两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以21 / 24AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城B 的总影响度为 0.065.（1）将
37、y 表示成 x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离;若不存在，说明理由。解法一:（1）如图,由题意知 ACBC, 2240Cx,224(0)kyxx其中当 时，y=0.065,所以 k=9所以 y 表示成 x 的函数为 2249(0)yxx（2） 22490,423238)18(0)( x,令 0y得418()xx,所以 160,即 x,当 时, 2,即 y所以函数为单调减函数 ,当 4620x时, 4(0)xx,即 所以函数为单调增函数.所以当 1时, 即当 C点到城
38、A 的距离为 410时, 函数 2249(0)yxx有最小值.解法二: （1）同上.（2）设 22,mxnx,则 40, 9y,所以914911()3()(32)006nmyn当且仅当A BC x 22 / 2449nm即 24016时取 ”=”.下面证明函数 9ym在(0,160) 上为减函数 , 在(160,400)上为增函数.设 042402409 m1m29160160所以 121224(0)()904m,所以 1212212()()()0即 12y函数 490ym在(160,400)上为增函数 .所以当 m=160 即 4x时取”=”,函数 y 有最小值,所以弧 上存在一点，当 10
39、时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的23 / 24总影响度最小.【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用 ,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.9 函数与概率的整和脱颖而出24 （2009 年高考湖南模拟）某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（）求 的分布及数学期望；（）记“ 函数 f(x)x 23x1 在区间2， 上单调递增 ”为事件 A，求事件 A 的概率.)解：（
40、I）分别记“ 客人游览甲景点 ”， “客人游览乙景点”， “客人游览丙景点”为事件 A1，A 2，A 3. 由已知 A1，A 2，A 3 相互独立， P（A 1）=0.4，P （A 2）=0.5， P（A 3）=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为 0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为 3，2，1，0，所以 的可能取值为 1，3.P（ =3）=P（A 1A2A3）+ P（ ）= P（A 1）P （A 2）P（A 3） 3A+P（ ）=20.40.50.6=0.24，)()321P（ =1）=10.24=0.76. 所以 的分布列为 E =10.76+30.24=1.48
41、.（）因为 ,491)2()2xf所以函数 上单调递增，要使)33在 区 间上单调递增，当且仅当 从而),2)(在xf .4,2即.760)1(34PAP评注：函数与概率统计的交汇在高考中还是初见端倪，虽然难度不大，但具有内容新、背景新、结构新的特点，预计在今后的高考中将会设计的更加灵活、更能体现知识间的内在联系.高考预测：1 3 P 0.76 0.2424 / 241.高考热点：函数的“两域”、图像与性质、参数讨论、导数与单调性、性质与二次函数、函数与向量、数列、三角函数、解析几何的综合等等。2.考查学生阅读理解领悟新信息的能力近年来，新信息题成为新课标函数改革的一个新的亮点，和应用题一样，
42、它考查了学生阅读、理解能力，提炼数学问题的能力，以及用数学语言表达的能力，要求学生仔细阅读，抓住信息，透彻理解，准确解题.有许多新定义或抽象函数是建立在一定特殊函数的基础上，解决这样的问题可以将熟知的函数作为依托去构思，但解答时不能写特殊函数，应遵循新定义或抽象函数所满足的规律.3.引进探索题与开放题，培养学生研究与创新的能力，拓展考查功能新课标的目标是培养一大批具有创新意识，探索精神的高素质人才.这就增添了许多研究性的课题，提供了拓展学生思维的视野，高考命题体现了在这方面的要求，常见的“ 猜想规律 ”，“是否存在”等均属于探索类型的问题。总之，要强化函数与其它各章的联系，强化函数的应用意识。培养学生的函数观念和函数方法，让学生能从较高的角度审视方程、不等式、向量、数列以及其他与函数相关的问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.
