线性代数概念、性质、定理、公式整理.doc

1、0概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nTArnxxAAAE可 逆 的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 无 关 的 特 征 值 全 不 为 0 只 有 零 解 ， 0总 有 唯 一 解是 正 定 矩 阵 R12,sipnBEAB 是 初 等 阵存 在 阶 矩 阵 使 得 或：全体 维实向量构成的集合 叫做 维向量空间.注 nR()ArnxA不 可 逆 0的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 相 关 是 的 特 征 值 有 非 零 解 ,其 基 础 解 系 即 为 关 于 0的 特 征 向 量注()abrEAnaEbAx 有 非 零 解=- :具 有向 量 组 等 价矩

2、 阵 等 价 ()反 身 性 、 对 称 性 、 传 递 性矩 阵 相 似矩 阵 合 同 关于 ：12,ne称为 的标准基， 中的自然基，单位坐标向量 ；:n:87p教 材 线性无关；12,ne ； ；tr=E任意一个 维向量都可以用 线性表示.n12,ne1行列式的定义 121212121()12 nnnnjn jjjnnaaDa 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若 都是方阵（不必同阶）,则 （拉普拉斯展开式）AB与 =()mnAOABB

3、1上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线： （即：所有取自不同行(1)21122 111 nnnnnnaOaaa 不同列的 个元素的乘积的代数和）范德蒙德行列式： 122112nijjinnnxxx矩阵的定义 由 个数排成的 行 列的表 称为 矩阵.记作： 或m121212nmmnaaA ijmnAamnA伴随矩阵 ， 为 中各个元素的代数余子式.1212*12nTijnnA ijA 逆矩阵的求法:2 ： 1A注 1abdbcdca主 换 位副 变 号 1()()E 初 等 行 变 换 1231213aaa 3211123 aaa 方阵的幂的性质： mnA()mnn

4、A 设 的列向量为 , 的列向量为 ，,mnsB12,nB12,s则 ， 为msAC112212 21, ,sn snnsbbc iAc(,)is12i的解 可由 线性表ixc12212,s sA 12,s 12,n示.即： 的列向量能由 的列向量线性表示， 为系数矩阵.CB同理： 的行向量能由 的行向量线性表示， 为系数矩阵 .BT即： 12112212nnmnmaac 12122122nmmnaac 用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量； 左 行用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量.右 列 两个同阶对角矩阵相乘只用把对

5、角线上的对应元素相乘. 分块矩阵的转置矩阵：TTABCD分块矩阵的逆矩阵： 11 11ABB1ACAOBB11OOC3分块对角阵相乘： ,1122,AB12AB12nA分块对角阵的伴随矩阵： *A*()()mnmnB 矩阵方程的解法( )：设法化成 0AXBXAB(I) 或 (I)E 初 等 行 变 换(I的 解 法 ： 构 造TTX)的 解 法 ： 将 等 式 两 边 转 置 化 为 ， 用 (I)的 方 法 求 出 ， 再 转 置 得 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个

6、数变动） 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 .14p教 材 向量组 中任一向量 都是此向量组的线性组合 .12,ni(1)n 向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.n向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示.12,n i1 维列向量组 线性相关 ；m,()rAn维列向量组 线性无关 .12n 若 线性无关，而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法唯一.12,n 12,n 12,n 矩阵的行向量组的秩 列向量组的秩 矩阵的秩. 行阶

7、梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 .行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线0后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是 时，称为 行最简形矩阵0 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.4 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对 施行一次初等 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘 ；A行 左 A对 施行一次初等 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘 .列 右矩阵的秩 如果矩

8、阵 存在不为零的 阶子式，且任意 阶子式均为零，则称矩阵 的秩为 .记作rr1r()Ar向量组的秩 向量组 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 12,n 12(,n矩阵等价 经过有限次初等变换化为 . 记作：ABAB向量组等价 和 可以相互线性表示. 记作：12,n12,n 1212,nn 矩阵 与 等价 ， 可逆 作为向量组等价,即：秩相BPQ,(),r AB为 同 型 矩 阵等的向量组不一定等价.矩阵 与 作为向量组等价A1212(,)(,)nnrr1212(,)nnr矩阵 与 等价.B 向量组 可由向量组 线性表示 有解12,s12,nAXB12(,)=nr .(,)n

9、sr(,)sr12(,)nr 向量组 可由向量组 线性表示,且 ，则 线性相关.12,s12,ns12,s向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 .s 向量组 可由向量组 线性表示,且 ,则两向量组等价；12,s12,n 12(,)sr12(,)nrp教 材 94,例 0 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 设 是 矩阵,若 ， 的行向量线性无关；Amn()rAm若 ， 的列向量线性无关,即： 线性无关.n12,n 矩阵的秩的性质：5 ()AOr若

10、 1()0AOr若 ()mnrAi(,)()Trp教 材 01,例 5 ()kk 若 (), 0mns rABnABr x 若 若 0的 列 向 量 全 部 是 的 解 ()ri(), 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. ()rBA若 可 逆若 可 逆若 ；()()mnxrBr ABOC 只 有 零 解 在 矩 阵 乘 法 中 有 左 消 去 律若 ()()nsrArB 在 矩 阵 乘 法 中 有 右 消 去 律 . 等价标准型.()r rEOEAO若 与 唯 一 的 等 价 ， 称 为 矩 阵 的 rAB()rmax(),AB(,)()rBp教 材 70 ()OrAB Cr61212 12, 0,

11、 (),Ann AnAxnxAxrAx 当 为 方 阵 时当 为 方 阵 时有 无 穷 多 解 表 示 法 不 唯 一线 性 相 关 有 非 零 解 可 由 线 性 表 示 有 解 有 唯 一 组 解 克 莱 姆 法 则表 示 法 唯 一 线12 7(), 1(n xrAxA 教 材 2 讲 义 8性 无 关 只 有 零 解 不 可 由 线 性 表 示 无 解 ：注Ax有 无 穷 多 解 其 导 出 组 有 非 零 解有 唯 一 解 其 导 出 组 只 有 零 解 线性方程组的矩阵式 向量式 Ax 12nxx1211122212,nmmnnmaabAx 12,jjmj1212(,)nx 7矩阵

12、转置的性质： ()TA()TAB()TkATA()TTAB11()(TA()TTA矩阵可逆的性质： 1111111kk伴随矩阵的性质： 2()n()()nkn*()11()A()kk ()1()10 nrArAn若若若 ABnAkABA（无条件恒成立）E8线性方程组解的性质：121212121212(),3, ,(4), ,5, ,6kkAxAxAxAx 是 的 解 也 是 它 的 解是 的 解 对 任 意 也 是 它 的 解 齐 次 方 程 组 是 的 解 对 任 意 个 常 数 也 是 它 的 解 是 的 解 是 其 导 出 组 的 解 是 的 解是 的 两 个 解 是 其 导 出 组 的

13、 解 121212 12,(7), ,00kk kxA 是 的 解 则 也 是 它 的 解 是 其 导 出 组 的 解是 的 解 则 也 是 的 解是 的 解 设 为 矩阵,若 一定有解，Amn()rAm()r当 时,一定不是唯一解 ,则该向量组线性相关.方 程 个 数 未 知 数 的 个 数向 量 维 数 向 量 个 数是 的上限.()r和 判断 是 的基础解系的条件：12,s Ax 线性无关；12,s 都是 的解；s x .()snrA每 个 解 向 量 中 自 由 未 知 量 的 个 数 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 若 是 的一个解， 是 的一个解 线性无关Ax1,s x1,s

14、 与 同解（ 列向量个数相同）,则：BAB 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 两个齐次线性线性方程组 与 同解 .AxB()ArrB 两个非齐次线性方程组 与 都有解，并且同解 . ()Ar9 矩阵 与 的行向量组等价 齐次方程组 与 同解 （左乘可逆矩阵 ） ；mnAlBAxBPABP10p教 材矩阵 与 的列向量组等价 （右乘可逆矩阵 ）.l QQ 关于公共解的三中处理办法： 把(I)与(II)联立起来求解； 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设 是(I)的基础解系, 是

15、(II)的基础解系，则 (I)与123,45,(II)有公共解 基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即： 1231231425(,)(,)rrc当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设 是(I)的通解， 是(II)的通解，两方程12c23c组有公共解 可由 线性表示. 即：231c2, 1211(,)(,)rr 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。标准正交基 个 维线性无关的向量 ,两两正交,每个向量长度为 1.n向量 与 的内积 12,Tna 12,Tnb 121(,)ni nabab. 记为：

16、与 正 交 (,)0向量 的长度 12,Tna 22211(,)ni naa是单位向量 . 即长度为 的向量.(,)1 内积的性质： 正定性： ,0,()且 对称性： () 双线性： 1212,(,),)()(,(,)cc10的特征矩阵 .AEA的特征多项式 .() 是矩阵 的特征多项式()O的特征方程 . AEA0AxAx (为 非 零 列 向 量 ) 与 线 性 相 关 ， 称为矩阵 的 迹 .12n 1nitr 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的 各元素.n 若 ,则 为 的特征值,且 的基础解系即为属于 的线性无关的特征向量.0AAx0 一定可分解为 = 、 ,从而 的

17、特征值为：()1r122,nnabb212()nAababA, .112Aabatr 23n 0p指 南 358为 各行的公比， 为 各列的公比.注 2,Tn 1,b A 若 的全部特征值 ， 是多项式,则:12,n ()f 若 满足 的任何一个特征值必满足AO()if0 的全部特征值为 ； .()f 12(),()nff 12()nAff 初等矩阵的性质： (,)Eij1()Eik,()Eijk,(,)Tij ()Ti,()Tjik1()ij 1()ki 1()ijk*,(,)Eij*1()Ei*,()Eijk 设 ，对 阶矩阵 规定： 为110()mfxaxax nA110()mfaAaA

18、E11的一个多项式.A 12312,TAmmkkAababEAA 是 的 特 征 值 则 :分 别 有 特 征 值 . 12312, AmmkkabaAbExAx 是 关 于 的 特 征 向 量 则 也 是 关 于 的 特 征 向 量 . 的特征向量不一定是 的特征向量.2,mAA 与 有相同的特征值，但特征向量不一定相同 .T与 相似 （ 为可逆矩阵） 记为：B1PBPAB:与 正交相似 （ 为正交矩阵）AA可以相似对角化 与对角阵 相似. 记为： （称 是 的 相似标准形 ）: 可相似对角化 为 的重数 恰有 个线性无关的特征向量. 这时, 为 的特()iinrEkiiAnPA征向量拼成的

19、矩阵， 为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值.设 为对应于 的线性无关的特征向量,1PA ii则有：.1212121212(,)(,)(,)(,)nnnnnP PAA 12：当 为 的重的特征值时， 可相似对角化 的重数 基础解系的个数.注 i0AAi()nrAx 若 阶矩阵 有 个互异的特征值 可相似对角化.nn 若 可相似对角化,则其非零特征值的个数（重根重复计算） .()r 若 = ，A:k1P 121 1()()() ()nggAPPg 相似矩阵的性质： ,从而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.EABA是 关于 的特征向量, 是 关于 的特征向量.注 x01PxB0 tr 从而

20、 同时可逆或不可逆AB, ()r ； （若 均可逆） ；T:1,AB*B: （ 为整数） ； ，kAB()ff:()fAf ,CDD:前四个都是必要条件.注 数量矩阵只与自己相似. 实对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；注一定有 个线性无关的特征向量.n若 有重的特征值,该特征值 的重数= ；Ai()inrEA13必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；两个实对称矩阵相似 有相同的特征值.正交矩阵 TAE 为

21、正交矩阵 的 个行（列）向量构成 的一组标准正交基.nn: 正交矩阵的性质： ；1TA ；E 正交阵的行列式等于 1 或-1； 是正交阵,则 ， 也是正交阵；ATA 两个正交阵之积仍是正交阵； 的行（列）向量都是单位正交向量组.二次型 ，即 为对称矩阵，121(,)nTnijifxxAax ijjiaA12(,)Tnxx与 合同 . 记作： （ ）ABTCBB:,C为 实 对 称 矩 阵 为 可 逆 矩 阵正惯性指数 二次型的规范形中正项项数 负惯性指数 二次型的规范形中负项项数p rp符号差 ( 为二次型的秩)2pr 两个矩阵合同 它们有相同的正负惯性指数 他们的秩与正惯性指数分别相等. 两

22、个矩阵合同的充分条件是： AB: 两个矩阵合同的必要条件是： ()r 经过 化为 标准形 .12(,)Tnfxx 正 交 变 换 合 同 变 换可 逆 线 性 变 换 xCy21nifdy 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由 唯一确定的.()rA正 惯 性 指 数 负 惯 性 指 数 当标准形中的系数 为-1 或 0 或 1 时,称为二次型的 规范形 .id 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.14 惯性定理：任一实对称矩阵 与唯一对角阵 合同.A110 用正交变换化二次型为标准形: 求出 的特征值、特征向量；A 对 个特征向量正交规范化

23、；n 构造 （正交矩阵）,作变换 ,则CxCy新的二次型为 ,1 12221() TTTTnndyyAyYAyd 21nifdy的主对角上的元素 即为 的特征值.id施密特正交规范化 线性无关,123,121233231(,),(,)()正 交 化单位化： 123技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量. 例如： 取 ， .123x01 21正定二次型 不全为零， .12,nx 12(,)nf15正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. 为正定二次型 （之一成立）：()TfxA ， ；Tx0 的特征值全大于 ； 的正惯性指数为 ；fn 的所有顺序主子式全大于 ；A0 与 合同，即存在可逆矩阵 使得 ；ECTAE 存在可逆矩阵 ，使得 ；PTA 存在正交矩阵 ，使得 （ 大于 ）.121T n i0 合同变换不改变二次型的正定性. 为正定矩阵 ； .Aia0A 为正定矩阵 也是正定矩阵.1,T 与 合同，若 为正定矩阵 为正定矩阵BB 为正定矩阵 为正定矩阵，但 不一定为正定矩阵 .,AA,A