1、2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,第二章 2.4 平面向量的数量积,学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 平面向量数量积的坐标表示,设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量. 思考1 ii，jj，ij分别是多少？,答案 ii11cos 01，jj11cos 01，ij0.,思考2 取i，j为坐标平面内的一组基底，设a(x1
2、，y1)，b(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算ab.,答案 ax1iy1j，bx2iy2j， ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y2j2x1x2y1y2.,思考3 若ab，则a，b坐标间有何关系？,答案 abab0x1x2y1y20.,梳理 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.,x1x2y1y2,abx1x2y1y20,知识点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式,思考1 若a(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示.,答案 axiyj，x，yR， a2(xiyj)2(xi)22xy ij(yj)2 x2i22xy
3、 ijy2j2. 又i21，j21，ij0， a2x2y2，|a|2x2y2，,(x2，y2)(x1，y1) (x2x1，y2y1)，,梳理,知识点三 平面向量夹角的坐标表示,思考 设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？,1.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.( ) 2.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.( ) 3.若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是锐角. ( ),思考辨析 判断正误,答案,提示,提示 当两向量同向共线时，cos 10，但夹角0，不是
4、锐角.,题型探究,类型一 数量积的坐标运算,例1 (1)已知a(2，1)，b(1，1)，则(a2b)(a3b)等于 A.10 B.10 C.3 D.3,答案,解析,解析 a2b(4，3)，a3b(1,2)，所以(a2b)(a3b)4(1)(3)210.,答案,解析,解析 以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.,反思与感悟 数量积坐标运算的技巧 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系： |a|2aa； (ab)(ab)|a|2|b|2； (ab)2|a|22ab|b|2. (2)在平面几何图形中求数量积，若几何
5、图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积.,跟踪训练1 向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a等于 A.1 B.0 C.1 D.2,解析 因为a(1，1)，b(1,2)，所以2ab2(1，1)(1,2)(1,0)，则(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选C.,答案,解析,类型二 平面向量的模,解答,例2 已知平面向量a(3,5)，b(2,1). (1)求a2b及其模的大小；,解 a(3,5)，b(2,1)， a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)，,(2)若ca(ab)b，求|c|.,解 ab651， cab(1,6)，,反思与感悟 求向量a(x
6、，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2|a|2x2y2，求模时，勿忘记开方.,答案,解析,解析 a(2,1)，a25，,即a22abb250， 5210b250，b225，|b|5.,类型三 平面向量的夹角问题,答案,解析,反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.,(3)代入夹角公式求cos ，并根据的范围确定的值.,解答,解 a(1，1)，b(，1)，,跟踪训练3 已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围.,又a，b的夹角为钝角，,1且1. 的取值范围是
7、(，1)(1,1).,类型四 平面向量的垂直问题,解答,反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论.,跟踪训练4 已知a(3,2)，b(1,0)，若向量ab与a2b垂直，则实数的值为,答案,解析,解析 由向量ab与a2b垂直， 得(ab)(a2b)0. 因为a(3,2)，b(1,0)， 所以(31,2)(1,2)0，,达标检测,1.(2018届台州调研)已知向量a(2，1)，b(1，3)，则向量2ab与a的夹角为 A.135 B.60 C.45 D.30,答案,1,2,3,4,5,解析,1,2,3,4,5,
8、解析 由题意可得2ab2(2,1)(1,3)(3，1)，,且(2ab)a(3，1)(2,1)615， 设所求向量的夹角为，由题意可得,又0，180， 则向量2ab与a的夹角为45.,1,2,3,4,5,答案,解析,2.若向量a(x,2)，b(1,3)，ab3，则x等于,解析 abx63，故x3.,答案,1,2,3,4,解析,5,3.已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则等于 A.4 B.3 C.2 D.1,解析 因为mn(23,3)，mn(1，1)， 由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23,3)(1，1) 260，解得3.,答案,解析,1,2,3,4,5,则|2ab
9、|2.,2,1,2,3,4,5,5.已知a(4,3)，b(1,2). (1)求a与b的夹角的余弦值；,解答,解 ab4(1)322，,1,2,3,4,5,(2)若(ab)(2ab)，求实数的值.,解答,解 ab(4，32)，2ab(7,8)， (ab)(2ab)， (ab)(2ab)7(4)8(32)0，,规律与方法,1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.,3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10，abx1x2y1y20. 4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.,
