1、数 学 实 验,用计算机解决和发现数学问题数值模拟,符号计算,符号推理,第五讲 矩阵计算及其应用,【主要内容】矩阵计算的基本函数和矩阵应用的数学试验. 【主要目的】学会用Mathematic软件完成矩阵的计算,了解矩阵应用问题的解决方法.,矩阵生成的有关函数,1. Table可以生成多层表,一层表是行向量(行矩阵),二层表是矩阵. Tablei2,i,101,4,9,16,25,36,49,64,81,100 TableFormTableBinomiali,j,i,0,8,j,0,8,矩阵生成的有关函数,2. Array具有和Table相似的用途. Arraya,3a1,a2,a3Arraya
2、,2,3,0a0,0,a0,1,a0,2,a1,0,a1,1,a1,2 Arraya,2,3 a1,1,a1,2,a1,3,a2,1,a2,2,a2,3,矩阵生成的有关函数,3. DiagonalMatrix 生成对角矩阵 L1=1,-2,3,4;A=DiagonalMatrixL11,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,3,0,0,0,0,44. IdentityMatrix31,0,0,0,1,0,0,0,1,矩阵生成的有关函数,5. RandomSquare函数可以自动生成一个随机方阵.UnprotectRandomSquare;ClearRandomSquare;RandomSqua
3、redim_Integer:3,max_:5,detmax_Integer:3,del_List:0:=Modulet,tt,i,j,tt=Tablem,m,-detmax,detmaxComplementdel; t=TableRandomInteger,-max,max,dim,dim; WhileFreeQtt,Dett,i=RandomInteger,1,dim; j=RandomInteger,1,dim; ti,j=RandomInteger,-max,max; t/;Positivedim RandomSquare3 5,4,2,2,5,4,3,-2,-3,矩阵生成的有关函数,6
4、. LinearAlgebra扩展程序中包括:MatrixManipulation,Orthogonalization,Tridiagonal等.20,ColorFunction-(GrayLevel1-#&), ColorFunctionScaling-True,矩阵生成的有关函数,矩阵运算,1. 矩阵加法 (MatrixForm有三种使用方法)A=5,-2,1,3,4,-1;B=1,x,a,-1;MatrixFormB,MatrixFormB+IdentityMatrix2x+A/MatrixForm,矩阵运算,2. 数和矩阵的乘法、矩阵与矩阵的的乘法 M=Arraya,2,2;k M/M
5、atrixFormA=1,2,3,4;A+M/MatrixFormA*M/MatrixForm,A5/MatrixForm,A.M/MatrixForm,MatrixPowerA,5/MatrixFormA.A.A.A.A/MatrixForm,矩阵运算,3. 矩阵的转置和求逆M=a,b,c,d; TransposeM/MatrixFormInverseM/MatrixForm,矩阵运算,4. 初等行变换化矩阵为最简阶梯形,矩阵运算,5. 方阵的特征值与特征向量 Eigenvalues2.3, 4.5, 6.7, -1.2 6.31303,-5.21303Eigenvectors2.3, 4.
6、5, 6.7, -1.2 0.746335,0.66557,-0.513839,0.857886Eigenvalues23/10,45/10,67/10,-12/10,数学试验 1 循环矩阵的性质,1. 写出循环矩阵 按Shift+Ctrl+C,调出矩阵模板,数学试验 1 循环矩阵的性质,2. 循环矩阵的逆矩阵还是循环矩阵吗？InverseA/MatrixForm结论:可逆循环矩阵是循环矩阵,数学试验 1 循环矩阵的性质,3. 循环矩阵的方幂仍是循环矩阵吗？MatrixPowerA,2/MatrixForm结论:循环矩阵的方幂是循环矩阵,数学试验 1 循环矩阵的性质,作业:1. 随机生成可逆循
7、环矩阵,求逆.(Y)2. 随机生成两个循环矩阵,求其和.(Y)3. 随机生成两个循环矩阵,求其乘积.(N)4. 循环矩阵的和是循环矩阵吗?循环矩阵的积是循环矩阵吗?你还能发现和研究循环矩阵其它的性质吗 ?5. 能证明你所得到的结论吗?(先证幂,再证逆),数学试验 2 航线连接问题,1. 一个航空公司为8个城市服务的航空路线如下图,数学试验 2 航线连接问题,从城市i到城市j有直接的航线，则(i,j)元为1，否则为0（邻接矩阵）,得到下面的矩阵,数学试验 2 航线连接问题,2. 用恰好两个航班有可能从C2到达C4吗？3. 用恰好两个航班有可能从C5到达C1吗？4. 求A2 , 并说明它与上面的结
8、论有什么联系？MatrixPowerA,2/MatrixForm,数学试验 2 航线连接问题,5. 求 A+A2+ A3, 并说明A+A2+ A3的意义 (A+MatrixPowerA,2+MatrixPowerA,3)/MatrixForm,数学试验 3 生物群体模型,问题：令Fi是在时刻某地区狐狸的数目，Ci是同一地区鸡的数目.假设在没有狐狸骚扰的情况下，鸡的出生率高于死亡率，使得Ci+1 = 1.2Ci .而在没有鸡供狐狸食用的情况下，狐狸的死亡率超过出生率，使得Fi+1 = 0.6Fi .,数学试验 3 生物群体模型,实际情况为狐狸和鸡的数目是相互制约的. 我们假定对i=1,2,Fi
9、= 0.6Fi-1+0.5Ci-1.另一方面，由于狐狸的侵袭，鸡的群体必有损耗，假定狐狸对鸡的捕杀率为k，于是Ci = 1.2Ci-1-kFi-1.,数学试验 3 生物群体模型,令 从而 F0和C0为开始观察时狐狸和鸡的数目.假定F0=100,C0=1000,数学试验 3 生物群体模型,k =0.1的情形n=99;A=3/5,1/2,-1/10,6/5;a=Transpose100,1000;Fori=1,in+1,PrintIntegerPartMatrixPowerA,i.a;i+;,数学试验 3 生物群体模型,560,1190 931,1372 1244,1553 1523,1739 1
10、783,1935 2037,21432294,2368 2561,2612 2843,28793145,3170 3472,3490 3829,38414218,4226 4644,4650 5111,51165625,5628 6189,6191 6809,68107490,7491 8240,8241 9064,90659971,9971 10968,1096812065,12065,数学试验 3 生物群体模型,13272,13272 14599,14599 16059,1605917665,17665 19432,19432 21375,2137523513,23513 25864,25
11、864 28450,2845031295,31295 34425,34425 37868,3786841654,41654 45820,45820 50402,5040255442,55442 60986,60986 67085,6708573794,73794 81173,81173 89290,8929098219,98219 108041,108041 118846,118846 130730,130730 143803,143803 158184,158184 174002,174002 191402,191402 210543,210543 231597,231597,数学试验 3
12、生物群体模型,254757,254757 280232,280232 308256,308256 339081,339081372990,372990 410289,410289451317,451317 496449,496449546094,546094 600704,600704660774,660774 726852,726852 799537,799537 879490,879490 967440,967440 1064184,1064184 1170602,1170602 1287662,1287662 1416428,1416428 1558071,1558071 1713879
13、,1713879 1885266,18852662073793,2073793 2281172,2281172,数学试验 3 生物群体模型,2509290,2509290 2760219,27602193036241,3036241 3339865,3339865 3673851,3673851 4041237,4041237 4445360,4445360 4889896,4889896 5378886,5378886 5916775,5916775 6508452,6508452 7159297,7159297 7875227,7875227 8662750,8662750 9529025
14、,9529025 10481928,10481928 11530120,11530120 12683133,12683133 13951446,13951446 15346591,15346591,数学试验 3 生物群体模型,k=0.18的情形n=104;A=3/5,1/2,-9/50,6/5;a=Transpose100,1000;Fori=1,i26 ,261,17,0,9,数学试验 4 加密、解密与破译,(3) 破 译X=O,J,W,P,I,S,W,A,Z,U,X,A,U,U,I,S,E,A,B,A,U,C,R,S,I,P,L,B,H,A,A,M,M,L,P,J,J,O,T,E,N,H/
15、.A-1,a-1,B-2,b-2,C-3,c-3,D-4,d-4,E-5,e-5,F-6,f-6,G-7,g-7,H-8,h-8,I-9,i-9,J-10,j-10,K-11,k-11,L-12,l-12,M-13,m-13,N-14,n-14,O-15,o-15,P-16,p-16,Q-17,q-17,R-18,r-18,S-19,s-19,T-20,t-20,U-21,u-21,V-22,v-22,W-23,w-23,X-24,x-24,Y-25,y-25,Z-0,z-0,数学试验 4 加密、解密与破译,15,10,23,16,9,19,23,1,0,21,24,1,21,21,9,19,
16、5,1,2,1,21,3,18,19,9,16,12,2,8,1,1,13,13,12,16,10,10,15,20,5,14,8求密文ClearY;Y=Tablef,i,2,j,LengthX/2;Fori=1,iLengthX/2+1,Y1,i=X2i-1;i+;Fori=1,ia,2-b,3-c,4-d,5-e,6-f,7-g,8-h,9-i,10-j,11-k,12-l,13-m,14-n,15-o,16-p,17-q,18-r,19-s,20-t,21-u,22-v,23-w,24-x,25-y,0-zc,l,v,n,t,o,n,v,s,g,o,v,n,g,t,o,v,v,s,v,t
17、,a,c,o,u,n,t,r,y,v,n,m,v,d,d,l,e,e,a,s,t,t,数学试验 4 加密、解密与破译,由于26不是素数,有时候解是不惟一的,比如2x=4 Mod26有两个解x=2, x=15.因此只能基本确定有意义的词.c,l,v,n,t,o,n,v,s,g,o,v,n,g,t,o,v,v,s,v,t,a,c,o,u,n,t,r,y,v,n,m,v,d,d,l,e,e,a,s,t,t明文：Clinton is going to visit a country in Middle East作业:对加密所列举的例子用软件实现.,数学实验,参考教材1. 同济大学数学教研室编，线性代数
18、（第三版），高等教育出版社2. Elias Deeba & Ananda Gunawardena, Interactive Linear Algebra with MAPLE V, Springer Verlag New York, Inc., 1988 (with Chinese version)3. Charles G.Cullen, Linear Algebra with Applications, Scott. Foresmann and Company, 19884. 江声远.线性代数的应用.江西高校出版社,19975. 张韵华.符号计算系统Mathematica教程.科学出版社,2001,The End !,Thanks !,
