1、数学物理方程模拟试题一、填空题（3 分 10=30 分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ） ，说明边界上的约束情况的条件叫（ ） ，二者统称为 （ ）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） .4.边界条件 funS)(是第 （ ）类边界条件，其中 S为边界.5.设函数 ,tx的傅立叶变换式为 ),(tU，则方程 22xuat的傅立叶变换为 （ ） .6.由贝塞尔函数的递推公式有 )(0xJd（ ） .7.根据勒让德多项式的表达式有 )(3120P= （ ）.8.计算积分 dxP21)(（ ） .9.勒让德多项式 1的微分表达式为
2、（ ） .10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .二、试用分离变量法求以下定解问题（30 分）：1.30,3,00,30,2xtuxtxutt2.xtxtut xx2,0,0,4,0423. 20,8,00,2,1620 xtutxxutt三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10 分） 0,2sin,cos022 tt uxu txa四、用积分变换法求解下列定解问题（10 分）：,10,02yxuyu五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10 分）： )(1)()(002 xJxJ六、在半径为 1 的球内求调和函数 u，使它在球面上满足 21cosru，即所提问题归结为以下定解
3、问题（10 分）: .0,12cos3 ,0,1,0)(sinsi)(122 ru rr(本题的 只与 ,有关，与 无关)数学物理方程模拟试题参考答案一、 填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2. )(22zuyxatu3. 01)1.4. 三.5. Uadt22.6. )(1xJ.7. .8. 5.9. )1(2xd.10. 2020)()(lnyu.二、试用分离变量法求以下定解问题1.解 令 ,tTxXt，代入原方程中得到两个常微分方程：)()(2atT， )( xX，由边界条件得到 0)3(X，对 的情况讨论，只有当 0时才有非零解，令 2，得到 23n为特征值，特征函数 3sin
4、)(Bxn，再解 )(t，得到 si3cos)(; tDtnCtTnn，于是,)i2,1 xxunn再由初始条件得到0,1(83si230 nxdC，所以原定解问题的解为3si)2co)(),(11 xttxunn2. 解 令 ,tTxXt，代入原方程中得到两个常微分方程：0)(tT， 0)( ，由边界条件得到 0)4(X，对 的情况讨论，只有当时才有非零解，令 2，得到 24n为特征值，特征函数 4sin)(Bxn，再解)(t，得到 16;)(tnneCt，于是 ,si(),(161xeCtxutn再由初始条件得到140si2nnxdC，所以原定解问题的解为 ,4sin)1(6),(1612
5、xentutn3.解 由于边界条件和自由项均与 t 无关，令 ),(,xwtvtx，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。因此 21222 )(16)(416)(4 cxxwxxwvt ，再由边界条件有 8)(,0)(w，于是 0,821c， 82.再求定解问题 20,),( ,0,0,322 xtvxwtxtvt用分离变量法求以上定解问题的解为,sinco)1(216),( 31 xtnxv nn 故 ,2si)()28, 31 txtu三.解令 (),(xwtv，代入原方程中，将方程齐次化，因此 xawxaxatv cos1)(0cos)(cos 2222 ，再求定解问题 ,0),(c
6、os12sin,2022 tt vxwaxttv由达朗贝尔公式得到以上问题的解为txatx atxatxacos1cosin 0)cos(1)(2in)(1),(2 2故.s1),( 2xatu四.解 对 y 取拉普拉斯变换 ),(),(pUyuL，对方程和边界条件同时对 y 取拉普拉斯变换得到pUpdxx1,120，解这个微分方程得到 px12，再取拉普拉斯逆变换有),(u所以原问题的解为 ),(yxu.五.证明 由公式 )(1xJJdnn有 )()()(1 xJxnJn，令 有 )()(21 xxJ，所以 12 ，又 )()(,100 xJ，所以 002J.六解 由分离变量法，令 )(),(rRu，得到 0)(cos),(nnPrCru，由边界条件有 01 cos12cos3nr PCu，令 xs， )()()(6)( 21Pcxxx ， )13(22610xc，4,021，故 22coss34, rrru
