1、2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32习题二2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为 的物体，1m另一边穿在质量为 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑2m动今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度 下滑，求 ， 相对于地面的加速度、绳的张力及柱a12体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为 ，其对于1a则为牵连加速度，又知 对绳子的相对加速度为 ，故 对2m2m2m地加速度，由图(b)可知，为a12又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 在数值上等于f绳的张力
2、 ，由牛顿定律，有T11amTg22联立、式，得2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32 211212)()magTfaag讨论 (1)若 ，则 表示柱体与绳之间无相对滑动0a21a(2)若 ，则 ，表示柱体与绳之间无任何作用力，此g2f时 , 均作自由落体运动1m题 2-1 图2-2 一个质量为 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以P 初速度 运动， 的方向与斜面底边的水平线 平行，如图所0v0v AB示，求这质点的运动轨道解: 物体置于斜面上受到重力 ，斜面支持力 .建立坐标：mgN取 方向为 轴，平行斜面与 轴垂直方向为 轴.如图 2-2.0vXXY
3、题 2-2 图方向： X0xFtvx0方向： Yyymagsin时 0t v2sin1tgy由、式消去 ，得t2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32 220sin1xgvy2-3 质量为16 kg 的质点在 平面内运动，受一恒力作用，O力的分量为 6 N， -7 N，当 0时， 0， -2 xfyftyxxvms-1， 0求 当 2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速yvt度解： 2sm8316fax27fy(1) 20 1sm87216453dtavyyxx于是质点在 时的速度 s2 145jiv(2) m874134)167(2)2(220ji jijt
4、attryx2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 ( 为kv常数)作用， =0时质点的速度为 ，证明(1) 时刻的速度为t 0vt ；(2) 由0到 的时间内经过的距离为vtmke)(0t( )1- ；(3)停止运动前经过的距离为 ；(4)xktmke)( )(0kmv证明当 时速度减至 的 ，式中 m为质点的质量t0ve1答: (1) tvkad2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32分离变量，得 mtkvd即 vtk0dmktevlnl0 tmkev0(2) t tt kmkevx0 )1(d(3)质点停止运动时速度为零，即 t，故有 00
5、dkvtevxmk(4)当 t= 时，其速度为kmevevkm0100即速度减至 的 .0ve12-5 升降机内有两物体，质量分别为 ， ，且 2 用细12m1绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速 g上升时，求：(1) 和 相对a212升降机的加速度(2)在地面上观察 ， 的加速度各为多少?1m2解: 分别以 , 为研究对象，其受力图如图(b)所示1m2(1)设 相对滑轮(即升降机)的加速度为 ，则 对地加速度2 a2m；因绳不可伸长，故 对滑轮的加速度亦为 ，又 在a2 1ma1水平方向上没有受牵连运动的影响，所以 在水平方向对地加12、3、7、9、
6、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32速度亦为 ，由牛顿定律，有a )(22amTg1题 2-5 图联立，解得 方向向下ga(2) 对地加速度为2m方向向上a在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即1牵相绝 gga254221 ，左偏上arctno6.rt2-6一质量为 的质点以与地的仰角 =30的初速 从地面抛出，m0v若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量解: 依题意作出示意图如题 2-6 图题 2-6 图2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相
7、切斜向下,而抛物线具有对 轴对称性，故末速度与 轴夹角亦为 ，则yxo30动量的增量为 0vmp由矢量图知，动量增量大小为 ，方向竖直向下2-7 一质量为 的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面m上发生弹性碰撞并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?解: 由题知，小球落地时间为 因小球为平抛运动，故小s5.0球落地的瞬时向下的速度大小为 ，小球上跳速度的gtv.1大小亦为 设向上为 轴正向，则动量的增量gv5.02y方向竖直向上，12vmp大小 mgvp)(12碰撞过程
8、中动量不守恒这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒2-8 作用在质量为10 kg的物体上的力为 N，式中 的itF)210(t单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量(2)为了使这力的冲量为200 Ns，该力应在这2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度ms-1的物体,回答这两个问题j6解: (1)若物体原来静止，则,沿 轴正向，ititFp 10401 smkg56d)21(d xipIv11s6
9、.若物体原来具有 初速，则6s于是tt FvmFvmp0000 d)d(, ,tpp012同理， ,2v12I这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 t ttI0210d)2(亦即 0解得 ，( 舍去)s10ts2t2-9 一质量为 的质点在 平面上运动，其位置矢量为mxOyjtbitarsnco求质点的动量及 0 到 时间内质点所受的合力的冲量t2t和质点动量的改变量2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32解: 质
10、点的动量为 )cossin(jtbtamvp将 和 分别代入上式，得0t2t, ,jb1ip2则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 )(12jbiamI 2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为 ，当子弹在枪筒内被10sv加速时，它所受的合力为 F =( )N( 为常数)，其中 以t, t秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量(3)求子弹的质量解: (1)由题意，子弹到枪口时，有,得0)(btaFbat(2)子弹所受的冲量 t ttI021d)(将 代入，得batbaI2(3)由动量定理可求得子弹的质量 020bvaIm2-11 一
11、炮弹质量为 ，以速率 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为 ，且一块的T2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32质量为另一块质量的 倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率k分别为+ , -vmkT2vk2证明: 设一块为 ，则另一块为 ，12及2k1于是得 1,21km又设 的速度为 , 的速度为 ，则有1m1v2m2v211mT21vv联立、解得12)(kvv将代入，并整理得 21)(vkmT于是有 kmT1将其代入式，有 kTv222、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32又，题述爆炸后，两弹片
12、仍沿原方向飞行，故只能取 kmTvkv2,21证毕2-12 设 (1) 当一质点从原点运动到N67jiF合时，求 所作的功(2)如果质点到 处时需m143kjirFr0.6s，试求平均功率(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化解: (1)由题知， 为恒力，合F )1643()67(kjijirA合J5241(2) w6.0tP(3)由动能定理， J5AEk2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同解: 以木板上界面为坐标原点，向内为 坐标正向，如题
13、 2-13y图，则铁钉所受阻力为题 2-13 图2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32 kyf第一锤外力的功为 1Ass kyfyf102dd式中 是铁锤作用于钉上的力， 是木板作用于钉上的力，在f f时， 0dtf设第二锤外力的功为 ，则同理，有2A212dykyk由题意，有2)1(2kmvA即 2ky所以， 于是钉子第二次能进入的深度为 cm41.0212y2-14 设已知一质点(质量为 )在其保守力场中位矢为 点的势r能为 , 试求质点所受保守力的大小和方向nPrkE/)解: 1d)(nrkErF方向与位矢 的方向相反，即指向力心r2-15 一根劲度系
14、数为 的轻弹簧 的下端，挂一根劲度系数为1kA的轻弹簧 ， 的下端2kB2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32一重物 ， 的质量为 ，如题2-15图求这一系统静止时两弹CM簧的伸长量之比和弹性势能之比解: 弹簧 及重物 受力如题 2-15 图所示平衡时，有BA、 C题 2-15 图 MgFBA又 1xkA2xkB所以静止时两弹簧伸长量之比为 12kx弹性势能之比为 12212kxEp2-16 (1)试计算月球和地球对 物体的引力相抵消的一点 ，距mP月球表面的距离是多少?地球质量5.9810 24 kg，地球中心到月球中心的距离3.8410 8m，月球质量7
15、.3510 22kg，月球半径2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、321.74106m(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在 点的势能为多少?P解: (1)设在距月球中心为 处 ，由万有引力定律，有r地 引月 引 F22rRmMG地月经整理，得 r月地 月= 2241035.71098.5.8104.m6则 点处至月球表面的距离为P 106.3)74.1328( 7月rh(2)质量为 的物体在 点的引力势能为kg1PrRMGrEP地月 7241721 1083.9506.83.5067. J2.62-17 由水平桌面、光滑铅直
16、杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为 和 的滑块组成如题2-17图所示装置，1m2弹簧的劲度系数为 ，自然长度等于水平距离 ， 与桌面间k BC2m的摩擦系数为 ，最初 静止于 点， ，绳已拉直，1Ah现令滑块落下 ,求它下落到 处时的速率1mB2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32解: 取 点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由B功能原理，有 )(21)(212lkghmvghm式中 为弹簧在 点时比原长的伸长量，则lABCl)1(联立上述两式，得 21212mkhgv题 2-17 图2-18 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初
17、速度 3ms -0v1从斜面 点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达 点后压缩A B弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 37sin21mgvkxsfr 21ikxfr2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32式中 ， ，再代入有关数据，解得m52.084s2.0x-1mN390k题 2-18 图再次运用功能原理，求木块弹回的高度 h2o137sinkxmgfr代入有关数据，得 ,4.1s则木块弹回高度 84.037sinoh题 2-1
18、9 图2-19 质量为 的大木块具有半径为 的四分之一弧形槽，如MR题2-19图所示质量为 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木m块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度解: 从 上下滑的过程中，机械能守恒，以 ， ，地球为mMmM系统，以最低点为重力势能零点，则有 221VmvgR又下滑过程，动量守恒，以 , 为系统则在 脱离 瞬间，水Mm平方向有2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32 0MVmv联立，以上两式，得 gRv22-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直
19、证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有 221201mvv即 2120v题 2-20 图(a) 题 2-20 图(b)又碰撞过程中，动量守恒，即有 210vmv亦即 210v由可作出矢量三角形如图(b)，又由式可知三矢量之间满足勾股定理，且以 为斜边，故知 与 是互相垂直的0v1v22-21 一质量为 的质点位于( )处，速度为 , 质m,yxjviyx点受到一个沿 负方向的力 的作用，求相对于坐标原点的角动xf2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32量以及作用于质点上的力的力矩解: 由题知，质点的位矢为 jyixr1作用在质点上的力为 if所以，质点对原点的
20、角动量为 vmrL0)()(1jiiyxyxkvx1作用在质点上的力的力矩为 kfyifjyixfrM110 )(2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆它离太阳最近距离为 8.7510 10m 时的速率是 5.4610 4ms -1，它离1r 1v太阳最远时的速率是 9.0810 2ms-1 这时它离太阳的距2v离 多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)2r解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有21mvr 106.508.947522121 vr2-23 物体质量为3kg， =0时位于 , ，如一t
21、ir1sjiv2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32恒力 作用在物体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)N5jf相对 轴角动量的变化z解: (1) 301smkg15djtjtfp(2)解(一) 7340tvxjatvy 5.23620 即 ,ir1i.210xv3560atvy即 ,ji1jiv12 kmrL7)6(341 jijiv 5.45.7(22 121sg.8k解(二) dtzM tttFrL00d)(d30 12smkg5.8d)4(553162tkji题 2-24 图2-24 平板中央开一小孔，质量为 的小球用细线系住，细线穿m过小孔后
22、挂一质量为 的重物小球作匀速圆周运动，当半径1M2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32为 时重物达到平衡今在 的下方再挂一质量为 的物体，0r 1M2M如题2-24图试问这时小球作匀速圆周运动的角速度 和半径为多少?r解: 在只挂重物时 ，小球作圆周运动的向心力为 ，即1 g1201mrgM挂上 后，则有2M221)(rmg重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒即 vr022联立、得 0212132101010)(rMgmrrg2-25 飞轮的质量 60kg，半径 0.25m，绕其水平中心轴R转动，转速为900revmin -1现利用一制动的闸杆，在
23、闸杆O的一端加一竖直方向的制动力 ，可使飞轮减速已知闸杆的F尺寸如题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 =0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算试求：2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32(1)设 100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时F间里飞轮转了几转?(2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力 ?F解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)图中 、N是正压力， 、 是摩擦力， 和 是杆在 点转轴处所受NrFxFyA支承力， 是轮的重力， 是轮在 轴处所受支承力RPO题 2-25 图（a）题 2-25 图(b)杆处于静止状
24、态，所以对 点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不A计，则有 FlNllF121210)( 对飞轮，按转动定律有 ，式中负号表示 与角速度IRr/方向相反 NFrN2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32 FlNFr12又 ,2mRI FRlIr12)(以 等代入上式，得N10F 2srad340150.26)7(4.0由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 s06.74690t这段时间内飞轮的角位移为 rad21.53 )49(3021496020t可知在这段时间里，飞轮转了 转1.53(2) ，要求飞轮转速在 内减少一半，可知10sra692ts200r
25、ad152tt用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为 NlmRF172)75.0.(4.0216212-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 转动设大小圆柱体的半径分别为 和 ，质量分别为O Rr2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32和 绕在两柱体上的细绳分别与物体 和 相连， 和Mm1m21则挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示设 0.20m, 2 R0.10m， 4 kg， 10 kg， 2 kg，且开始时 ，rM1 1m离地均为 2m求：2h(1)柱体转动时的角加速度；(2)两侧细绳的张力解: 设 , 和 分别为 , 和柱
26、体的加速度及角加速度，方1a21m2向如图(如图 b)题 2-26(a)图 题 2-26(b)图(1) , 和柱体的运动方程如下：1m222amgT11IrR2式中 aT 121,而 221mrMRI由上式求得2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、322 22221srad13.6 8.91001.40. grmRI(2)由式 8.20.913.6022 gmrTN由式 1.7.8.911 R2-27 计算题2-27图所示系统中物体的加速度设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为 ，半径为 ，在绳与轮缘的摩擦力Mr作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设50kg ，
27、 200 kg,M15 kg, 0.1 m1m2 r解: 分别以 , 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示对 ,1m 1m运用牛顿定律，有 2 aTg22m1对滑轮运用转动定律，有 )2(2Mrr又， a联立以上 4 个方程，得 221 sm6.721508.9Mmga2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32题 2-27(a)图 题 2-27(b)图题 2-28 图2-28 如题2-28图所示，一匀质细杆质量为 ，长为 ，可绕过ml一端 的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下求：O(1)初始时刻的角加速度；(2)杆转过 角时的角速度.解: (1)由转动定
28、律，有 )31(22mlg lg3(2)由机械能守恒定律，有 2)31(sin2llg lgsin2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32题 2-29 图2-29 如题2-29图所示，质量为 ，长为 的均匀直棒，可绕垂Ml直于棒一端的水平轴 无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置O上现有一质量为 的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂m直地相撞相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度 30处(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速 的值；0v(2)相撞时小球受到多大的冲量?解: (1)设小球的初速度为 ，棒经小球碰撞后得到的初角速0v度为 ，而小球的速度变为 ，按题意
29、，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：mvlIlv0222011vIv上两式中 ，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角231MlI位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度 ，按机械能o30守恒定律可列式：2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32)30cos1(212lMgI由式得 2121)3()30cos( lgIgl由式mlIv0由式mIv202所以 22001)(mvlIv求得 glmMlIlv312(6)1()20(2)相碰时小球受到的冲量为 0dvtF由式求得 MllImvt 310 gl6)2(2、3、7、9
30、、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反题 2-30 图2-30 一个质量为M、半径为 并以角速度 转动着的飞轮(可看R作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为 的碎片从轮的边m缘上飞出，见题2-30图假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上(1)问它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度 Rv0设碎片上升高度 时的速度为 ，则有 hvghv202令 ，可求出上升最大高度为 0v 1H(2)圆盘的转动惯量 ，碎片抛出后圆盘的转动惯量21MRI，碎片脱离前，盘的角动量为
31、 ，碎片刚脱离后，21mRMI I碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即 RmvI0式中 为破盘的角速度于是 vmRMR022)1()( 2得 (角速度不变)2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32圆盘余下部分的角动量为 )21(2mRM转动动能为题 2-31 图 22)1(mRMEk2-31 一质量为 、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在m轮缘上，可绕轴自由转动另一质量为 的子弹以速度 射入00v轮缘(如题2-31图所示方向)(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?(2)用 , 和 表示系统(包
32、括轮和质点)最后动能和初始动能之m0比解: (1)射入的过程对 轴的角动量守恒O200)(sinRmvR v)(sin0(2) 02202sin1)(i)(20 mvmREk 2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系数为2.0 Nm -1；定滑轮的转动惯量是0.5kgm 2，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势
33、能零点，则有 22211khImvgh又 Rv/故有 Ikhgv2)(122sm0.25.03.63.)489.(题 2-32 图 题 2-33 图2-33 空心圆环可绕竖直轴 自由转动，如题2-33图所示，其AC转动惯量为 ，环半径为 ，初始角速度为 质量为 的小球，0IR0m原来静置于 点，由于微小的干扰，小球向下滑动设圆环内A壁是光滑的，问小球滑到 点与 点时，小球相对于环的速率各BC为多少?解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32点时，有B)(200mRI该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为 ，以 点为重力势能零点，则有Bv22020 1)(11BmvRImgI 联立、两式，得 202mRIgvB(2)当小球滑至 点时， CIc 0c故由机械能守恒，有 21)(cvRg gRc请读者求出上述两种情况下，小球对地速度
