1、1第六章 常微分方程（Chap 9 Constant differential equation）教学内容：微分方程概念，一阶、二阶微分方程的概念及求解方法 教学要求：理解微分方程一阶概念，二阶微分方程解的结构掌握可分离变量的微分方程的解法，齐次方程及一阶线性微分方程，二阶常系数线性微分方程的解法会求 ， ， 的解()nyfx(,)yfx(,)yf教学重点：一阶线性微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程教学难点：常数变易法；高阶方程求解及二阶常系数齐次线性方程解的情况的讨论学时分配：讲授 8 学时，习题课 2 学时，共计 10 学时6.1 微分方程的基本概念（ Fundamental conce
2、pt of differential equation）一、两个实例1曲线通过点（1，2）且该曲线上任意点 处的切线斜率为 ，求该曲线的方(,)xy23x程。解：设曲线方程为 ，由题意知()yfx23d或 233dc又 ，则 1x131yx2一汽车在公路上以 10 米/秒的速度行驶，司机突然发现汽车前方 20 米有一小孩在地上玩耍，司机立即刹车，已知汽车刹车后获得加速度为4 米/秒 2，问汽车能否撞伤小孩？解：设 ，由题意得()st且 24dt0ts001ttdxv两端积分一次得 212c又 得00ttsv 又 即 得2140t2.5t.5.50二、微分方程的概念1微分方程：含有未知函数的导数
3、（或微分）的方程称为微分方程。如： ()0ypqfxy （代数方程）2302阶：方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数叫做微分方程的阶。n 阶微分方程的一般形式 ： ()(,0nFxy2在一般形式中，未知函数 y 及其各阶导数都是一次的，则此方程为线性微分方程。其形式为： ()(1)0 1()()nnnnaxyaxyfx3常微分方程：如果一个微分方程中只含有一个自变量。（偏微分方程）：含有两个或两个以上自变量，4解：若将一个函数代入微分方程 能使两端相等，则称这个函数为微分方程的解。（1）通解：含有任意常数且个数与方程阶数相同的解。（2）特解：从通解中确定了任意常数的解，称为特解。定解条
4、件：（初始条件）5、解的几何意义： 6.2 一阶微分方程（Differential equation）一、可分离变量的微分方程（Differential equation of separated variables）1定义：若一个一阶微分方程 ，能化成 的形式(,)0Fxy()dyfx则有 ，则此方程称为可分离变量的微分方程。()gydf2特点：一边只含 y 的函数与 y 的微分，而另一边只含 x 的函数与 x 的微分。3如何求解：方程两边同时对 x，y 积分得通解()()yfc()GFxC4例：（1）求微分方程 的通解2xy（2）求初值问题 的特解01xd（3）求微分方程 的通解220yx
5、dy（ +） （ ）注：为了书写简便，在求通解的时候只要出现 ，c 就写成 。lnlnc二、 齐次方程（Homogeneous differential equation ）1定义：如果一阶微分方程 中的函数 可写成关于 的函数，即(,)dyfx(,)fxyyx，则该方程称为齐次方程， 是连续函数。(,)(yfx2如何求解： 令 则 2yuxdux于是上式方程变为： （可分离变量微分方程）()du3例：（1）求方程 满足初始条件 的特解2yx(1)y（2）求微分方程 的通解tgd（3）求方程 的通解1yx三、线性方程及伯努利方程（Linear differential equation of
6、first order and 3Bernoulli equation）1、一阶线性方程（Linear differential equation of first order）1定义：形如： ()dyPxQ（ 是 x 的已知连续函数）的方程叫一阶线性微分方程。(),P（1）当 时，变为 一阶线性齐次微分方程0Q()0yxd（2）当 时，变为 一阶线性非齐次微分方程()xP2如何求解：（1） （可分离变量微分方程）()0dyPx通解 ()xdce（2） yQdx分析齐与非齐方程的特点得出解有相同和不同之处，引出常数变易法。解：令 ()pxdyce代入原方程化解、整理得 ()()pxdcedx（
7、 （ ） ()()pxdcQe（ ）两边积分得 ()cA因此所求通解为 （通解公式可直接用）()()pxdpxy分析通解结构，得出非齐通解为齐次通解与非齐特解之和，以后还会用到。3例（1）求微分方程 的通解（两种方法目的让学生熟悉常数变易法） 。lnxyx（2）求微分方程 的通解。52(1)d（3）求方程 在初始条件 下的特解。2(0d10xy（4）求方程 的通解。43)yxy二、贝努利方程（Bernoullie quation）1定义：方程 叫做伯努利方程。()(0,1)ndyPxQy2如何求解：方程： 两端同除以 ，得()nydxny1()nPx令 则1zyndzdyr即 代入 得ndx4
8、1()dyPxzQn即 （关于 z 的一阶线性微分方程）1)(znx求出通解，并将 代入即得原方程的通解。y3例：（1）求方程 的通解2dx（2）求方程： 的通解3y（3）求方程： 的通解。2(ln)daxx6.3 可微阶的高阶微分方程（Differential equation that can be reduced order）高阶微分方程，二阶及二阶以上的微分方程求解方法：降阶化为一阶微分方程，具体有三种类型：一、 型的微分方程()nyfx1微分方程 的右端仅含有自变量 x。()nyfx2方法：两边连续积分 n 次，求得通解（含有 n 个常数）3例：求微分方程 的通解0xe二、 型的微分
9、方程(,)yfx1方程 的右端不显含 y（特点）,)fy2求解方法：令 代入原方程，得Pp（关于变量 x，p 的一阶线性微分方程）(,pfx可求通解为 ，即)c1(,)dyc求积分得通解为： 12(,)yxd3例：（1）求微分方程 的通解。y（2）求方程 满足初始条件 的特解x0013xxy（3） 满足 的特解2(1)y0|xy三、 型的微分方程,f1方程 右端不显含 x（ 特点）(,)fy2如何求解：令 （与前面相区别）dppy将其代入原方程得 (,)f此方程是关于 y 和 p 的一阶线性微分方程通解为 1(,)c分离变量得 ,dx5两边积分得 21(,)dyxc3例（1）求微分方程 的通解
10、2y（2）求方程 满足初始条件的特解012xy6.4 二阶常系数齐次线性微分方程（Homogeneous linear differential equation with second）1形如 的方程叫二阶常系数线性微分方程（其中 均为常数）()ypqfx ,pq（1）当 时，变为 叫二阶常系数齐次线性微分方程()0fx0ypq（2）当 时， ，叫二阶常系数非齐次线性微分方程()Qx2二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构与性质（1）定理 1 如果函数 是 的两个解12yy0pyq则 也是解， （ 是任意常数）线性相关、无关概念（简单做2()()cyx1,c一介绍）（2）定理 2 如果 是 的
11、两个线性无关的特解，则12,y0pqy就是方程 的通解。1ycy3如何求二阶常系数齐次线性微分方程的通解 0pyq分析方程的特点，得该方程的解的一阶、二阶导数仅差一个常数因子，结合导数知识，可设通解为 ，代入原方程得 （特征方程）rxye0rpq二次方程 的两个根称为特征根，特征根有以下三种情形：0pq（1）当 时， ， 241212rxrxye通解为 1rxrxyce（2） 时， ，此时 为一个特解，为寻求与 线性关系的特221rx1y解，可令 代入原方程得 ()rxu()u2rxye通解为 12rxyce（3） 时，240pq12iri（化为实数根）()()12ixxy利用欧拉公式 cosinie化复数形式为实数解形式 12cossinxxyeye 通解为 12ixy4总结求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤（1）写出特征方程： 0rpq（2）求出特征根： 12（3）根据特征根的不同情形，写出微分方程的通解6特征方程 的两个根0rpq12r微分方程 的通解0ypq12 12rxrxce1,2ri 12ossinxxyce5例（1）求微分方程 的通解340y（2）求微分方程 满足初始条件 的特解1y003xxy（3）求微分方程 的满足初始条件 的特解 1（4）设函数 可导，且满足()fx，求0012()()xxtfdft()fx（5）求四阶微分方程 的通解。48y
