1、用数学软件 Mathematica 做线性代数作者：徐小湛四川大学数学学院目 录前言第一章 行列式 行 列式 DetA 克拉默 法则第二章 矩阵及其运算 矩阵 的线性运算 矩阵 的乘法 A.B 矩阵的 转置 TransposeA 逆矩阵 InverseA 矩阵方程第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩 阵的 行最简形 RowReduceA 矩阵的秩 MatrixRankA齐次 线性方 程组 基础 解系 NullSpaceA非齐 次线性 方程组 求特解 LinearSolveA,b用Solv e求线 性方 程组的解第四章 向量组的线性相关性向量的线 性表示 极大无关组第五章 相似矩阵及二次型正交
2、矩阵 矩阵的特 征值 EigenvaluesA 矩阵的特 征向量 EigenvectorsA 矩阵的对角化矩阵的正交化 OrthogonalizeP 二次型的标 准化参考文献前 言Mathematica 是著名的数学软件，具有强大的的数学运算能力和绘图功能。本文档用 Mathematica 来进行线性代数中的各种运算 。 本文档中所有的例子都是用 Mathematica 7 编程和计算的，有的命令在版本较低的 Mathematica 可能无法 执行。另外，有的运算结果拷贝到 Word 时，格式有些变化，但是在Mathematica 中的输出格式没有问题。如有对本文档中的内容任何问题，请发邮件与
3、作者讨论。邮箱：xuxz2010-9-4返回 目录第一章 行列式行列式 DetA例 计算三阶行列式 （同济 5版，3 页）1243A输入：A=1,2,-4,-2,2,1,-3,4,-2；DetA输出：-14例 计算四阶行列式 （同济 5版，12 页）31254203A输入：A=3,1,-1,2,-5,1,3,-4,2,0,1,-1,1,-5,3,-3;DetA输出：40例 求解方程 （同济 5版，3 页）213049x输入：A:=1,1,1,2,3,x,4,9,x2SolveDetA0,x输出：x2,x3例 计算行列式 （同济 5版，13 页）234326106abcdabca输入：A=a,b
4、,c,d,a,a+b,a+b+c,a+b+c+d,a,2a+b,3a+2b+c,4a+3b+2c+d,a,3a+b,6a+3b+c,10a+6b+3c+d;A/MatrixForm （给出A的矩阵形式）DetA输出：(NoBreaka, b, c, d,a, a+b, a+b+c, a+b+c+d,a, 2 a+b, 3 a+2 b+c, 4 a+3 b+2 c+d,a, 3 a+b, 6 a+3 b+c, 10 a+6 b+3 c+dNoBreak) （给出A的矩阵形式）a4 例 计算行列式 （同济 5版，15 页）0000abcd输入：A=a,0,0,0,0,b,0,a,0,0,b,0,0
5、,0,a,b,0,0,0,0,c,d,0,0,0,c,0,0,d,0,c,0,0,0,0,d;A/MatrixFormDetAFactor%（将结果因式分解）输出-b3 c3+3 a b2 c2 d-3 a2 b c d2+a3 d3-(b c-a d)3例 计算范德蒙行列式 （同济 5版，18 页）1234523344412351xx输入：Van=Tablexjk,k,0,4,j,1,5%/MatrixFormDetVan输出：1,1,1,1,1,x1,x2,x3,x4,x5,x12,x22,x32,x42,x52,x13,x23,x33,x43,x53,x14,x24,x34,x44,x5
6、4(NoBreak1, 1, 1, 1, 1,x1, x2, x3, x4, x5,x12, x22, x32, x42, x52,x13, x23, x33, x43, x53,x14, x24, x34, x44, x54NoBreak)x14 x23 x32 x4-x13 x24 x32 x4-x14 x22 x33 x4+x12 x24 x33 x4+x13 x22 x34 x4-x12 x23 x34 x4-x14 x23 x3 x42+x13 x24 x3 x42+x14 x2 x33 x42-x1 x24 x33 x42-x13 x2 x34 x42+x1 x23 x34 x42
7、+x14 x22 x3 x43-x12 x24 x3 x43-x14 x2 x32 x43+x1 x24 x32 x43+x12 x2 x34 x43-x1 x22 x34 x43-x13 x22 x3 x44+x12 x23 x3 x44+x13 x2 x32 x44-x1 x23 x32 x44-x12 x2 x33 x44+x1 x22 x33 x44-x14 x23 x32 x5+x13 x24 x32 x5+x14 x22 x33 x5-x12 x24 x33 x5-x13 x22 x34 x5+x12 x23 x34 x5+x14 x23 x42 x5-x13 x24 x42 x5
8、-x14 x33 x42 x5+x24 x33 x42 x5+x13 x34 x42 x5-x23 x34 x42 x5-x14 x22 x43 x5+x12 x24 x43 x5+x14 x32 x43 x5-x24 x32 x43 x5-x12 x34 x43 x5+x22 x34 x43 x5+x13 x22 x44 x5-x12 x23 x44 x5-x13 x32 x44 x5+x23 x32 x44 x5+x12 x33 x44 x5-x22 x33 x44 x5+x14 x23 x3 x52-x13 x24 x3 x52-x14 x2 x33 x52+x1 x24 x33 x52
9、+x13 x2 x34 x52-x1 x23 x34 x52-x14 x23 x4 x52+x13 x24 x4 x52+x14 x33 x4 x52-x24 x33 x4 x52-x13 x34 x4 x52+x23 x34 x4 x52+x14 x2 x43 x52-x1 x24 x43 x52-x14 x3 x43 x52+x24 x3 x43 x52+x1 x34 x43 x52-x2 x34 x43 x52-x13 x2 x44 x52+x1 x23 x44 x52+x13 x3 x44 x52-x23 x3 x44 x52-x1 x33 x44 x52+x2 x33 x44 x52
10、-x14 x22 x3 x53+x12 x24 x3 x53+x14 x2 x32 x53-x1 x24 x32 x53-x12 x2 x34 x53+x1 x22 x34 x53+x14 x22 x4 x53-x12 x24 x4 x53-x14 x32 x4 x53+x24 x32 x4 x53+x12 x34 x4 x53-x22 x34 x4 x53-x14 x2 x42 x53+x1 x24 x42 x53+x14 x3 x42 x53-x24 x3 x42 x53-x1 x34 x42 x53+x2 x34 x42 x53+x12 x2 x44 x53-x1 x22 x44 x53
11、-x12 x3 x44 x53+x22 x3 x44 x53+x1 x32 x44 x53-x2 x32 x44 x53+x13 x22 x3 x54-x12 x23 x3 x54-x13 x2 x32 x54+x1 x23 x32 x54+x12 x2 x33 x54-x1 x22 x33 x54-x13 x22 x4 x54+x12 x23 x4 x54+x13 x32 x4 x54-x23 x32 x4 x54-x12 x33 x4 x54+x22 x33 x4 x54+x13 x2 x42 x54-x1 x23 x42 x54-x13 x3 x42 x54+x23 x3 x42 x54
12、+x1 x33 x42 x54-x2 x33 x42 x54-x12 x2 x43 x54+x1 x22 x43 x54+x12 x3 x43 x54-x22 x3 x43 x54-x1 x32 x43 x54+x2 x32 x43 x54结果太复杂，应化简。输入：DetVan/Simplify （化简以上结果）或 FactorDetVan （因式分解以上结果）结果：(x1-x2) (x1-x3) (x2-x3) (x1-x4) (x2-x4) (x3-x4) (x1-x5) (x2-x5) (x3-x5) (x4-x5)(x1-x2) (x1-x3) (x2-x3) (x1-x4) (x2-
13、x4) (x3-x4) (x1-x5) (x2-x5) (x3-x5) (x4-x5)返回目录克拉墨法则例 用克拉默法则解线性方程组： （同济 5版，22 页）12341234586970xx输入：A=2,1,-5,1,1,-3,0,-6,0,2,-1,2,1,4,-7,6;A1=8,1,-5,1,9,-3,0,-6,-5,2,-1,2,0,4,-7,6;A2=2,8,-5,1,1,9,0,-6,0,-5,-1,2,1,0,-7,6;A3=2,1,8,1,1,-3,9,-6,0,2,-5,2,1,4,0,6;A4=2,1,-5,8,1,-3,0,9,0,2,-1,-5,1,4,-7,0;D0=
14、DetAD1=DetA1D2=DetA2D3=DetA3D4=DetA4x1=D1/D0x2=D2/D0x3=D3/D0x4=D4/D0输出：五个行列式：2781-108-2727方程组的解：3-4-11返回目录第二章 矩阵及其运算矩阵的线性运算例 设 ， ，求 和352078A391248BAB43输入：A=2,5,-2,0,7,-8;B=-3,9,12,-4,1,8;A+B4A+3BA+B/MatrixForm4A+3B/MatrixForm-1,14,10,-4,8,0-1,47,28,-12,31,-8(NoBreak-1, 14, 10,-4, 8, 0NoBreak)(NoBrea
15、k-1, 47, 28,-12, 31, -8NoBreak)返回目录矩阵的乘法 A.B例 设 ， ，求1032A41032BAB输入：A=1,0,3,-1,2,1,0,2;A/MatrixFormB=4,1,0,-1,1,3,2,0,1,1,3,4;B/MatrixFormA . BA . B/MatrixForm结果：(NoBreak1, 0, 3, -1,2, 1, 0, 2NoBreak)(NoBreak4, 1, 0,-1, 1, 3,2, 0, 1,1, 3, 4NoBreak)9,-2,-1,9,9,11(NoBreak9, -2, -1,9, 9, 11NoBreak)例 设
16、， ，求 和 （同济 5版，35 页）241A2436BAB输入：A=-2,4,1,-2;B=2,4,-3,-6;A . BB.AA.B/MatrixFormB.A/MatrixForm结果：-16,-32,8,160,0,0,0(NoBreak-16, -32,8, 16NoBreak)(NoBreak0, 0,0, 0NoBreak)例 证明： （同济 5版，38 页）cosincosiniitttt解 取 n=7输入A=Cost,-Sint,Sint,Cost;B=MatrixPowerA,7Simplify%/MatrixForm结果：-2 Sint (-2 Cost Sint2+Co
17、st (Cost2-Sint2) (2 Cost2 Sint+Sint (Cost2-Sint2)+Cost (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2)2+(-2 Cost2 Sint-Sint (Cost2-Sint2) (2 Cost2 Sint+Sint (Cost2-Sint2),2 Cost (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2) (-2 Cost2 Sint-Sint (Cost2-Sint2)-Sint (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2)2+(-2 Cost2 Sint-Sint (Cost2-S
18、int2) (2 Cost2 Sint+Sint (Cost2-Sint2),2 Cost (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2) (2 Cost2 Sint+Sint (Cost2-Sint2)+Sint (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2)2+(-2 Cost2 Sint-Sint (Cost2-Sint2) (2 Cost2 Sint+Sint (Cost2-Sint2),2 Sint (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2) (-2 Cost2 Sint-Sint (Cost2-Sint2)+Cost
19、(-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2)2+(-2 Cost2 Sint-Sint (Cost2-Sint2) (2 Cost2 Sint+Sint (Cost2-Sint2)化简的结果：Cos7 t,-Sin7 t,Sin7 t,Cos7 t结果的矩阵形式：(NoBreakCos7 t, -Sin7 t,Sin7 t, Cos7 tNoBreak)返回目录矩阵的转置 TransposeA例 设 ，求其转置矩阵 （同济 5版，39 页）1203ATA输入：A=1,2,0,3,-1,1A/MatrixFormAT=TransposeA%/MatrixForm结果：原矩阵
20、：1,2,0,3,-1,1(NoBreak1, 2, 0,3, -1, 1NoBreak)转置矩阵：1,3,2,-1,0,1(NoBreak1, 3,2, -1,0, 1NoBreak)例 设 ， ，求 ，并验证： （同2013A714230B()TAB()TAB济 5版，39 页）输入A=2,0,-1,1,3,2;B=1,7,-1,4,2,3,2,0,1;TransposeA.B%/MatrixFormTransposeB.TransposeA%/MatrixForm结果：0,17,14,13,-3,10(NoBreak0, 17,14, 13,-3, 10 这是 ()TABNoBreak)
21、0,17,14,13,-3,10(NoBreak0, 17,14, 13,-3, 10 这是 TBANoBreak)可见： ()返回 目录逆矩阵 InverseA例 设 ，求其逆矩阵 ，并验证 （单位矩阵）（同济 5版，441234A1A1E页）输入：A=1,2,3,2,2,1,3,4,3;B=InverseAB/MatrixFormA.B%/MatrixForm逆矩阵：1,3,-2,-(3/2),-3,5/2,1,1,-1(NoBreak1, 3, -2,-(3/2), -3, 5/2,1, 1, -1 NoBreak)验证 ：1AE1,0,0,0,1,0,0,0,1(NoBreak1, 0
22、, 0,0, 1, 0,0, 0, 1NoBreak)返回目录矩阵方程例 设 ， ， ，且 ，求矩阵 （同济 51234A2153B3201CAXBCX版，45 页）解 1XBC输入A=1,2,3,2,2,1,3,4,3;B=2,1,5,3;C1=1,3,2,0,3,1;X=InverseA.C1.InverseB%/MatrixForm结果：-2,1,10,-4,-10,4(NoBreak-2, 1,10, -4,-10, 4NoBreak)例 设 ， ，求解矩阵方程 （同济 5版，65 页）213A1205BAXB解 1XB输入A=2,1,-3,1,2,-2,-1,3,2;B=1,-1,2
23、,0,-2,5;X=InverseA.B；%/MatrixForm结果：(NoBreak-4, 2,0, 1,-3, 2NoBreak)返回 目录第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵 的行最简形 RowReduceA例 设 ，求其行最简形，标准型和秩（同济 5版，59 页）212446397B先求行最简形输入：B=2,-1,-1,1,2,1,1,-2,1,4,4,-6,2,-2,4,3,6,-9,7,9;B/MatrixFormRowReduceB%/MatrixForm结果原矩阵：(NoBreak2, -1, -1, 1, 2,1, 1, -2, 1, 4,4, -6, 2, -2, 4,
24、3, 6, -9, 7, 9NoBreak)原矩阵的行最简形：1,0,-1,0,4,0,1,-1,0,3,0,0,0,1,-3,0,0,0,0,0(NoBreak1, 0, -1, 0, 4,0, 1, -1, 0, 3,0, 0, 0, 1, -3,0, 0, 0, 0, 0NoBreak) 行最简形有一行全为零，矩阵的秩为 3再求 B 的标准型B=2,-1,-1,1,2,1,1,-2,1,4,4,-6,2,-2,4,3,6,-9,7,9;A=RowReduceB;A/MatrixFormTransposeA/MatrixFormRowReduceTransposeA;Transpose%/
25、MatrixForm结果：B的行最简形：(NoBreak1, 0, -1, 0, 4,0, 1, -1, 0, 3,0, 0, 0, 1, -3,0, 0, 0, 0, 0NoBreak)将行最简形矩阵转置：(NoBreak1, 0, 0, 0,0, 1, 0, 0,-1, -1, 0, 0,0, 0, 1, 0,4, 3, -3, 0NoBreak)再求转置的矩阵的行最简形，便得到原矩阵的标准形：(NoBreak1, 0, 0, 0, 0,0, 1, 0, 0, 0,0, 0, 1, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0NoBreak)标准形形有一行全为零，矩阵的秩为 3例 设 ，求 其行最
26、简形 （同济 5版，64 页）2146AAF输入：A=2,-1,-1,1,1,-2,4,-6,2;F=RowReduceB;F/MatrixForm结果(NoBreak1, 0, -1,0, 1, -1,0, 0, 0NoBreak)返回 目录矩 阵的秩 MatrixRankA例 设 ，求 的秩，并求 的一个最高阶非零子式（同济 5320561314AA版，67 页）输入：A=3,2,0,5,0,3,-2,3,6,-1,2,0,1,5,-3,1,6,-4,-1,4;A/MatrixFormMatrixRankA结果：3（矩阵的秩）为求 的一个最高阶非零子式，求 的行最简形：AA输入：A=3,2
27、,0,5,0,3,-2,3,6,-1,2,0,1,5,-3,1,6,-4,-1,4;RowReduceA/MatrixForm结果：(NoBreak1, 0, 1/2, 0, 7/2,0, 1, -(3/4), 0, -(1/4),0, 0, 0, 1, -2,0, 0, 0, 0, 0NoBreak)有行最简形中三个1的位置，知原矩阵的前三行以及1、2、4列的子式不为零返回 目录齐次线性方程组例 求齐次线性方程组： 的基础解系与通解（同济 5版，97 页）1234057xx解 先将系数矩阵化为行最简形。输入A=1,1,-1,-1,2,-5,3,2,7,-7,3,1;A/MatrixFormR
28、owReduceA/MatrixForm得A的行最简形：(NoBreak1, 0, -(2/7), -(3/7),0, 1, -(5/7), -(4/7),0, 0, 0, 0NoBreak)由A的行最简形可知，原方程组化为：或 或 1342075xx134275xx134234475xx方程组的通解： 或 1223142375xcxc122347501xc其中 是方程组的基础解系1275,01返回 目录基础解系 NullSpaceA例 求齐次线性方程组： 的基础解系与通解（同济 5版，97 页）1234057xxMathematica有一个求基础解系的命令:NullSpaceA输入A=1,1
29、,-1,-1,2,-5,3,2,7,-7,3,1;NullSpaceA得到基础解系：3,4,0,7,2,5,7,0 (这个基础解系不理想)现将A先化为行最简形，再用NullSpace 求基础解系 :输入A=1,1,-1,-1,2,-5,3,2,7,-7,3,1;A=RowReduceA;A/MatrixFormNullSpaceA得到：A的行最简形：(NoBreak1, 0, -(2/7), -(3/7),0, 1, -(5/7), -(4/7),0, 0, 0, 0NoBreak)得到理想的基础解系：3/7,4/7,0,1,2/7,5/7,1,0 （与上面的结果一致）返回目录非齐次线性方程组
30、例 求线性方程组： 的通解（同济 5版，101 页）12341234012xx解 先增广矩阵化为行最简形。输入A=1,-1,-1,1,0,1,-1,1,-3,1,1,-1,-2,3,-1/2;A/MatrixFormRowReduceA/MatrixForm得增广矩阵的行最简形：(NoBreak1, -1, 0, -1, 1/2,0, 0, 1, -2, 1/2,0, 0, 0, 0, 0NoBreak)由增广矩阵的行最简形可知，原方程组化为：或 或 12431xx1243x124344xx原方程组的通解： 或 122324xcxc1223410xc其中 是对应其次方程组的基础解系， 是原方程
31、组的一个特解。1210, 120*返回 目录求特解 LinearSolveA,b用LinearSolveA,b可以得到非其次线性方程组 的一个特解AXb输入：A=1,-1,-1,1,1,-1,1,-3,1,-1,-2,3;b=0,1,-1/2;LinearSolveA,b得到以上非其次线性方程组的特解：1/2,0,1/2,0用Solve 求线性方程组的解例 求线性方程组： 的通解（同济 5版，101 页）12341234012xx输入：Solvex1-x2-x3+x40,x1-x2+x3-3x41,x1-x2-2x3+3x4-1/2,x1,x2,x3,x4输出：x11/2+x2+x4,x31/
32、2+2 x4即 （与前一方法的结果一致）1243xx返回目录第四章 向量组的线性相关性向量的线性表示例 设 ，试将 表示成 的线性组合123110,43123,（同济 5版，84 页）解只需将矩阵 化为行最简形12043A输入：A=1,1,1,1,1,2,-1,0,2,1,4,3,2,3,0,1;A/MatrixFormRowReduceA%/MatrixForm得A的行最简形：(NoBreak1, 0, 3, 2,0, 1, -2, -1,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0NoBreak)容易看出：行最简形的第四列可以表示成第一列的 2 倍，加上第二列的-1 倍于是 A 的第四列也可
33、以表示成第一列的 2 倍，加上第二列的 -1 倍，即： 12返回 目录极大无关组例 设 ，求 的列向量组的一个极大无关组（同济 5版，93212446397AA页）解 用初等行变换得到A的行最简形，则由行最简形可以看出 A列向量组的极大无关组。输入：A=2,-1,-1,1,2,1,1,-2,1,4,4,-6,2,-2,4,3,6,-9,7,9;A/MatrixForm；RowReduceA/MatrixForm输出A的行最简形(NoBreak1, 0, -1, 0, 4,0, 1, -1, 0, 3,0, 0, 0, 1, -3,0, 0, 0, 0, 0NoBreak)由此可知，A的1、2、
34、4列构成A的列向量组的极大无关组。返 回目录第五章 相似矩阵及二次型正交矩阵例 验证 是正交矩阵（同济 5版，116 页）112210212A解 只需验证 （单位矩阵）TAE输入：A=1/2,0-1/2,1/2,-1/2,1/2,-1/2,-1/2,1/2,1/Sqrt2,1/Sqrt2,0,0,0,0,1/Sqrt2,1/Sqrt2;A/MatrixFormA.TransposeA/MatrixForm(NoBreak1/2, -(1/2), 1/2, -(1/2),1/2, -(1/2), -(1/2), 1/2,1/ 2 , 1/ 2 , 0, 0,0, 0, 1/ 2 , 1/ 2 （
35、这是A）NoBreak)(NoBreak1, 0, 0, 0,0, 1, 0, 0,0, 0, 1, 0,0, 0, 0, 1 NoBreak)（验证了： ）TAE返回 目录矩阵的特征值 EigenvaluesA 矩阵的特征向量 EigenvectorsA例 求矩阵 的特征值和特征向量（同济5版，118页）31A输入：A=3,-1,-1,3;EigenvaluesAEigenvectorsA结果 4,2 （特征值）-1,1,1,1（特征向量）例 求矩阵 的特征值和特征向量（同济5版，118页）10432A输入：A=-1,1,0,-4,3,0,1,0,2;EigenvaluesAEigenvec
36、torsA结果：2,1,1（特征值）0,0,1,-1,-2,1,0,0,0（特征向量）（将最后一个零向量删去）例 求矩阵 的特征值和特征向量（同济5版，119页）21043A输入：A=-2,1,1,0,2,0,-4,1,3;EigenvaluesAEigenvectorsA结果：2,2,-1（特征值）1,0,4,1,4,0,1,0,1（特征向量）返回 目录矩阵的对角化例 设 ，求矩阵 ，使得 为对角阵，并验证结果（同济5版，01AP1A125页）输入：A=0,-1,1,-1,0,1,1,1,0;EigenvaluesA（求A的特征值）P=EigenvectorsA （求A 的特征向量（为行向量
37、）P=TransposeP （将特征行向量的矩阵转置）P/MatrixFormInverseP.A.P/MatrixForm（验证结果）结果-2,1,1-1,-1,1,1,0,1,-1,1,0-1,1,-1,-1,0,1,1,1,0(NoBreak-1, 1, -1,-1, 0, 1,1, 1, 0 （得到矩阵 P）NoBreak)(NoBreak-2, 0, 0,0, 1, 0,0, 0, 1 （ 为对角阵，对角线元素为三个特征值）1ANoBreak)返回 目录矩阵的正交化 OrthogonalizeP例 设 ，求正交矩阵 ，使得 为对角阵，并验证结果。01AP1A输入：A=0,-1,1,-
38、1,0,1,1,1,0;EigenvaluesA （特征值）P=EigenvectorsA （特征向量）P=OrthogonalizeP （特征向量的矩阵正交单位化）P=TransposeP （转置）InverseP.P/MatrixForm（验证P 是正交矩阵）P/MatrixForm（把P 写成矩阵形式）InverseP.A.P/MatrixForm （计算 ）1APSimplify%/MatrixForm（ 化简 的计算结果）输出：-2,1,1（特征值）-1,-1,1,1,0,1,-1,1,0 （特征向量）（特征向量的矩阵正交单位化）-(1/ 3 ),-(1/ 3 ),1/ 3 ,1/ 2 ,0,1/ 2 ,-(1/ 6 ),23 ,1/ 6 -(1/ 3 ),1/ 2 ,-(1/ 6 ),-(1/ 3 ),0,23 ,1/ 3 ,1/ 2 ,1/ 6 (NoBreak1, 0, 0,0, 1, 0,0, 0, 1 （验证了P是正交矩阵）NoBreak)(NoBreak-(1/ 3 ), 1/ 2 , -(1/ 6 ),
