1、第 1 页 共 5 页经济数学基础(本)作业评讲(1)重庆广播电视大学文法学院 姚素芬下面我们将对第一次作业中的第三题进行作业评讲。下文中,黑色的是问题与答案,绿色是说明和解释。三、计算题(每小题 7 分,共 70 分)1. 求函数 在圆域 上的最大值。24),(yxyxf12yx此题的考核知识点是:多元函数微积分学中第 1 章的二元函数的最值问题。分析:要做该题,首先要理解题意,从题可以看出,这是一个求二元函数的最值问题,具体解题步骤如下。解:显然,函数在圆周 上的值恒为 。令12yx3042xf2yyf解得 ,这是函数在圆域内的惟一驻点。对应的函数值0,x )3(2)0,f所以,函数在(0
2、,0)处取得最大值 2。2设 ,计算 。xyeyxf3sin),(),(lim21yxfy此题的考核知识点是:多元函数微积分学中第 1 章的二元函数求极限的问题。分析:要做该题,首先要理解题意,从题可以看出,这是一个求二元函数极限的问题,从题目来看,求 f(x,y)的极限很简单,只需将 x,y 的值代入计算即可,具体解题步骤如下。解:由于 是初等函数,且点(1,2) 在其定义域内,故 在点(1,2)处连续,因此有:),(yxf ),(yxf2323sin),1(,(21limeeffyx 3设 , 求),(2yxfzyz,此题的考核知识点是:多元函数微积分学中第 1 章的二元函数求偏导数的问题
3、。第 2 页 共 5 页分析:要做该题,首先要理解题意,从题可以看出,这是一个求偏导数的问题,从题目表示来看,没有具体的函数表达式,做这种题最好设中间变量,这样表示要简单一些,具体解题步骤如下。解:设中间变量: ,yxu2v于是: ),(fzxyu22xuv12yv所以: vufyxvzxuz 1vuffyvy 24函数 ),(xz由方程 zyezxxsinco2所确定,求 yzx,此题的考核知识点是:多元函数微积分学中第 1 章的隐函数求偏导数的问题。分析:本题可运用函数的全微分,再根据微分运算法则和一阶微分形式不变性可以方便地求出隐函数的偏导数。具体解题步骤如下。解:方程两端求微分得左端=
4、 )cos(2yezxdx= )(22xzd)(coscosydeyxexin右端 zcs)(in由此得 zdyeydxexzdx cosino2整理得 xzxz22cosicos由微分的定义可知第 3 页 共 5 页2cosxzyex, 2cosinxzye5求函数 ,求 的二阶偏导数:2yy2,此题的考核知识点是:多元函数微积分学中第 1 章的求二阶偏导数的问题。分析:求二阶偏导数必须首先求一阶偏导数,然后再求二阶偏导数,具体解题步骤如下。解 ,21yxz 32)(yxz当 时, 连续,02,这时有 322)(yxyzx6已知函数 , 求 dzzln此题的考核知识点是:多元函数微积分学中第
5、 1 章的求全微分的问题。分析:从题意看,要求此题最好先将其化简后再求求全微分, ,具体解题步骤如下。lnlyzxx解: xyxzlnlz1,dyxdyxdz7设 ,验证),(btyaxfz yzbxatz此题的考核知识点是:多元函数微积分学中第 1 章的二元函数求偏导数的问题。分析:要做该题,首先要理解题意,从题可以看出,这是一个求偏导数的问题,从题目表示来看,没有具体的函数表达式,做这种题最好设中间变量,这样表示要简单一些,具体解题步骤如下。解:设 btyvatxu,第 4 页 共 5 页atuyxu,0,1btvv,uzxzvyvzbuatztutz所以yzbxatz8将二重积分 dfD
6、),(化为极坐标系中的累次积分,其中 D 为平面区域:0,22yxyx。此题的考核知识点是:多元函数微积分学中第 2 章的求二重积分的问题。分析:此题只能根据二重积分的几何意义来求该二重积分,具体解题步骤如下。解:设 ,sin,cosryrx则 2sinco22r,即 2 且极点在边界上,于是D=(20,);, rrdxy故: 20)sin,co(),(2 drrffD 9设区域 D 是单位圆 12yx在第一象限的部分,将二重积分 Dxyd化为累次积分的形式。此题的考核知识点是:多元函数微积分学中第 2 章的求二重积分的问题。分析:此题只能根据二重积分的几何意义来化简该二重积分,具体解题步骤如下。解:在直角坐标系下,如果先对 y 积分,后对 x 积分,积分区域 D 可写为D= 210,);,(xy,于是:第 5 页 共 5 页210xDydxyd如果先对 x 积分,再对 y 积分,则积分区域为D= 2,);,(,于是: Dyxdxyd10210若将二重积分化为直角坐标系中的累次积分进行计算,计算 ,其中 D:由曲线 22,yx所围成的Ddxyf),(平面区域。此题的考核知识点是:多元函数微积分学中第 2 章的求二重积分的问题。分析:此题只能根据二重积分的几何意义来求该二重积分,具体解题步骤如下。解: xyxyD2,10);,(所以: =df dfx2),(