1、竞赛专题（二）一元二次方程在初中数学竞赛中，有关一元二次方程的内容占有重要的地位，根的判别式和韦达定理的应用非常广泛，与此相关的竞赛题变化多端，题型丰富，技巧性强。1、一元二次方程的求根公式一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 的解为：x= (b24ac0)acb422、一元二次 ax2+bx+c=0 (a0) 方程的判别式=b24ac，x 1，x2 是方程的两根，则0，方程有不相等的两实根，x 1, 2= acb42=0 ，方程有相等的两实根，x 1, 2=-0，方程无实根。3、一元二次方程的韦达定理设一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 的两根为 x1，x2，则 x1，x2
2、满足 acxb214、一元二次方程的解法常用的解法有：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法、换元法、参数法等，在解决一元二次方程问题的过程中，常常会涉及到根的判别式、韦达定理、完全平方数、整数性质、因数分解等方面的知识和技巧。例 1 设 a、b、c 为互不相等的非零实数，求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0 不可能都有 2 个相等的实数根。分析：若分别考虑三个方程的根的情况，则不易突破，若把三个方程当作一个整体考虑，则问题容易解决。解：设三个方程都有 2 个相等的实根，则有 04213bca1+2+3=4(a2+b2+c2abbcca)=
3、0即 a2+b2+c2abbcca)=0，(ab) 2+(bc) 2+(ca) 2=0故 a=b=c，这与题设矛盾，因此，题中的三个方程不可能都有 2 个相等的实数根。说明：本题是 1997 年山东省初中数学竞赛题，当原命题的结论以否定形式出现时，常常考虑用反证法来证明，通过反设否定了结论，这样就把原题结论中的否定形式变成了肯定形式，为接下来的推理证明，并最终导致矛盾，提供了方便。例 2 已知 、 是一元二次方程 x2+x1=0 的两个根，求 25+53 的值。分析：我们平时碰到近类求值问题，大多是关于 、 的对称式，而本题的式子在形式上关于 、 是不对称的，第一感觉是先求出这个方程的两个根
4、x1，x2，当 、 分别取 x1，x2 时，求出 25+53 的值，再当 、 分别取时，求出 25+53 的值，但这样做计算量很大。下面我们采用降次的方法来解。解：因为 是方程 x2+x1=0 的根，所以 2+1=0即 2=1， 4= (1) 2 =12+ 2 =23，5=4= (23)=23 2 =53 同理 3=2= (1)= 2 =21所以 25+53 = 2(5 3) = 5(21)= 10(+) 11=-21例 3（1999 年全国初中数学竞赛）设实数 s，t 分别满足 19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0 并且 st1，求 的ts14值。分析：观察两个方程的系数，分别为
5、 19，99，1 和 1，99，19，从而易知 s，是方程 19s2+99s+1=0 的根。t1解：易知 t0，所以有 19s2+99s+1=0 199( )2+99( )+1=0 tt由题设 st1，即 s ，故由，知：s 、 是一元二次方程t 119x2+99x+1=0 的两个不同的实根，故 s+ =- ，s =t9t1所以 = s+ +4 =- + =-5ts4tts194说明：本题中的条件 st1 很重要，没有这个条件的话，还需讨论 s= 时的t情形。例 4 设 m 是不小于-1 的实数，使得关于 x 的方程 x2+2(m2)x+m23m+3=0 有两个不相等的 实数根 x1，x2。若
6、 x +x =6，求 m 的值；求 + 的最大值。12 122m分析：第小题较简单，根据韦达定理及题设条件建立关于 m 的方程；对于第小题，需要利用韦达定理选建立关于 m 的函数关系，再求这个函数的最大值。解：由于方程 x2+2(m2)x+m 23m+3=0 有两个不相等的实数根 x1，x2，所以=4(m2) 24(m 23m+3)=-4m+ 40，解得 m1。根据题设，-1m1，由韦达定理，得 3)2(21mx所以 x +x =(x1+x2)22x 1x2=2m210m+10=6，即21m25m+2=0，解得 m= ，因为-1m1，所以 m= 。752175 + = =12xm2)1(211
7、xx1)(2121xxm= )(33)0(22m= m238(=2(m23m+1)=2(m )235由于-1m1，因此当 m=-1 时， + 有最大值为 10。12xm2说明：本题为 2000 年全国初中数学竞赛试题，若注意不到0 这个条件，将直接影响到两个小题的答案。例 5 （2002 年上海市初中数学竞赛）已知 p 为质数，使二次方程 x22px+p 25p1=0 的两根都是整数，求出所有可能的 p 的值。 解：由于这个整系数一元二次方程有整数根，所以=4p24(p 25p1)=4(5p+1)是完全平方数，从而 5p+1 是完全平方数，令 5p+1=n2，n 是正整数则 5p=(n1) (
8、n+1)。所以，5 | (n1) (n+1)，即 5 | n1 或 5 | n+1。若 5 | n1，令 n1=5k，则 p= k (5k+2)，由于 p 是质数，故k=1，p=7，此时方程为 x214x+13=0，x 1=1，x2=13 满足条件。若 5 | n+1，令 n+1=5k，则 p=k(5k2)，故 k=1，p=3，此时方程为x26x7=0 ，x1=-1，x2=7，满足条件。综上所述，所求的质数 p 为 3 或 7。说明：处理整系数一元二次方程有整数根（或有理根）问题时，常常可用是完全平方数来讨论。例 6 试确定一切有理数 r，使得关于 x 的方程 rx2+(r+2)x+r1=0
9、有根且只有整数根。分析：可以从韦达定理入手，通过分解质因数建立关于方程整数根的方程组，先确定根，再求出系数。解：若 r=0，则方程 2x 1=0，解得 x= ，不是整数。21若 r0，则设 方程 rx2+(r+2)x+r1=0 的两整数根为 x1，x2。不妨设 x1x2，由韦达定理，得 rx121则 2x1x2(x 1+x2)=2 + =3 4x1x22x 12x 2+1=7r即(2x 11)(2x 21)=7因为 x1，x2 是整数，且 x1x2，所以或 解得 或72721420321x所以 =x1x2=4 或 0，得 r=- 或 r=1，故所求一切有理数为- 和 1。r33说明：本题为 2
10、002 年全国初中数学联赛第二试试题，有关一元二次方程整数根的问题，若强行根据判别式为完全平方式及求根公式来解，会碰到麻烦，而通过构造一元二次不定方程来求解，则容易得多。例 7 已知关于 x 的方程(a 21)( )2(2a+7) ( )+1=0 有实数根。1x1x求 a 的取 值范围； 若原方程的两个实根为 x1，x2，且 + = ，12x13求 a 的值。分析：注意到方程的特点，可以考虑用换元法，把 换成 t，应用判别式1x求出 a 的取 值范围；再根据 题设 + = ，借助韦达定理建立关于1x23a 的方程来求解。解：令 =t，则原方程可化为(a 21)t 2(2a+7)t+1=0 ，注
11、意到，当时1xt1时 ， =t 才有实数解，因此，这个关于 t 的一元二次方程应有一个使 t1 的解。当 a21 0，即 a=1 时，原方程变为-9t+1=0 或-5t+1=0 ，即 = 或1x9= ，解得 x=- 或 x=- 。x5814故当 a= 1 时，原方程有实根。当 a21 0，即 a1 时 ，方程有 实数根，故0。=-(2a+7)24(a 2 1)0，得 a- 2853又当时 t=1 时，(a 21)(2a+7)+1=0，解得 a=12 - ，2853这时0，方程有另一根满足 t1。综上所述，当 a- 且 a12 时，原方程有实根。28532由题设可知 t1= ，t2= 是方程的(
12、a 21)t 2(2a+7)t+1=0 两x1x个根，利用韦达定理，得 = ，即 3a2 22a80=072a3解得 a1=10，a2=- - ，由知 a- 且 a12 ，故 a=10。38585说明：本题为 2001 年全国初中数学竞赛试题，学生往往会犯两个错误，一是没有考虑到 a21=0 的情况，虽然不影响最后 结果，但解法不够严密；二是疏漏讨论 t1 的情形。例 8（2008 年武汉市初中数学竞赛试题）整数 a 使得关于 x、y 的方程组 对于每一个实数 bbaxy432总有实数解，求整数 a 的值。解：将 x=3ab+2y 代入得 2y2+(3ab)y(b 22a 2+3b+4)=0=(3ab) 2+8(b22a 2+3b+4)=9b26(a b)b 7a 2+32=(3b a+4)2(8a 2-8a16)0对于每一个实数 b 关于 x、y 的方程总有实 数解(8a2-8a 16)0 即 8(a2)(a+1) 0 -1a2整数 a 的值为-1，0，12
