1、1讲 授 内 容 备 注第二十六讲5.2 函数项级数2利用 准则判断一致收敛性Cauchy例 9 设 为 上的可导函数列，且在 上()nx,ab,ab有 1()nkuxC是不依赖于 和 的正数证明：若 在 上收Cx1()nux,ab敛，则必为一致收敛证 在 上收敛，01()nux,ab， ，当 时，0, ,0(,)NxnN有 01() ()2npkuxpA故当 时，N001111()()()()npnpnpnpkkkkuxxuux0011()()npnpkkk介于 之间0011()()npnpkkuxux0,x00111()()|()np npnkkk 02|2Cx取 ，则 时，4|3 学时从
2、局部性质延拓到整体性质至此不能说明一致收敛， 0(,)Nx21()npkux0(,(,)pxA对 上每点都采用上述步骤02,ab，当 ，, (,)0xNxnN且 时，有 (,)1npku)pA如此 组成了 的一个开覆盖(,)|,xxab,ab由有限覆盖定理，其中存在有限子覆盖不妨设为 (,)|,1,2iiiin令 ，则当 时， ，有1maxiinNnN,xab1()pknu()pA由 收敛准则知， 在 上一致收敛Cauchy1()nx,ab例 10 求证级数 si2sinx 在 的邻域内非一致收敛0x证 考虑 ，注意到1sinpkx2211nnkk只要在 的邻域内证明 某常数即可0xi时， ,
3、42t2sin4t所以只要保持 , (1,)kxkn则 2211sin2isi44nkk如此只要取 ，从而nxA32211sin()sin4kkx n()244kn即 ,nx所以，对 ，有02, 422 011sin2sini44kkx故级数在 的邻域内非一致收敛0例 11 证明： 在 上非一致收1nxne(0,)敛证 ，当 时， Ax1nxen所以通项 1 nxen0 , (0,)该级数在 上非一致收敛(0,)3利用常用的判别法证明一致收敛性判别法：关键是找优级数，常用的方法如下M求 在 上的最大值；01()nuxI利用已知的不等式；2利用 公式，微分中值定理03Taylor例 12 证明：
4、 在 上一致收敛21()nx0,1证 2() ,nnu求 在 上的()nuxI最大值4令 12()()(1)0nnnuxxx得稳定点： 0, 比较 知 为 在(), 1,2nnu2nu()nx上的最大值如此 0,22()1)1nnnux224n而 收敛，所以 在 上一致收敛214n21()nx0,1例 13 证明： 在 上一致收敛231arctn(,)证 在 附近，有0xtn|x，当 充分大时，有(,)23323232| 1arctnxxn且 收敛，321n由 判别法知，原级数在 上一致收敛M(,)例 14 证明： 在 内一致收敛21nxe0,证 ，有(0,)x2222()()1!nxxxen
5、n 利用已知的不等式 231xn利用 公式Taylor5而 收敛，21n由 判别法知，原级数在 内一致收敛M(0,)判别法与 判别法AbelDirchlet判别法：若 11()() nnuxabxI满足 在 上一致收敛；01()naxI一致有界，且对每个固定的 关于 单调02nbxn则 在 上一致收敛1()nuxI判别法：若 Dirchlet11()() nnuxabxI满足 关于 与 一致有界；01()nkax对每个固定的 关于 单调，且 时，02nbxn于 上()0nbI则 在 上一致收敛1()nuxI例 15 证明级数： 在 上一致收敛1sinx0,)证 当 时， 2 xmA1sinnx
6、当 时， 11sinsiisin2nk kxxx注：使用上述二判别法，关键是将通项写成两个因子相乘，使之符合判别法的条件62cosin2cosxx于是对一切 ，均有 （一致有0,)x1sinkx界）对每个固定的 关于 是单调递减的，1xn0,)xn且 10 xn()即当 时， 于 n 0,)由 判别法知， 在 上一致收Dirchlet1sinx,)敛例 16 设级数 收敛证明：级数 在1na 1nxae时一致收敛0x证 收敛， 在 时一致收敛1 na1 na0x当 时， ， 一致有界0xxex且当 时， 对每一个 是单调递减nx0故由 判别法知， 在 时一致收敛Abel1nxae例 17 设
7、均为常数级数 收敛120, , 1na试证： 在 上一致收敛 01!xntnaed,b7证 收敛，自然关于 一致收敛；01nax02 001(1)!xtnt neded，A,xb即 一致有界 01!xnted当 时，3b0,xb10001()!x xnt ntntededed即 关于 单调， （对固定的 ） 0!xnt,b由 判别法知， 在 上一致收敛Abel 01!xntnaed,例 18 证明： 在任何有穷区间 上231()xn,ab一致收敛但在任何一点 处不绝对收敛0证 由 知，该级数在任何一2233111 xxnnnee点 处不绝对收敛下证第一个结论0x，即关于 与 一致有界；1()2
8、 (1,)nkkn xn022223331()xxxeennn(,2)即 对任意的 关于 单调；23x,xab时， 0,x22330xCen本例说明一致收敛不意味着绝对收敛8()n其中 max|,|Cb因此当 时， 于 上n23 0en,ab由 判别法知， 在 上一致收Dirchlt231()xne,敛例 19 证明： 在 内一致收21()sinnx1(,)敛证 在使用 判别法时，可先用 判别法证AbelDirchlet一致收敛性，0121()()sinsinnnxx其中 关于 单调， ；(,)， ， 即关于 与 一致有1nx,12nAxn界；据 判别法，只需证明 在02Abel 1()sin
9、nx内一致收敛1(,)i） ， ， 11sinsini42kx(,1)2xnA所以 在 内关于 与 一致有界；1sinkx(,)xii） 在 内关于 单调递减，()1nnx(,)2n1x9211(1)0 0nnnxxx， ()(,)2即在 内， 且 ， 1(,)2()nxA0n于是据 判别法知，级数 在Dirchlet1()sinnx内一致收敛1(,)2综合 ， 据 判别法，命题成立02Abel二、一致收敛级数的性质1关于逐项取极限例 20 （逐项取极限定理） 设级数 在 的某1()nux0个空心邻域 内一致收敛00()|,Uxx，则 收敛，且0limnnxuC1n0 0111li()li()
10、nnnxxuC证 设 ，若 ，01(), ()nSUx1nC即证 0limxSC在 内一致收敛，1()nu0()x， ，当 时，对 ，有NnpA1()pknux0()xU令 ，得 0x1pknC10由 收敛准则知，级数 收敛 （ 为某个常Cauchy1nC数） 由 一致收敛及 的收敛性知，021()()nSxu 1n， ，当 时，对 ，有0N0()xU1(), 33nnkSxC将 暂时固定， 011()() ()nnkkxux故对 ， ，当 时，00|11()3nkSxC从而 11()()()nnnkkSxCC3即 0lim()xS即 00 01 11lili()lim()n nnxx xuS
11、Cu 例 21 假定函数 在区间 内单调增加，且n(,)又假定级数 在 内逐点收()0, 1,2nux 1nux(0,)敛，并且有上界那么 在 内一致收敛，并且1()nx,1010lim()li()nnxxuu11证 只要证明 在 内一致收敛，并且极限 1()nux0,存在10lim()nxu先证明 存在10li()nxu已知 又 收敛并且(), ,2n 1()()nSxu有上界所以，使得 0M()nuxM(0,)x,2)而 在区间 内单调增加，故 存在()nux,11limnxu记 ，则在 内有10lim()nnx(,)() ,2)nux再证 在 内一致收敛021n0,为此只需证明 收敛即可1()nu1 ()nkxSM(0,1)x令 ，得 01()nku(,2)n，故由正项级数的判别法知 收敛 ()k1()nu从而由 判别法， 在 内一致收敛M1()nux0,
