1、4.4 函数 yA sin(x )的图像及应用2014 高考会这样考 1.考查函数 yAsin(x )的图像变换；2.结合三角恒等变换考查 yA sin(x )的性质和应用； 3.考查给出图像的解析式复习备考要这样做 1.掌握“五点法”作图，抓住函数 yAsin(x )的图像的特征；2.理解三种图像变换，从整体思想和数形结合思想确定函数 yAsin(x)的性质1 用五点法画 yA sin(x )一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0 2 32 2 x 0 2 32 2yAsin(x) 0 A 0 A 02. 函数 ysin x 的图像经变换得到 yAsin(x )的图像的步骤如下：
2、3 图像的对称性函数 yAsin(x) ( A0，0)的图像是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数 yAsin(x)的图像关于直线 xx k(其中 xkk ，kZ )成轴对称图2形(2)函数 yAsin(x)的图像关于点 (xk,0)(其中 xkk，kZ)成中心对称图形4 三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型难点正本 疑点清源1作图时应注意的两点(1)作函数的图像时，首先要确定函数的定义域(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图像
3、时只要作出一个周期的图像，就可根据周期性作出整个函数的图像2 图像变换的两种方法的区别由 ysin x 的图 像，利用图像变换作函数 yAsin(x )(A0，0) (xR)的图像，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原 图像沿 x 轴的伸缩量的区别先平移变换再周期变换(伸缩变换 )，平移的量是 |个单位，而先周期变换(伸缩变换) 再平移变换，平移的量是 个单位|1 已知简谐运动 f(x)2sin (|0)，将 yf( x)的图像向右平移 个单位长度后，3所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于 ( )A. B3 C6 D913答案 C解析 由题意可知，nT (nN *)，3n
4、(nN *)，6n (nN *)，2 3当 n1 时， 取得最小值 6.4 把函数 y sin 的图像向右平移 个单位，再把所得函数图像上各点的横坐标缩短(5x 2) 4为原来的 ，所得的函数解析式为 ( )12Aysin By sin(10x 34) (10x 72)Cy sin Dysin(10x 32) (10x 74)答案 D解析 将原函数的图像向右平移 个单位，得到函数 ysin sin 的4 5(x 4) 2 (5x 74)图像；再把所得函数图像上各点的横坐标缩短为原来的 ，得到函数 ysin 的图12 (10x 74)像5. 已知简谐运动 f(x)A sin(x) (|0， 0)
5、的部分图像如图所示，则 f(0)的值是_(2)(2011辽宁)已知函数 f(x)Atan(x )(0，| |0)来确定 ；2 的确定：由函数 yAsin( x)k 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点) 的横坐标为(即令 x0，x )确定 . 已知函数 f(x)Asin(x ) ( A0，| |0)的图像的2一部分如图所示，则该函数的解析式为_答案 f(x) 2sin (2x 6)解析 观察图像可知：A2 且点(0,1)在图像上，12sin(0 )，即 sin .| | 时，BOM ，2 2hOABM0.85.64.8sin .( 2)当 0 时，上式也成立2h 与 间的函数关系式 为 h5.6
6、4.8sin .( 2)(2)点 A 在圆上转动的角速度是 弧度/秒，30t 秒转过的弧度数为 t，30h5.64.8sin ，t0，)(30t 2)首次到达最高点时，h10.4 米，即 sin 1， t ，(30t 2) 30 2 2即 t30 秒时，该缆车首次到达最高点探究提高 本题属三角函数模型的应用，通常的解决方法：转化为 ysin x，ycos x 等函数解决图像、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立 拟 合函数解决实际问题，充分体现
7、了新课标中“数学建模” 的本质如图所示，某地夏天从 814 时用电量变化曲线近似满足函数 yA sin(x)b，(0，)(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式解 (1)最大用电量为 50 万度，最小用电量为 30 万度(2)观察图像，可知从 814 时的图像是 yA sin(x) b 的半个周期的图像A (50 30)10，b (5030)40.12 12 148 ， ，y10sin 40.T2 122 6 (6x )将 x8，y30 代入上式，解得 ，6所求解析式为 y10sin 40，x 8,14 (6x 6)利用三角函数的性质求解析式典例：(12 分) 如
8、图为 yAsin(x)的图像的一段(1)求其解析式；(2)若将 yAsin(x)的图像向左平移 个单位长度后得 yf (x)，6求 f(x)的对称轴方程审题视角 (1)图像是 yAsin(x )的图像 (2)根据“五点法”作图的原则，M 可以看作第一个零点； 可以看作第二个零点(56，0)规范解答解 (1)由图像知 A ，3以 M 为第一个零点，N 为第二个零点2 分(3，0) (56，0)列方程组Error! 解之得Error!4 分所求解析式为 y sin .6 分3 (2x 23)(2)f(x) sin sin ，8 分3 2(x 6) 23 3 (2x 3)令 2x k(k Z )，则
9、 x (kZ)，10 分3 2 512 k2f(x)的对称轴方程为 x (kZ) 12 分512 k2第一步：根据图像确定第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点第二步：将“x ”作为一个整体，找到对应的值第三步：列方程组求解第四步：写出所求的函数解析式第五步：反思回顾，查看关键点、易错点及答题规范温馨提醒 (1)求函数解析式要找准图像中的“五点” ，利用方程求解 ，；(2)讨论性质时将 x 视为一个整体.方法与技巧1 五点法作函数图像及函数图像变换问题(1)当明确了函数图像基本特征后， “描点法”是作函数图像的快捷方式运用“五点法”作正、余弦型函数图像时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸
10、方向(2)在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移 ”也经常出现在题目中，所以也必须熟 练掌握，无 论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图像变换要看“变量” 起多大变化，而不是 “角”变 化多少2 由图像确定函数解析式由函数 yAsin( x)的图像确定 A、 的题型，常常以“五点法”中的第一零点作为突破口，要从图像的升降情况找准第一零点的位置要善于抓住特殊量和特( ，0)殊点3 对称问题函数 yAsin(x)的图像与 x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图像上坐标为(x，A)的点与 x 轴垂直的每一条直 线均为其图像的对称轴， 这样的最近两点
11、间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相 邻平衡点间的距离) 失误与防范1由函数 ysin x(xR)的图像经过变换得到函数 yAsin(x )的图像，在具体 问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸 缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把 x 前面的系数提取出来2函数 yAsin(x )的图像和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解 对称轴、 对称中心和单调区间 等3注意复合形式的三角函数的单调区间的求法函数 y Asin(x )(A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把 x 看做一个整体在 单调性应 用方面，比较大小是一类常见的题目，依据
12、是同一区间内函数的 单调性A 组 专项基础训练(时间：35 分钟， 满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1 将函数 ysin x 的图像向左平移 (00，函数 f(x)sin 在 上是减少的，则 的取值范围(x 4) (2，)是 ( )A. B.12，54 12，34C. D(0,2(0，12答案 A解析 取 ，f(x)sin ，54 (54x 4)其减区间为 ，kZ ，85k 5，85k 显然 ，kZ，(2，) 85k 5，85k 排除 B，C.取 2，f( x)sin ，(2x 4)其减区间为 ，kZ ，k 8，k 58显然 ，k Z，排除 D.(2，)k 8，k 5
13、83 将函数 ysin(x)的图像 F 向左平移 个单位长度后得到图像 F，若 F的一个对称6中心为 ，则 的一个可能取值是 ( )(4，0)A. B. C. D.12 6 56 712答案 D解析 图像 F对应的函数 ysin ，(x 6 )则 k，k Z ，即 k ，kZ，4 6 512令 k1 时， ，故 选 D.7124 若函数 f(x)2sin(x) ，x R(其中 0，|0 ， 0)在闭区间，0上的图像如图所示，则 _.答案 3解析 由图像可以看出 T ，T ，因此 3.32 23 26 已知 f(x)sin (0)，f f ，且 f(x)在区间 上有最小值，无最大值，(x 3)
14、(6) (3) (6，3)则 _.答案 143解析 依题意，x 时， y 有最小值，6 32 4sin 1， 2k (kZ)(4 3) 4 3 328k (kZ)，f(x) 在区间 上有最小值，无最大值， 0，0)的最大值为 3，其图像相邻两条(x 6)对称轴之间的距离为 .2(1)求函数 f(x)的解析式；(2)设 ，f 2，求 的值(0，2) (2)解 (1)函数 f(x)的最大值为 3，A13，即 A2.函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，2最小正周期 T，2，函数 f(x)的解析式为 y2sin 1.(2x 6)(2)f 2sin 12，(2) ( 6)sin .( 6) 1200
15、)个单位，得到的图像恰好关于 x 对称，则 的6最小值为 ( )A. B. C. D以上都不对512 116 1112答案 A解析 ysin 2x 的图像向右平移 个单位得到 ysin 2(x )的图像，又关于 x 对称，6则 2 k (kZ)，2 k (kZ)，取 k1，得 .(6 ) 2 6 5122 设 0，函数 ysin(x )2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则 的最3 43小值是 ( )A. B. C. D323 43 32答案 C解析 由函数向右平移 个单位后与原图像重合，43得 是此函数周期的整数倍又 0，43 k (kZ)， k(kZ)， min .2 43 32 3
16、23. 电流强度 I(安) 随时间 t(秒)变化的函数 IAsin(t)(A 0，0,00， )的图像上的两个相邻的最高点和最低点的2 2距离为 2 ，且过点 ，则函数解析式 f(x)_.2 (2， 12)答案 sin (x2 6)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为 2 ，可得 2 ，解得 T4，2 (T2)2 1 12 2故 ，即 f(x)sin ，又函数 图像过点 ，故 f(2)sin()sin 2T 2 (x2 ) (2， 12) ，又 ，解得 ，故 f(x)sin .12 2 2 6 (x2 6)6 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 yaAcos(x
17、1,2,3，12，A0)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28，6x 612 月份的月平均气温最低，为 18，则 10 月份的平均气温值为_.答案 20.5解析 由题意得Error! Error!y235cos ，6x 6x10 时，y235 20.5.( 12)三、解答题7(13 分)(2012湖南)已知函数 f(x)Asin(x)(xR ，0,0 ) 2的部分图像如图所示(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 g(x)f f 的单调递增区间(x 12) (x 12)解 (1)由题设图像知，周期 T2 ，(1112 512)所以 2.因为点 在函数图像上，2T (512，0)
18、所以 Asin 0，即 sin 0.(2512 ) (56 )又因为 0 ，所以 .2 56 56 43从而 ，即 .56 6又点(0,1)在函数图像上，所以 Asin 1，解得 A2.6故函数 f(x)的解析式为 f(x)2sin .(2x 6)(2)g(x)2sin 2sin2(x 12) 6 2(x 12) 62sin 2x2sin (2x 3)2sin 2x2 (12sin 2x 32cos 2x)sin 2x cos 2x2sin .3 (2x 3)由 2k 2x 2k ，kZ，2 3 2得 k xk ，kZ.12 512所以函数 g(x)的单调递增区间 是 ，kZ.k 12，k 512
