1、高 职 高 专 教 材工 程 数 学线 性 代 数丛 政 义 编 著东 北 大 学 出 版 社4 沈 阳 4书名:工程数学线性代数作者:丛政义 责任编辑： 出版社:东北大学出版社ISBN:7-81054-987-1/TB11出版日期：2004年1月 定价：20.00元目 录第 一 章 行 列 式 与 克 莱 姆 法 则 1第 一 节 二 阶 与 三 阶 行 列 式 1第 二 节 n 阶 行 列 式 与 计 算 性 质 8第 三 节 克 莱 姆 法 则 20总 习 题 一 24第 二 章 矩 阵 与 线 性 方 程 组 的 解 28第 一 节 矩 阵 的 概 念 28第 二 节 矩 阵 的 运
2、算 30第 三 节 逆 矩 阵 38第 四 节 矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 方 阵 44第 五 节 矩 阵 的 秩 49第 六 节 线 性 方 程 组 的 高 斯 消 元 法 53总 习 题 二 62第 三 章 向 量 与 线 性 方 程 组 解 的 结 构 65第 一 节 向 量 的 概 念 及 运 算 65第 二 节 向 量 组 的 线 性 相 关 性 67第 三 节 向 量 组 的 秩 75第 四 节 线 性 方 程 组 解 的 结 构 79总 习 题 三 89习 题 参 考 答 案 911第 一 章 行 列 式 与 克 莱 姆 法 则行 列 式 作 为 线 性 代 数 的
3、基 本 工 具 , 在 解 线 性 方 程 组 和 工 程 技 术上 的 许 多 问 题 中 , 都 有 很 重 要 的 应 用 . 本 章 在 给 出 行 列 式 的 定 义 后 , 讨 论 了 行 列 式 的 基 本 性 质 与 计 算 方 法 , 最 终 给 出 了 解 线 性 方 程 组 的 克 莱 姆 法 则 .第 一 节 二 阶 与 三 阶 行 列 式设 方 程 组由 消 元 法 解 得若 则a11 x1 + a12 x2 = b1 ,a21 x1 + a22 x2 = b2 ,( a1 1 a2 2 - a1 2 a2 1 ) x1 = b1 a2 2 - b2 a12 , (
4、a1 1 a2 2 - a1 2 a2 1 ) x2 = a11 b2 - a21 b1 .a11 a2 2 - a1 2 a2 1 0 ,1 2 2 2 1 2 a1 1 b2 - a2 1 b1 x1 = b a - b a , x2 = .a11 a22 - a12 a21 a11 a22 - a12 a21定 义 1 -1 把 4 个 数 a11 , a1 2 , a21 , a22 排 成 的 表a1 1 a1 2a2 1 a2 2称 为 阶 行 列 式 , 其 值 表 示 为 a11 a22 - a12 a21 , 即2 工 程数 学 线 性 代 数a1 1 a1 2a2 1 a2
5、 2 = a1 1 a2 2 - a1 2 a21 , ( 1 -1)其 中 , a11 , a1 2 , a21 , a2 2 称 为 行 列 式 的 素 , 其 下 标 的 第 一 个 数 表 示 它 所 在 的 行 数 , 第 二 个 数 表 示 它 所 在 的 列 数 .由 定 义 1 -1 , 以 上 二 元 线 性 方 程 组 的 解 可 表 示 为b1 a12b2 a2 2 a1 1 b1a2 1 b2 x1 = a1 1 a1 2, x2 = a11 a12.若 记a1 1 a1 2D =a2 1 a2 2则 有a2 1 a2 2, D1 = b1 a12b2 a22a21 a
6、22, D2 =a11 b1 ,a21 b2x1 = D1 D , x2 =D2 D .【 例 1 -1】 求 解 线 性 方 程 组2 x + 5 y = 12 ,3 x - 4 y = - 5.解 因 为D = 2 53 - 4 = 2 ( - 4) - 53 = - 23 0 ,D1 = 12 5- 5 - 42 12= 12 ( - 4 ) - 5 ( - 5 ) = - 23 ,D2 =所 以3 - 5 = 2 ( - 5) - 12 3 = - 46 ,D1 x1 = D = 1 , x2D2 = D = 2.3第 一 章 行 列 式 与 克 莱 姆 法 则aaa设 方 程 组由
7、消 元 法 解 得a1 1 x1 + a1 2 x2 + a13 x3 = b1 , a2 1 x1 + a2 2 x2 + a23 x3 = b2 , a3 1 x1 + a3 2 x2 + a33 x3 = b3 ,( a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a3 2 -a1 1 a2 3 a3 2 - a1 2 a21 a33 - a13 a22 a31 ) x1 =b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a13 b2 a3 2 -b1 a23 a3 2 - a1 2 b2 a33 - a13 a22 b3 ,( a11 a22 a33 + a
8、12 a23 a31 + a13 a21 a3 2 -a1 1 a2 3 a3 2 - a1 2 a21 a33 - a13 a22 a31 ) x2 =a11 b2 a33 + b1 a2 3 a3 1 + a13 a21 b3 -a11 a23 b3 - b1 a21 a33 - a13 b2 a31 ,( a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a3 2 -a1 1 a2 3 a3 2 - a1 2 a21 a33 - a13 a22 a31 ) x3 =( a11 a22 b3 + a12 b2 a3 1 + b1 a21 a3 2 -a11 b2 a3
9、2 - a12 a21 b3 - b1 a22 a3 1 ) .若a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31 0,则b1 a22 a3 3 + a12 a2 3 b3 + a13 b2 a3 2 - b1 a23 a32 - a1 2 b2 a33 - a1 3 a22 b3 x1 =11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31 ,a11 b2 a3 3 + b
10、1 a23 a3 1 + a13 a2 1 b3 - a1 1 a23 b3 - b1 a2 1 a33 - a1 3 b2 a31 x2 =11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31 ,a11 a2 2 b3 + a12 b2 a3 1 + b1 a21 a3 2 - a1 1 b2 a32 - a1 2 a21 b3 - b1 a2 2 a31 x3 =11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a32 - a12 a2
11、1 a33 - a13 a22.a314 工 程数 学 线 性 代 数定 义 1 -2 把 9个 数 排 成 的 表a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33称 为 阶 行 列 式 , 其 值 表 示 为a11 a1 2 a1 3a21 a2 2 a2 3a31 a3 2 a3 3= a1 1 a2 2 a3 3 + a1 2 a2 3 a31 + a13 a21 a32 -a1 1 a2 3 a3 2 - a1 2 a2 1 a33 - a13 a22 a31 . ( 1 -2)由 式 (1 -1) 和 (1 -2 ) 可 以 看 出 , 二 阶 与 三 阶 行 列
12、式 右 端 展 开 式 的个 数 分 别 为 2 ! 和 3 !, 且 每 项 乘 积 的 各 元 素 都 位 于 行 列 式 不 同 的 行和 列 , 而 带 “ + ”号 和 “ - ”号 项 的 个 数 各 占 一 半 .式 (1 -2) 的 记 忆 方 法 如 下 图 所 示 :其 中 , 实 线 乘 积 为 “ + ”号 , 虚 线 乘 积 为 “ - ”号 .由 定 义 1 -2 可 知 , 以 上 三 元 线 性 方 程 组 的 解 可 表 示 为其 中 ,x1 =D1 D , x2 =D2 D , x3 =D3 D .D =D2 =a1 1 a12 a13a2 1 a22 a2
13、3a3 1 a32 a33a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33, D1 =, D3 =b1 a12 a13b2 a22 a23 ,b3 a32 a33a11 a12 b1a21 a22 b2 .a31 a32 b3【 例 1 -2】 计 算 三 阶 行 列 式5第 一 章 行 列 式 与 克 莱 姆 法 则i j解 由 定 义 1 -2 知1 - 2 11 - 2 12 1 - 3 .- 1 1 - 12 1 - 3- 1 1 - 1= 11 ( - 1) + ( - 2) ( - 3) ( - 1) + 121 - 1( - 3) 1 - ( - 2) 2 ( - 1
14、) -11 ( - 1) = - 5.为 了 便 于 对 行 列 式 运 算 进 行 讨 论 , 给 出 行 列 式 的 形 式 定 义 和 行 列 式 的 余 子 式 与 代 数 余 子 式 的 概 念 .定义 1 -3 由 n2 个 数 a ( i, j = 1 , 2, , n)排 成 的 数 表a11 a12 a1 na21 a22 a2 nD = an1 an2 ann称为 n 阶 行 列 式 . 其 中 的 每 个 数 , 称 为 行 列 式 的 素 , 其 下 标 的 第 一 个 数 表 示 它 所 在 的 行 , 第 二 个 数 表 示 它 所 在 的 列 , aij 表 示
15、第 i 行 第 j 列的 元素 . 当 n = 1 时 , D = | a11 | = a11 .定义 1 -4 在 n 阶 行列 式 中 , 将 元素 aij 所 在 的行 和 列划 去 , 剩 下 的元 素保 持 位置 不变 , 从 而 , 构 成 一 个 n - 1 阶 行 列 式 , 称 之 为 aij 的子 式 , 记为 Mi j , 并记 Aij = ( - 1) i + j Mij , 称 之 为 aij 的 数余 子 式 .由此 , 二 阶 行 列 式 能 够 写 成a11 a12a21 a22= a11 ( - 1)1 + 1 | a22 | + a12 ( - 1)1 +
16、2 | a21 |= a11 ( - 1)1 + 1 M11 + a12 ( - 1)1 + 2 M12= a11 A11 + a1 2 A1 2 ,即6 工 程数 学 线 性 代 数1 + 1a11 a12a21 a22 = a11 A11 + a12 A12 . (1 -3)事 实 上 , 二 阶 行 列 式 按 行 能 够 写 成a11 a12按 列 能 够 写 成a21 a22a11 a12a21 a22= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 , i = 1 , 2; (1 -4)= a1 j A1 j + a2 j A2 j , j = 1 , 2. (1 -5)三 阶 行 列 式
17、能 够 写 成a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33= a11 ( a22 a33 - a23 a32 ) - a12 ( a21 a33 - a23 a31 ) +a13 ( a21 a32 - a22 a31 )a22 a23= a11 ( - 1 ) a32 a33+ a12 ( - 1)1 + 2 a21 a23a31 a33+ a13 ( - 1)1 + 3 a21 a22a31 a32= a11 ( - 1 )1 + 1 M1 1 + a12 ( - 1)1 + 2 M12 +a13 ( - 1 )1 + 3 M1 3= a11 A11 + a12 A1
18、2 + a1 3 A1 3 ,即a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33= a11 A11 + a12 A12 + a1 3 A1 3 . (1 -6)事 实 上 , 三 阶 行 列 式 按 行 能 够 写 成7第 一 章 行 列 式 与 克 莱 姆 法 则a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33按 列 能 够 写 成a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 , i = 1 , 2 , 3 ;(1 -7)= a1 j A1 j + a2 j A2 j + a3
19、 j A3 j , j = 1 , 2, 3.(1 -8)称式 (1 -4) , (1 -5) , ( 1 -7) , ( 1 -8 ) 为 行 列 式 按 行 或 按 列 的 开 定. 按 第 i 行 展 开 时 可 表 示 为 r ( i) , 按 第 j 列 展 开 时 可 表 示 为 c( j) .习题 1 -11 . 计 算 下 列 行 列 式3 0 8 1 - 1 3(1) 1 3 4 ; ( 2) 2 1 - 1 ;5 0 6 0 - 4 83 2 1 1 3 2(3) - 1 1 2 ; ( 4) 2 1 3 ;2 0 - 5 3 2 11 3 8 a 2 - 3(5) 1 1
20、 9 ; ( 6) b 3 1 .1 4 5 c - 5 42 . 用 行 列 式 解 下 列 方 程 组5 x1 - 4 x2 = 12 ,(1)x1 + x2 = - 3 ; ( 2)2 x1 + 5 x2 = 1 ,3 x1 + 7 x2 = 2 ;8 工 程数 学 线 性 代 数a11 a12 a1 na21a22a2 nan1 an2 anna11 a12 a1 na21a22a2 nan1 an2 ann(3)x1 + x2 - 2 x3 = - 3 , 5 x1 - 2 x2 + 7 x3 = 22 ,2 x1 - 5 x2 + 4 x3 = 4;( 4)x1 + 2 x2 +
21、x3 = 0 , 2 x1 - x2 + x3 = 1 , x1 - x2 + 2 x3 = 3.第 二 节 n 阶 行 列 式 与 计 算 性 质一 、 n 阶 行 列 式如 果 将 式 (1 -3) , (1 -6) 看 做 二 阶 与 三 阶 行 列 式 值 的 定 义 , 那 么 , 可 以 看 出 二 阶 行 列 式 是 由 一 阶 行 列 式 构 成 的 ; 三 阶 行 列 式 是 由 二 阶 行 列 式 构 成 的 . 仿此 , 假 定 已 经 定 义 了 n - 1 阶 行 列 式 , 那么 , 可 以 循 此 方 法 用 n - 1 阶 行 列 式 来 定 义 n 阶 行 列
22、 式 . 一 个 二 阶 行 列 式 可 按 任 意 的 一 行 或 列 用 一 阶 行 列 式 展 开 , 而 三 阶 行 列 式 可 以 按 任 意 一 行 或 列 用 二 阶 行 列 式 来 展 开 , 因 此 , 可 以 将 n 阶 行 列 式 按 任 意 一 行 或 列 展 开 成 n - 1阶 行 列 式 来 定 义 , 而 一 个 n 阶 行 列 式 按 其 他 行 或 列 的 展 开 定 理 可 由 定 义 进 行 推 证 . 为 方 便 起 见 , 给 出 如 下 的 n 阶 行 列 式 定 义 .定义 1 -5 由 n2 个 数 ai j ( i, j = 1 , 2, ,
23、 n) 所 构 成 的 n 阶 行 列 式 的 值 为D = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain , i = 1 , 2 , , n,或D =9第 一 章 行 列 式 与 克 莱 姆 法 则1 2 3 41 3 1 23 - 1 1 21 2 0 - 53 1 2a11 0 0a21a2 20an1 an2 ann1 1 23 1 2 = - 10 ,= a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj , j = 1, 2 , , n,其中 , Ai j 为 aij 的 代数 余子 式 , 且当 n = 1 时 , D = | a11 | = a11
24、 .【 例 1 -3】 计算 四阶 行 列式D = .解 A11 = ( - 1)1 + 1 - 1 1 23 0 - 5= - 20 ,A12 = ( - 1)1 + 2A13 = ( - 1)1 + 31 0 - 51 3 23 - 1 21 2 - 51 3 1= 66 ,A14 = ( - 1)1 + 4所以3 - 1 11 2 0= - 8.D = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a1 4 A1 4= 1 ( - 20) + 2 ( - 10) + 366 + 4 ( - 8) = 126.【 例 1 -4】 求 D = 称 为 下 三 角 形 行 列 式
25、 的值 .10 工 程数 学 线 性 代 数a11 0 0a21a220an1 an2 anna1 1 a12 a1 n0a22a2 n0 0 anna11 a12 a1 n0 a22 a2 n 0 0 anna22 a23 a2 n0 a33 a3 n1 + 111 ( - 1) 0 0 ann解 D = a11 ( - 1)1 + 1a2 2 0 0a3 2 a33 0 an2 an3 ann= a11 a22a3 3 0 0a4 3 a44 0 an3 an4 ann= = a11 a2 2 ann .【 例 1 -5】 求 行 列 式 D = ( 称 为 上 三 角 形 行列式 ) 的
26、 值 .解 D = a11第 一 章 行 列 式 与 克 莱 姆 法 则= a11 a22a33 a34 a3 n0 a44 a4 n 0 0 ann= = a11 a22 ann .a11 0 00 a22 0【 例 1 -6】 求 D = 0 0 ann行 列 式 ( 称 为 对 角 形 行 列式 ) 的 值 .解 D =a11 0 00 a22 0 0 0 anna22 0 00 a33 0= a11 ( - 1)1 + 1 0 0 ann= a11 a22a33 0 00 a44 0 0 0 ann= = a11 a22 ann .二 、 行 列 式 的 运 算 性 质将 行 列 式
27、D 的 行 与 列 对 应 元 素 互 换 后 所 得 的 新 行 列 式 称 为 行 列 式 D 的 置 行 列 式 , 记 作 D 或 DT , 即 若12 工 程数 学 线 性 代 数a1 1a2 1a1 2a2 2a1 na2 n an1 an2 anna11 a21 an1a12a22an2a1 n a2 n anna1 1 a1 2 a1 na2 1a2 2a2 nan1 an2 annD = ,则D = .性 质 1 -1 行 列 式 D 的 值 与 它 的 转 置 行 列 式 D 的 值 相 等 .证 设D = ,而D =a11 a21 an1a12 a22 an2 = a1
28、n a2 n anna11 a12 a1 na21 a22 a2 n . an1 an2 ann 显 然 , 当 n = 2 时 结 论 正 确 . 现 假 定 当 n - 1 时 结 论 成 立 , 去 证 n 时 结 论 也 成 立 . 因 为nD = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain = j = 1而ai j Ai j ,Ai j = ( - 1) i + j Mij = ( - 1 ) i + j Mj i = ( - 1 ) j + i Mj i = Aj i ,且aij = aji ,13第 一 章 行 列 式 与 克 莱 姆 法 则 ai1 ai2 ai
29、nai + 1 , 1ai + 1 , 2ai + 1 ,n所 以nD = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain = j = 1aij A ijn= j = 1aj i A j i = D ,故 结 论 正 确 .性 质 1 -1 说 明 行 列 式 的 行 与 列 所 处 的 地 位 相 同 , 因 此 , 行 列 式的 行 所 具 有 的 一 切 性 质 对 列 也 同 样 成 立 , 反 之 亦 然 .性 质 1 -2 交 换 行 列 式 中 的 任 何 两 行 ( 列 ) , 行 列 式 的 值 变 号 .证 先 证 相 邻 两 行 进 行 交 换 结 论 成 立
30、 .设D = ,将 第 i 行 和 第 i + 1 行 进 行 交 换 , 得 ai + 1 , 1 ai + 1 , 2 ai + 1 , nD1 = ai1 ai2 ain r( i + 1 ) ai1 ( - 1) ( i + 1 ) + 1 Mi1 + ai2 ( - 1 ) ( i + 1 ) + 2 Mi2 + +ain ( - 1) ( i + 1 ) + n Mini + 1 i + 2= - ai1 ( - 1)i + nMi1 + ai2 ( - 1) Mi2 + +ain ( - 1) Min = - ( ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain ) =
31、 - D .再 证 任 意 两 行 交 换 结 论 仍 然 成 立 .设 将 行 列 式 D 中 第 i 行 和 第 j 行 交 换 ( j i) , 将 第 j 行 向 上 与其 他 各 行 交 换 j - i 次 到 达 第 i 行 , 而 此 时 , 原 第 i 行 正 处 于 第 i + 114 工 程数 学 线 性 代 数行 , 将 此 行 向 下 与 其 他 各 行 交 换 j - ( i + 1 ) = j - i - 1 次 到 达 第 j 行 , 则 第 i 行 与 第 j 行 交 换 完 毕 时 共 交 换 了 2 ( j - i) - 1 次 , 此 时 新 的 行 列
32、式 的 值 应 为 ( - 1 )2 ( j - i) - 1 D = - D .性 质 1 -3 行 列 式 中 某 一 行 ( 列 ) 的 公 因 子 k 0 可 以 提 到 行 列式 外 面 来 .证 设 D = ai1 ai2 ain , 而r ( i)D1 = k ai1 k ai2 k ain , D1 kai1 Ai1 + k ai2 Ai2 + + k ain Ain= k( ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain ) = kD .性 质 1 -4 行 列 式 中 满 足 下 列 条 件 之 一 者 , 行 列 式 的 值 为 零 . (1 ) 行 列 式
33、中 有 一 行 ( 列 ) 的 元 素 全 为 零 ;(2 ) 行 列 式 中 有 两 行 ( 列 ) 的 元 素 对 应 相 等 ;(3 ) 行 列 式 中 有 两 行 ( 列 ) 的 元 素 对 应 成 比 例 . ( 证 明 由 读 者 完 成 ) .由 性 质 1 -4 第 ( 2) 条 有 0 =r( j )ai1 ai2 ain ai1 ai2 ain 第 i 行第 j 行ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + + ain Ajn ( i j15第 一 章 行 列 式 与 克 莱 姆 法 则)由 此 得 出 如 下 推 论 .n= k = 1aik A jk推 论 行 列 式 某
34、一 行 ( 列 ) 的 元 素 与 它 自 身 对 应 代 数 余 子 式 乘 积 的 代 数 和 为 行 列 式 本 身 ; 行 列 式 某 一 行 ( 列 ) 的 元 素 与 另 外 一 行 ( 列 ) 的 对 应 代 数 余 子 式 乘 积 的 代 数 和 为 零 , 即nk = 1aik A jk = D, i = j ,0 , i j .性 质 1 -5 行 列 式 某 一 行 ( 列 ) 的 元 素 都 是 两 个 数 的 和 , 则 行 列式 等 于 两 个 行 列 式 的 和 , 即 D = bi1 + ci1 bi2 + ci2 bin + cin = bi1 bi2 bin
35、 + ci1 ci2 cin = D1 + D2 .n证 D = j = 1n( bi j + cij ) Aij = j = 1nbij A ij + j = 1cij A ij= D1 + D2 .性 质 1 -6 将 行 列 式 的 某 一 行 ( 列 ) 的 元 素 的 k 倍 加 到 另 外 一 行( 列 ) 的 对 应 元 素 上 去 , 则 行 列 式 的 值 不 变 . 证ai1 + k aj1ai2 + k aj2ain + k ajnaj1aj2ajn16 工 程数 学 线 性 代 数- 1 - 1 2- 1 0 22 - 1 01 1 0- 1 0ai1ai2ainaj1
36、aj2ajn= + k aj1 aj2 ajn aj1 aj2 ajn =ai1aj1ai2aj2ainajn = D .【 例 1 -7】 计 算01D = .- 12r1 - r2解 Dc3 - c1- 1 01 - 1 0 2- 1 2 - 1 02 1 1 0- 1 0 0= 2( - 1)2 + 4- 1 0 - 1- 1 2 - 12 1 12【 例 1 -8】 证 明- 1 2 02 1 - 1= 2 ( - 1) 2 ( - 1) = 4 .a1 + b1 b1 + c1 c1 + a1 a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a3 + b3 b3 + c3 c3 +
37、a3a1 b1 c1= 2 a2 b2 c2 .a3 b3 c317第 一 章 行 列 式 与 克 莱 姆 法 则x + ( n - 1) a a a ax + ( n - 1) a x a ax +( n - 1) aaxax + ( n - 1) a a a x证 左 端 c1 + c2 + c3 2a1 + b1 + c1 b1 + c1 c1 + a1 a2 + b2 + c2 b2 + c2 c2 + a2 a3 + b3 + c3 b3 + c3 c3 + a3c2 - c1 2c3 - c1a1 + b1 + c1 - a1 - b1 a2 + b2 + c2 - a2 - b2
38、 a3 + b3 + c3 - a3 - b3c1 a1 b1 a1 b1 c1c1 + c2 + c3 2- c2 , - c3【 例 1 -9】 计 算c2 a2 b2c3 a3 b3c1 c2 2c2 c3 a2 b2 c2 .a3 b3 c3x a a aa x a aD = .a a x aa a a x( 主 对 角 线 上 的 元 素 都 为 x, 其 余 都 为 a)x a a a解 D =axaaa a x aa a a xc1 + c2 + + c n18 工 程数 学 线 性 代 数1 a a1xa1 a x= x + ( n - 1) ar i - r1i = 2 ,
39、3 , , n x + ( n - 1) a1 a a0 x - a 0 0 0 x - a= x + ( n - 1) a ( x - a) n - 1 .【 例 1 -10】 证 明a11 a1 k 0 0 ak1 akk 0 0D =c11 c1 k b11 b1 m cm1 cm k bm1 bmma1 1 a1 k= ak 1 akkb11 b1 m .bm1 bmm证 设 D1 =a1 1 a1 k ak1 akk, D2 =b11 b1 m .bm1 bmm运 用 行 列 式 的 运 算 性 质 , 总 可 以 将 D1 与 D2 化 成 下 三 角 形 行 列 式 , 即 对
40、D1 做 若 干 次 ri + r j 类 的 运 算 得a1 0D1 = w = a1 ak .ak19第 一 章 行 列 式 与 克 莱 姆 法 则对 D2 做 若 干 次 ci + cj 类 的 运 算 得b1 0D2 =所 以a1w = b1 bm .bmw 0D = akc11 c1 k b1 wcm1 cmk bm= a1 ak b1 bm = D1 D2 .习 题 1 -21 . 计 算 下 列 行 列 式1 0 0 01 1 1 04 1 10 01 2 5 1(1 ) 1 0 1 10 1 1 0; (2 ) ;2 0 2 14 2 0 7(3 )1 2 3 42 3 4 1
41、3 4 1 24 1 2 3; (4 )1 1 1 11 - 1 1 1 ;1 1 - 1 11 1 1 - 1(5 )5 1 4 10 - 1 1 14 2 2 12 1 0 1; (6 )1 3 0 02 4 0 0 ;0 0 - 1 30 0 5 120 工 程数 学 线 性 代 数1 0 2 a2 0 b 03 c 4 5d 0 0 0a b b baabaabbab b b aa + b a a aaaa + caaa + daaa a a a22 2 2 3(7 ) ; (8 ) ;(9 ) .2 . 证 明 下 列 恒 等 式a b c da a + b a + b + c a
42、+ b + c + d(1 )a 2 a + b 3 a + 2 b + c 4 a + 3b + 2 c + da 3 a + b 6 a + 3 b + c 10 a + 6 b + 3 c + d a2 ( a + 1 )2 ( a + 2 )2 ( a + 3)3b2 ( b + 1)2 ( b + 2)2 ( b + 3 )3= a ;(2 ) c2 ( c + 1 )2 ( c + 2)2 ( c + 3)3 = 0 .d ( d + 1) ( d + 2) ( d + 3 )第 三 节 克 莱 姆 法 则含 有 n 个 未 知 量 和 n 个 线 性 方 程 的 线 性 方 程
43、组a1 1 x1 + a1 2 x2 + + a1 n xn = b1 a2 1 x1 + a2 2 x2 + + a2 n xn = b2an1 x1 + an2 x2 + + ann x n = bn( 1 -9)21第 一 章 行 列 式 与 克 莱 姆 法 则a1 1a2 1a12a22a1 na2 n an1 an2 anna11 a1 j - 1 b1 a1 j + 1 a1 na21a2 j - 1b2a2 j + 1a2 nan1 anj - 1 bn anj + 1 ann an1 an, j - 1 bn an, j + 1 ann设 D = 称 为 式 ( 1 -9) 的
44、 系 数 行 列 式 , 且Dj = , j = 1 , 2 , , n .Dj 是 将 D 中 第 j 列 元 素 换 成 对 应 式 ( 1 -9) 的 常 数 项 所 做 成 的 列 而 得 到 的 n 阶 行 列 式 .定 理 ( 克 莱 姆 法 则 ) 若 线 性 方 程 组 ( 1 -9 ) 的 系 数 行 列 式 D 0 ,则 这 个 方 程 组 有 惟 一 解xj = Dj D , j = 1 , 2 , , n . (1 -10)证 D xj =a1 1 a1 j - 1 xj a1 j a1 j + 1 a1 na2 1 a2 j - 1 xj a2 j a2 j + 1
45、a2 n an1 anj - 1 xj anj anj + 1 anncj + x k ckk = 1 , 2 , , n ; k ja11 a1 j - 1 a11 x1 + a12 x2 + + a1 n x n a1 j + 1 a1 na21a2 j - 1a21 x1 + a22 x2 + a2 n x n a2 j + 1a2 nan1 anj - 1 an1 x1 + an2 x2 + + ann xn an j + 1 anna1 1 a1 , j - 1 b1 a1 , j + 1 a1 na2 1 a2 , j - 1 b2 a2 , j + 1 a2 n= = Dj .2
46、2 工 程数 学 线 性 代 数D D因 为 D 0 , 所 以 xj =式 (1 -10 ) .D jD , j = 1 , 2 , , n, 它 说 明 式 ( 1 -9) 的 解 必 是下 面 验 证 式 (1 -10 ) 是 式 ( 1 -9) 的 解 .将 式 (1 -10 ) 代 入 第 i 个 方 程 中 的 左 式 得D1 D2 Dj Dnai1 = 1D + ai2 naij DjD + + aij D + + ain D j = 1n= 1 j = 1 aij ( b1 A1 j + b2 A2 j + + bi Ai j + + bn An j )n n= 1D b1 ai j A1 j + b2 ai j A2 j + +j = 1nj = 1nbi aij A ij + + bn aij A njj = 1 j = 1= 1 bi D = bi = 右 式 .D即 式 (1 -10 ) 是 式 ( 1 -9) 的 解 .如 果 式 (1 -9) 的 常 数 项 均 为 零 , 即a11 x1 +
