工程数学 - 概率论.docx-道客多多

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1、高职高专教材工程数学概率论丛政义编著东北大学出版社沈阳9 丛政义 2004图书在版编目 ( CIP ) 数据工程数学 / 丛政义编著 . 沈阳 : 东北大学出版社 , 2004 . 1 ISBN 7-81054-987-1 . 工 . 丛 . 工程数学 . TB11中国版本图书馆 CIP 数据核字 ( 2004 ) 第 000530 号出版者 : 东北大学出版社地址 : 沈阳市和平区文化路 3 号巷 1 1 号邮编 : 1 10 0 04电话

2、: 0 24 8 3 68 7 33 1 ( 市场部 ) 8 3 68 0 26 7 ( 社务室 )传真 : 0 24 8 3 68 0 18 0 ( 市场部 ) 8 3 68 0 26 5 ( 社务室 )E-m ail: ne up h n eupr ess . com h t tp : www . neu press. com印刷者 : 东北大学印刷厂发行者 : 东北大学出版社幅面尺寸 : 140mm203mm印张 : 6 . 75字数 : 181 千字出版时间 : 2004 年 1 月第 1 版印刷时间 : 2

3、004 年 1 月第 1 次印刷责任编辑 : 张德喜孟颖任彦斌责任校对 : 高田封面设计 : 唐敏智责任出版 : 秦力定价 : 28 . 00 元 ( 本册定价 : 14 . 00 元 )目录第一章随机事件与概率 1第一节随机事件 1第二节随机事件的概率 5第三节条件概率、全概率公式与 * 贝叶斯公式 15第四节事件的相互独立性与伯努利 ( Bernoulli) 概型 23习题一 30第二章随机变量

4、34第一节一维随机变量与分布函数 34第二节二维随机变量 51习题二 69第三章随机变量的数字特征 74第一节数学期望 74第二节方差 83* 第三节相关系数 87* 第四节大数定律与中心极限定理 90习题三 96附录标准正态分布的分布函数表 99习题参考答案 1011第一章随机事件与概率第一节随机事件一、现象与统计规律性在自然界与人类社会活动中 , 人们观

5、察到的各种各样的现象归纳起来无外乎两类 , 一类是预先已知其结果 , 即在条件不变的情况下 , 重复进行试验 , 其结果总是确定不变的 , 这类现象称为必然现象 , 例如 , 在标准大气压下 , 4 的水密度最大 ; 100 的水必然沸腾 ; 同性磁极相斥 , 异性磁极相吸等 . 另一类是预先无法预知其结果 , 即使在保持条件不变的前提下 , 重复进行试验 , 其

6、结果也不会相同 , 这类现象称为随机现象 , 例如 , 夏季某河流可能出现最高水位 ; 某火车每天的客流量等 .尽管随机现象无法预言其结果 , 但人们通过对随机现象的大量的、长期的观察 , 还是能够发现其存在的规律性 . 例如 , 多次投掷一枚质地均匀的色子 , 它有六个数字 , 我们会发现每个数字出现的次数近似相等 ; 新生婴儿中男女比例约为 1

7、1 . 像这样 , 在相同条件下 , 对随机现象进行的大量重复的观察所得结果呈现出的某种规律性 , 称为随机现象的统计规律性 .研究随机现象的统计规律性 , 是概率论的基本任务 .二、随机事件1 . 随机事件、随机试验与基本空间 ( 样本空间 )2 工程数学概率论凡是对现象 ( 自然的或社会的 ) 的观察、测试或为此进行的实验 , 均称为试验 . 试验所有可

8、能发生的结果是已知的 , 但试验之前不能预先断定究竟哪个结果会发生的试验 , 称为随机试验 , 简称试验 , 表示为 E .例如 , E1 : 掷一枚硬币 , 观察硬币反面出现的情况 ;E2 : 向靶射击一次 , 观察命中的环数 ;E3 : 在一批电子管中任取一只 , 测试它的寿命 ;E4 : 在分析天平上称量某种物品的质量 .将一个试验的所有可能结果组成一个全集 , 并

9、将此集合称为这个试验的本空间 ( 亦称样本空间 ) , 表示为 U . 每个可能的试验结果称为本点 , 表示为 e .如 E1 , 它的基本空间为正面出现 , 反面出现 , 样本点有两个 ; E2 , 它的基本空间为 0 , 1 , 2 , , 10 , 样本点为 11 个 ; E3 , 它的基本空间为 0 , + ) , 样本点为无穷多个2 . 随机事件定义 1 -1 一个随机试验的基本空间的子集称为随

10、机事件 , 简称事件 . 表示为 A , B, C , , 由一个样本点组成的集合 , 称为基事件 , 每次试验都必然发生的事件 , 称为必然事件 , 表示为 U ;每次试验都不会发生的事件 , 称为不可能事件 , 表示为 .其实 , 必然事件与不可能事件 , 从概念上应为确定的事件 , 在此只将它们作为特殊的随件事件来看待 .三、事件的关系及运算由于事件是由集合定义的 ,

11、因此 , 事件的关系及运算 , 就对应了相应的集合的关系及运算 .1 . 事件的包含与相等若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生 , 则称事件 B 包含事件 A , 记做 A B ; 若 A B 且 B A , 则称事件 A 与事件 B 相等 ,3第一章随机事件与概率记做 A = B .例如 , 一口袋中装有 2 只白球和 1 只黑球 , 现从中依次拿出 2 只球 , 设事件 A = 两次都拿得白球 , 事件 B

12、= 第一次拿得白球 , 则事件 A 发生必然导致事件 B 发生 , 所以有 A B .再如 , 在标准大气压下 , 事件 A = 100 的水 , 事件 B = 沸腾的水 , 它们是等价的两个事件 , 所以有 A = B .2 . 事件的和、积与差(1 ) 事件 A 与事件 B 中至少有一个发生的事件 , 称为事件 A与事件 B 的事件 , 记做 A B .例如 , 一件产品合格是指这件产品的长度与直径都是合格而

13、言的 , 则这件产品不合格就是长度不合格与直径不合格的和事件 .n 个事件 A1 , A2 , , A n 中至少有一个发生的事件 , 称为这nn 个事件的和事件 , 记做 A1 A2 A n = Ai .i = 1(2 ) 事件 A 与事件 B 同时发生的事件 , 称为事件 A 与事件 B 的事件 , 记做 A B 或 A B . 例如前例中产品合格是长度合格与直径合格的积事件 .n 个事件 A1 , A2 , , A

14、n 同时发生的事件 , 称为这 n 个事件n的积事件 , 记做 A1 A2 An = Ai .i = 1(3 ) 事件 A 发生而事件 B 不发生的事件 , 称为事件 A 与事件B 的事件 , 记做 A - B .3 . 互斥事件与互逆事件(1 ) 事件 A 与事件 B 不可能同时发生的事件 ( A B = ) , 称事件 A 与事件 B 为斥 ( 或互不相容 ) 件 .n 个事件 A1 , A2 , , An 中任意两个事件互斥 , 即 Ai Aj =

15、( i j ) , 则称 A1 , A2 , , A n 是两两互斥的 , 此时 A1 , A2 , ,4 工程数学概率论nA n 的和事件可以记做 A1 + A2 + + A n = i = 1Ai .( 2) 若事件 A 与事件 B 满足 A B = , A + B = U , 则称事件 A与事件 B 为互逆事件或对立事件 , 记做 B = A , A = B .例如 , A = 产品合格与 B = 产品不合格互为逆事件 .显然 , A A = , A + A = U , A = A

16、 , A = U - A , A = ,A = A , U = , = U .应该注意的是 , 互逆事件一定是互斥的 , 而互斥事件却不一定是互逆的 .如果 n 个事件 A1 , A2 , , An 满足 : A i A j = ( i j ) , i , j = 1 , 2 , , n ; A1 + A2 + + An = U .则称这 n 个事件构成一个完备事件组 .4 . 事件运算的规律C) ;(1 ) 交换律 : A B = B A , A B = B A ;(2 ) 结合律 : A

17、 ( B C) = ( A B ) C , A ( BC) = ( A B ) C ;(3 ) 分配律 : A ( B C) = AB AC , A ( BC) = ( A B ) ( A (4 ) 对偶律 ( 反演律 ) : A B = A B , A B = A B .需要注意的是 , 集合的运算可以用文氏图形象地表示出来 , 事件的运算也可以这样做 , 不再赘述 .【例 1 -1】设 A , B, C 是三个事件 , 则(1 ) 事件 A 发生而 B 与 C 没有发生可表示为A

18、 BC 或 A - B - C 或 A - B C .(2 ) 事件 A 与 B 都发生而 C 不发生可以表示为A B C 或 A B - C 或 A B - A BC .(3 ) 事件 A , B , C 都发生可以表示为A BC .5第一章随机事件与概率(4 ) 事件 A , B , C 中恰有一个发生可以表示为A BC + A BC + A B C .(5 ) 事件 A , B , C 中有两个发生可以表示为A B C + A BC + A BC .(6 ) 事件 A , B , C

19、中至少有一个发生可以表示为A B C .【例 1 -2】一件产品合格指的是它的长度与直径都合格A = 一件产品合格 , A = 一件产品不合格 B = 产品的长度合格 , B = 产品的长度不合格 C = 产品的直径合格 , C = 产品的直径不合格则 A = BC , A = BC = B C , A B, A C .【例 1 -3】向指定目标射击三枪 Ai = 第 i 枪击中目标 , i = 1 , 2 , 3 , 试用

20、Ai 表示下列事件 :(1 ) 只击中第一枪 ;(2 ) 只击中一枪 ;(3 ) 三枪都未击中 ;(4 ) 至少有一枪击中 .解 (1 ) A1 A2 A3 ;(2 ) A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ;(3 ) A1 A2 A3 ;(4 ) A1 A2 A3 = A1 A2 A3 = U - A1 A2 A3= A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 +A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 .第二节随机事件的概率为了研究

21、随机现象的统计规律 , 就必须对事件发生的可能性的6 工程数学概率论大小进行度量 , 这种度量就是所谓的事件的概率 .一、概率的统计定义定义 1 -2 若事件 A 在 n 次试验中出现 N 次 , 则称比值 N 为 nn次试验中事件 A 发生的率 , 记做 W ( A ) , 即 W ( A ) = N .n显然在 n 次试验中 A 发生的频率总是介于 0 与 1 之间的一个数 , 即 : 0 W ( A ) 1 .例

22、如 , 德摩根、浦丰、皮尔逊、维尼曾分别掷一枚质地均匀而对称的硬币 , 其结果如下表 :试验者掷硬币次数正面出现次数频率德摩根 20 4 8 1 06 1 0 . 51 8浦丰 40 4 0 2 04 8 0 . 5 06 9皮尔逊 1 20 0 0 6 01 9 0 . 5 01 6皮尔逊 2 40 0 0 1 2 01 2 0 . 5 00 5维尼 3 00 0 0 1 4 99 4 0 . 4 99 8由此表可以看出 , 抛掷的次数越多 , 其频率越

23、接近 0 . 5 . 此例揭示了随机事件的一个极其重要的特性频率的稳定性 , 即在相同的条件下 , 试验的次数越多 , 事件的频率总是在一定值的左右摆动 , 而这个频率所接近的定值是不会改变的 . 它表明 , 事件发生的可能性的大小是事件本身所固有的属性 . 因此 , 我们有理由用这个定值来表示随机事件 A 发生的可能性的大小 , 这个定值称为事件 A

24、的概率 , 记为 P ( A ) , 而频率 W ( A ) 是 P ( A ) 的一个近似值 , 为此 , 给出如下的概念 .定义 1 -3 在相同的条件下 , 重复进行 n 次试验 , 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动 , 则称此常数 p 为事件 A 的概率 , 记为 P ( A ) .7第一章随机事件与概率1 0 0 9 5此种概率的定义 , 称为概率的统计定义 .二、概率的古典定义具有如下两个

25、特征的一些随机现象 , 称之为古典概型 .( 1) 试验的所有可能结果只有有限个 e1 , e2 , , en , 且两两互斥 , 即 ei ej = ( i j , i , j = 1 , 2 , , n) .(2 ) 基本事件 e1 , e2 , , en 的发生是等可能的 ( 每个基本事件发生的可能性的大小是相同的 ) , 即 : P ( e1 ) = P ( e2 ) = P ( en ) = 1 .n例如 , 投掷一枚质地均匀的色子 , 每个

26、点数出现的可能性都是六分之一 , 且 U = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .定义 1 -4( 概率的古典定义 ) 对于古典概型试验 , 设基本空间所含的样本点总数为 n , 事件 A 所含的样本点个数为 m , 则事件 A 的概率定义为P ( A ) = m .n【例 1 -4】在 9 张记有号码为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 的卡片中任意抽取一张 , 求抽得偶数号码的概率 .解

27、基本空间样本点总数为 9 .A = 抽得偶数号码卡片所含样本数为 4 , 于是P ( A ) = 4 .9【例 1 -5】一个盒子中装有 100 只电子管 , 其中有 95 只是正品 , 5 只是次品 , 从盒子中任意取 3 只 , 求下列事件的概率 :(1 ) A = 3 只全是正品 ; ( 2) B = 3 只中有一只是次品 .解基本空间所含样本点总数为 C3 , A 所含样本点数为 C3 ,B 所含样本点数为

28、 C1 C2 5 , 于是5 98 工程数学概率论C1PPC3 1 2P ( A ) = 9 5 31 0 0= 0 . 865 , P ( B ) = C5 C9 5C3 0 0= 0 . 138 .【例 1 -6】一袋中有 6 个红球和 3 个黑球 , 在袋中接连取 2 次 ,每次任取一只 , 求事件 A = 取得两球都是红球的概率 .(1 ) 第一次取一只球观察后放回袋中 , 第二次再取一只 ( 有放回抽样 ) ;(2 ) 第一次取一只球 , 不放回

29、袋中 , 第二次再取一只 ( 不放回抽样 ) .解 (1 ) 基本空间样本点总数为 92 , A 的样本点数为 62 , 于是2P ( A ) = 692= 0 . 444 .(2 ) 基本空间样本总数为 P2 , A 的样本点数为 P2 , 于是926P ( A ) = 296= 0 . 417 .由古典概率的定义可知 , 对任一事件 A 有0 P ( A ) 1 , P ( U ) = 1 , P ( ) = 0 .关于两个互斥事件的和事件的概率 , 有如

30、下定理 .定理两个互斥事件的和事件的概率 , 等于两个事件概率的和 , 即P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) .证设 U = e1 , e2 , , en , A = ek1, ek2, , ekr , B = el1, el2, , el , 而事件 A 与事件 B 互斥 , 无公共元素 , 所以sA + B = ek1从而, ek2, , ekr, el1, el2, , el ,sP ( A + B ) = r + s = r + s .n n n于是P ( A + B ) = P

31、( A ) + P ( B ) .9第一章随机事件与概率PP =.此定理可在 n 个事件两两互斥的情况下进行有限推广 .【例 1 -7】从 0 , 1 , 2 , 3 这四个数字中任取三个进行排列 , 求取得的三个数字排成的三位数为偶数的概率 .解设 A = 排成的三位数是偶数 A0 = 排成的三位数的末位数字是 0A2 = 排成的三位数的末位数字是 2且 A0 A2 = , A = A0 + A2P2 3P

32、( A0 ) = 343 2 1= 43 2 = 4 ,C1 1 P ( A2 ) =于是2 C23422 143 2 = 6 .P ( A ) = P( A0 ) + P ( A2 ) = 14 + 1 = 56 12* 三、几何概率上述的古典概率定义只适用于古典概型 , 它要求试验的所有可能结果为有限个且等可能 . 然而 , 在实际问题中 , 有许多试验的一切可能结果是无限多个 , 这时古典概率的定义在这里就不适用了 . 为了将

33、古典概率的定义再进一步进行推广 , 使其适用的范围再进一步扩大 , 可将试验的一切可能的结果扩展为无限多个且具有等可能性 , 于是引入几何概率的概念 .引例如图 1 -1 所示 , 向半径为 R 的圆内随机地投掷一点 , 求事件 A = 点落在一个与该圆同圆心且半径为 R 的圆内的概率 . 在2此 , 假定所投掷的点落在圆内任何一点的可能性都是一样的 , 也

34、就是说 , 点落在圆内的某一区域 g 内的可能性与区域 g 的面积成正比 , 且与 g 的位置无关 . 由于一切基本事件对应圆内所有的点 , 而10 工程数学概率论图 1 -1事件 A 包含的基本事件对应小圆内所有的点 , 于是 , 所求事件 A 的概率就很自然地定义为P( A ) = 圆面积大圆面积 = 1 4 .仿此 , 给出几何概率的一般定义 .定义 1 -5 设 s 为一区域 ( 它可

35、以是一维空间的 , 也可以是二维或三维空间的 ) , 向 s 内随机投掷一点 M , 如果点 M 落在 s 中任一点是等可能的 , 则称这个试验是几何概型 , 对于事件 A = 点落在区域 g s 中的概率定义为P ( A ) =g 的度量 .s 的度量这里的度量指的是长度、面积或体积 .在许多实际问题中的随机试验 , 并不是向某一区域投掷点 , 但试验的一切可能的结果却对应着

36、某区域 s 中的所有的点 , 且具有等可能性 , 因此这类问题也可以用几何概率来解决 .【例 1 -8】有甲、乙两人相约在 6 : 00 至 7 : 00 在某地见面 , 先到者要等另一人 20 分钟 , 过时就离去 . 如果每个人在约定的一小时内任一时刻到达是等可能的 , 求 A = 两人能见面的概率 .解如图 1 -2 所示 , 设 x 为甲到达的时刻 , y 为乙到达的时刻 ,11第一章

37、随机事件与概率则两个人到达时刻的一切可能结果对应边长为 1 ( 小时 ) 的正方形中的所有的点 . 两人能见面的充分必要条件是| x - y | 1 .3所以事件 A 对应如图 1 -2 所示阴影部分中的所有点 . 因此2P ( A ) =1 - 231= 5 .9图 1 -2【例 1 -9】在一线段 A B 上任取两点 C , D , 将线段在此两点处折断 , 求事件 A = 所得三折线能构成三角形的概

38、率 .解如图 1 -3 所示 , 设 A B = 1 , AC = x , AD = y , 则 DB = 1 -y, 且有0 x 1 , 0 y 1 , x y .所以 C, D 两点的一切可能的位置对应三角形 OE F 内的所有的点 ,而 AC , CD, DB 构成三角形的充分必要条件是AC + CD DB , CD + DB AC , DB + AC CD .于是x + ( y - x ) 1 - y, ( y - x ) + ( 1 - y ) x , (1 - y ) + x ( y - x ) ,12 工

39、程数学概率论=图 1 -3即y 12 , x 0 , 定义在事件 A 已经发生的情况下 , 事件 B 发生的条件概率为P ( B | A ) = P ( A B ) .P( A )同理可定义 P ( A | B ) = P ( A B ) .P ( B )【例 1 -13】将 16 枚球按颜色和质地分类如下表 .17第一章随机事件与概率玻璃质木质合计红色 2 3 5蓝色 4 7 1 1合计 6 1 0 1 6现从中任意抽取一球 , 设A = 取得的一枚为

40、玻璃球 , B = 取得的一枚为蓝色球则P( A ) = 6 , P ( B ) = 11 , P ( A B ) = 4 .16 16 16所以4P ( B | A ) = P ( A B ) =P ( A )16 = 46 6164 = 2 ,3P ( A | B ) = P( A B ) =P ( B )161 116= 4 .11【例 1 -14】在 0 到 9 的 10 个数字中 , 任取一个数字 , 设 A =取到的一个数字为奇数 , 若(1 ) B = 取到的一个数字为素数 , 求 P ( A )

41、, P ( A | B ) ;(2 ) B = 取到的一个数字为偶数 , 求 P ( A | B ) ;(3 ) B = 0 , 1 , 2 , 3 , 求 P ( A | B ) .解 (1 ) A = 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , B = 2 , 3 , 5 , 7 , A B = 3 , 5 ,7 , 则P( A ) = 510于是, P ( B ) = 410, P ( A B ) = 3 ,103P ( A | B ) = P ( A B ) = 10 = 3 .P ( B ) 4 41018 工程数学概率论=(2 ) B = 0 , 2 ,

42、4 , 6 , 8 , A B = , 则P( B ) = 510于是, P ( AB ) = 0 ,P ( A | B ) = P ( AB ) = 0 .P ( B )(3 ) B = 0 , 1 , 2 , 3 , A B = 1 , 3 , 则P ( B ) = 410于是, P ( A B ) = 2 ,102P ( A | B ) = P ( A B ) = 10 = 1 .P ( B ) 4 210【例 1 -15】设某种动物由出生算起活 20 岁以上的概率为 0 . 8 , 活 25 岁的概率为 0 . 4 . 现有一个已

43、经活到 20 岁的这种动物 , 那么它能活到 25 岁以上的概率为多少 ?解设 A = 能活到 20 岁以上 , B = 能活到 25 岁以上 , 则P( A ) = 0 . 8 , P ( B ) = 0 . 4 .而 A B 所以 A B = B , 即P ( A B ) = P ( B ) = 0 . 4 ,于是P ( B | A ) = P ( AB )P ( A )0 . 4 10 . 8 = 2 .由条件概率的定义 2 , 可以推出如下定理 .定理 (1 ) P ( A B ) = P (

45、 , 现从中接连地随机抽取 3 次 , 每次 1 球 , 抽样按有放回与无放回方式进行 , 求第 3 次才取得红球的概率 .解设 B = 第 3 次才取得红球 , Ai = 第 i 次取得白球 ,i = 1 , 2 , 3 , 则 B = A1 A2 A3 , 于是(1 ) 有放回抽样P ( B ) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 )P ( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )= 10 10 90100 100 100 = 0 . 009 .(2 ) 无放回抽样

46、P ( B ) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 )P ( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) 90= 10 9 = 0 . 008349 .100 99 98二、全概率公式与贝叶斯 ( Bayes ) 公式1 . 全概率公式【例 1 -17】设一个仓库有 10 箱同样规格的产品 , 如下表 :生产厂甲厂乙厂丙厂数量 5 3 2次品率 1 1 0 1 1 5 1 2 0现从中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品 , 求取得正品的概率

47、.解设 A1 = 取得的一箱为甲厂生产的 A2 = 取得的一箱为乙厂生产的 A3 = 取得的一箱为丙厂生产的 B = 取得的一件产品为正品显然 , A1 , A2 , A3 两两互斥 , U = A1 + A2 + A3 , 事件 B 是 U 的子事件 , 所以20 工程数学概率论B = A1 B + A2 B + A3 B .于是P ( B ) = P ( A1 B + A2 B + A3 B )= P ( A1 B ) + P( A2 B ) + P ( A3 B )= P (

48、A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) +P ( A3 ) P ( B | A3 ) .而P ( A1 ) = 510, P( B | A1 ) = 910, P ( A2 ) = 3 ,10P ( B | A2 ) = 14 , P ( A3 ) = 2 , P ( B | A3 ) = 19 .15 10所以201 9P ( B ) = 5 9 + 14 3 + 2 = 0 . 92 .10 10 15 10 10 20由此例子将其推广出更一般情况如下 :设有事件组 A1 , A2 , , An 两两互斥 , P ( Ai ) 0 , i = 1 , 2 , n , 且事件 B 为 A1 + A2 + + An 的子事件 , 则B = B ( A1 + A2 + + An ) = B A1 + B A2 + + B An .于是P ( B ) = P ( B A1 + B A2 + +

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