1、第二章 需求分析本章开始谈价格怎么配置资源的，即怎么影响消费选择。价 格 配置 资 源U M P( 支 出 商 品 需 求 )E M P( 效 用 商 品 需 求 )需 求 函 数希 克 斯 需求 函 数间 接 效 用 函 数支 出 函 数S l u t s k y方 程一、需求函数（一）瓦尔拉斯需求函数商品需求定义：预算集中的效用最大化的解 X* ，反映与 P 与 W 的关系称为需求函数，表示成 。*x nwRpx),(例子：设效用函数为： ， ，求需求函1221)(),(xxu0数 。,(21iwpfxi建立 L函数：)()(),( 211221 xpwxxL一阶条件为： 0)(11212
2、212pxxL0pw，直接推导 2121)(x 12121)(pxxp代入 ，得到： 2x；1212112121 )()( pwppwx1212令 ，则有：r， rpwx21rpx21需求函数的三个性质（1）在价格和收入上，需求函数是零次齐次的：即对于任给 ， 和满足 ,有pw0a),(),(wpxax经济含义是：如果价格和收入以同一比例变化，则消费者的需求数量保持不变。（2）瓦尔拉斯法则：任给 有),(xx经济含义：消费者会在有生之年用光他的全部资源（财富） 。（3）凸性和唯一性。如果 是拟凹的，则 是一个凸集。)(u),(wpx思考如何证明。若 是严格拟凹的，则 只包含单一的元素。（二）间
3、接效用函数定义： ，即需求函数代入原效用函数。),(),(*wpxuv例子： ；s.t. 2121lnlnxwxp21构造拉格朗日函数： 12lnL一阶条件：(1)； (2)011px 022pxL(3)2w2112px(4) 或 （5）12 2112px将（5）代入（3） wpwxp1121211px将（4）代入（3） wpwxpx 222121 2222 111 pwxpwxp ，122然后求解间接效用函数：将需求函数代入目标函数： 2121ln)(l),(xxxu121 lnln),( pwpwpv2l)(l p2ln11lll p nn21 （仍然用 P，W 表示）cppwpv 212
4、1 ln)(lnl),( 其中： 。l)(lc间接效用函数的意义：控制消费者的消费行为实际上可以由控制价格 p 与控制收入 w 来实现。 收 入 政 策收 入 价 格 政 策价 格消 费 者 效 用 最 大 化间 接 效 用 函 数 )(,(pv间接效用函数的性质：（1）零齐次的，价格和财富同比例变动不影响效用；（2）在 上是严格递增的，并且对于任意 ，它在 上都wnnp是非递增的，即价格上升降低效用，财富上升增加效用；证明：可以使用包络定理包络定理：最优点对 a 的偏导数等于目标函数对 a 的偏导数；wxLpv),(),( xpLv),(),(注意： u（3）拟凸的，就是说对于任意 v,集合
5、 是凸集；vp),(:,B1B0B2（4）在 和 上是连续的。pw（三）罗伊等式反映了瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数的关系：， 。 wpvwpxjj ),(/),(),( nj,21实际上就是两个决定要素（P，W）的边际效用之比。利用包络定理证明： )(),(xpxuL),(*,wwpvxpx*),(,(),( 两式相除即得罗伊等式。例子： cppwpv 2121 ln)(lnl),( ， ，12v11xpv222 )()(wwp习题：试根据间接效用函数 ，求相应的211,ppv需求函数。一个间接效用函数在税收中应用例子。设一个消费者的效用函数为： ，2121),(xxu)(2121pxwxL
6、一阶条件： ；010221pxL21xp； ； 。21212x1pw2x若假定 ， ，5.0p21)5.0(2)2(),( 121121 pwpwpv考虑两种不同的征税方案：（1）政府征 0.5 元的所得税（降低收入） ， 5.0.).(),(2121v（2）政府仍征 0.5 元的税，但对商品 1 开征消费税（提高商品价格） 。若每单位商品 1 征税为 0.25 元，则 ；5.02.1p 25.021pwx.4).(,(2wv这个例子为我们展示了一个政策分析框架：根 据 政 策 目 标 给 出 最 优 化 问 题（ 目标函数 、 约束条件 、 控制变量 ）政策控制变量目标函数比较分析二、支出函
7、数与对偶性原理（一）支出最小化问题与支出函数消费者为达到一个效用水平 u，如何选择商品 x，使之需要的财富支出最小。即有效率的利用消费者的购买力。所谓支出最小化问题（expenditure minimization problem，EMP ）即：xpmints)(.解得： jijixu/*1定义：支出函数 为支出最小化问题的解，即在价),(pe格给定条件下消费者为达到效用而支付的最小支出。2.支出函数的一个例子。, ,)(min21xpuxtsa12.10)(12auL一阶条件为：（1） ；0121axpx（2） ；)(212aL（3）01axu或211212)( xpaxpax 12xpa分
8、别代入 得：u，a12*1)( uxa)(21*2带入目标函数 得：min1pauapue )()(),( 2121 upAa12其中 。1)(A2支出函数的性质：（1）对 p 是一次齐次的；（2）对 p 是非递减的；（3）是关于 p 的凹函数；（4）当 p0 时，为连续函数。证明：（1）最小化 将导出与最小化 相同的最优消xa)(px费束 ，即：*x),(,*ueue（2）根据包络定理， ，故支出函数对0,*Lpp 是非递减的；（3） ，设 x2 为价格 p2 时达到效用 u 的102)(一个最优消费束。=1022 *),(pxue 210)(xpx),(1),(10upeupe（4）连续性
9、证明。（二）希克斯需求函数（Hicks demand function）1定义：EMP 中的解为最优消费束 ，表示为*x，并且存在谢伯特（Shephard）定理：nRuph),(iii puex),(*证明： )(, xL在 处有 。xpmin)(),(*xupL利用包络定理可得： ),(,),(*hxueiiii2希克斯需求函数的性质（1） 是 p 的零次齐次 函数；),(hi（2） 是 p 的单调递减 函数；u（3）如果 可微，则有： ，,i ijjipuh),(),(kji,1（2）证明： ，因为支出函数为凹函数，2),(),(iipueh故 ，即0),(2ipue0,i（3）证明： ，
10、jiji pueh),(),(2 ijij pueh),(),(2根据 young 定理， ，即ijji ,22ijjipuh),(),(（三）对偶定理前提：若效用函数 是严格单调和连续的，且消费者效用)(u最大化和支出最小化问题均有解，则：1. 瓦尔拉斯,),(wpvhpx2. 希克斯)(eu3. 支出函数e4. 间接效用函数 v),(上述四个关系式中， 最重要，其意义为),(),(upexu希克斯需求与瓦尔拉斯需求指的是同一件事。需求既可用效用最大化解表示，也可用支出最小化解表示。思考：实证研究应该使用哪种需求？uxtsp)(.minwxptsu.)(ma瓦尔拉斯需求函数x ( p , w
11、 )希克斯需求函数h ( p , u ),(wpvu代入 e代入间接效用函数代入目标函数 ),(wpv罗伊等式支出函数 ),(upe代入目标函数 iie,解出反函数 w解出反函数 u习题：设某消费者的间接效用函数为 ，且12),(pwv，求 。10),(uph三、需求弹性弹性： wdxwxE/变 动 的 百 分 比变 动 的 百 分 比（一）需求价格弹性（price elasticity of demand）1.定义： xpdpdxEln习题：计算需求的价格弹性，其中需求函数为 wpx2.由弹性决定的商品分类奢侈品(luxury)： ；必需品(necessity)：1|1|E3.由弹性定义的收
12、入与价格变动的关系。 pxw)1()1(Exdpxdpxdpw根据 E 判断价格 p 与消费者购买商品支出之间的关系。： ； ；E在需求价格弹性基础上可以定义需求交叉价格弹性（cross-price elasticity of demand）ABBABAAB xpdpxdEln（二）古诺合并条件自身的需求价格弹性需求交叉价格弹性，两边同时对 求导有21xpw1p，两边同时乘 得到：12110pxx21xwp122121w；111pxxp 1221201Ea意义：已知自身的需求价格弹性，则可以由此条件来确定需求交叉价格弹性。下面我们再看希克斯需求函数的需求价格弹性和交叉价格弹性。若效用不变（f( x1,x2)=u; du=0），两边同时除以 有021dfxdu2f；0212121 dxppf两边同时乘 得到121dxw，即 021211 pdpx 0211a注意：对于希克斯需求函数，古诺合并条件不成立。
