1、第 5 章 多项式逼近与曲线拟合教学目的 1. 理解连续函数空间，正交多项式理论；2. 掌握最佳平方逼近及最小二乘逼近函数的求解方法；3. 理解非线性模型举例的有关知识的基础上会求模型的逼近函数。教学重点及难点 重点是最佳平方逼近及最小二乘逼近函数的求解 。难点是会求非线性模型的逼近函数。教学时数 6 学时教学过程1 引言在科学计算中有下述两类逼近问题。1关于数学函数的逼近问题由于电子计算机只能做算术运算，因此，在计算机上计算数学函数（例如等在有限区间上计算）必须用其他简单的函数来逼近（例如用多项式xfexfsin)(,)(或有理分式来逼近数学函数， ）且用它来代替原来精确的数学函数的计算。这
2、种函数逼近的特点是：（a）要求是高精度逼近；（b）要快速计算（计算量越小越好） 。2建立实验数据的数学模型给定函数的实验数据，需要用较简单和合适的函数来逼近（或拟合实验数据） 。例如，已知 实验数据)(xfymyyxfx21)(希望建立 数学模型（近似表达式） ，这种逼近的特点是：)(xfy（a）适度的精度是需要的；（b）实验数据有小的误差；（c）对于某些问题，可能有某些特殊的信息能够用来选择实验数据的数学模型。事实上，我们已经学过一些用多项式逼近一个函数 的问题，例如)(xfy（1）用在 点 Taylor 多项式逼近函数0x设 在a,b上各阶导数 存在且连续， ，则有)(fy )1,0)(n
3、ixfi ,0bax)()(!)()( 00)(00 xRxnfxfxf nRPnn其中 在 和 之间。,)()!1)(10( baxxfxR0x于是，可用 次多项式）来逼近 ，即n)(f,)(baxPfn且误差为： )(fRn且当 时，则有误差估计nnMxf)(1 bxaxnxRnn ,)!1()10显然有： ),2(),)(0(0kxPfxknk 说明 是利用在 处 函数值及各阶导数值来摸拟 的性质，且当 越接nf )(xfx近于 ，误差就越小， 越偏离 ，误差就越大。由此，在 a,b上要提高 逼近 的0x0 Pn)(f精度，就要提高 的次数，这就使得计算量增大。)(x（2）用插值多项式逼
4、近函数设已知 则存在唯一 次插值多项式 使),10(),(nifi n)(xn)xPiin其中 且互不相同，于是 可作为 近似函数，即,10(bai )(xPn)(xf)xfn插值多项式逼近 也是利用 个点上 的函数值来模似 的性质，在(f1)(xf )(xf个节点 上 逼近 无误差，当 时， 逼近 ，也1i)Pn)i,Pfn)(f可能使误差 较大。如果实际问题要求： 对| xxRn |（其中,bax是给定精度要求） ，用插值多项式 去逼近 就可能失败。)(n)(xf例 1 设 ，试考查用 4 次 Taylor 多项式 逼近 的误差。1,)(xef )(4xP)(f解 用在 展开的 4 次 T
5、aylor 多项式逼近 ；0)(f 1,120)(!5)(4621543xexPexRn 其中 在 和 0 之间。于是有误差估计：026.1|)(|max|415eR且有当,120)(120545xex误差 随 增加（ ）而增加（对 同理可说明） ，说明误差 在整个P1,x )(4xP区间-1，1 不是均匀分布，如图 3-1。现提出下述函数逼近问题。问题：设 为 上连续函数，寻求一个近似函数 （多项式）使在 上均匀逼)(xf,ba)(xP,ba近 。下面给出最佳逼近的数学提法：A: 为 上实连续函数; A 是结构复杂难于计算的连续函数类)(|,xfbaC,baB: 为实数 ；B 为较简单且便于
6、计算的函数类，例如为niinPH0,|代数多项式或三角项式或分式有理函数等。设给定 要求在 B 中寻求一个函数 使误差 - 在某种度量意)(xf,baC)(xP)(xfP义下最小。1 最佳一致逼近设给定 作为度量误差 - 的“大小”标准，)(xf,baC|,)(|mxxPfn )(xfP.nnHP寻求次数 的多项式 使最大误差最小，即nnH)(|)(|ax|)(|axmi)( xPfPf nbbHxPn 如果这样多项式 存在，称 为 在 上 次最佳一致逼近多项式。这个n)(nf,ban逼近问题近问题称炒最佳一致逼近（或称为 Chebyshev 逼近，或称为极大极小逼近） 。在理论上可以证明，对
7、任意的 上连续函数 的 次最佳一致逼近多项式 存,ba)(xf )(xPn有且唯一。最佳一致逼近主要用于初等函数的计算。2最佳平方逼近以均方误差 作为度量误差 - 的bandPfx21)()()(f大小“标准， )(xP.nH寻求 使均方误差最小，即,21)( )()(mindxxfbanHxP= 21Pfban其中 为权函数。0)(x如果这样的多项式 存在，称 为 在 中的最佳平方逼近多项式。这种)(xn)(xnfnH逼近问题称为最佳平方逼近。对于离散数据的逼近问题有：3 最小二乘逼近如果 仅仅在有限个点上给定，即已知 实验数据y)(xf y)(xfmyfx21)(寻求次数 多项式 使编差平
8、方（或带权）和最小，即nxP,nH21 12)( )()(mi iiniiniiHxP xpffn 如果这样的多项式 存在，称 为实验数据的最小二乘逼近函数或称为实)(xPnnH)(xPn验数据的最小二乘拟合多项式或称为 的经验公式（数学模型） 。yf对于给定 ，需要研究的问题是：)(f,baC（1）在各种度量意义下最佳逼近多项式 是否存在，是否唯一。本章主要讲座)(xnnH最佳平方逼近，最小二乘逼近 存在性及唯一性。)(xPn（2）如何具体寻找或构造各种最佳逼近意义下多项式 。)(xPn2 连续函数空间，正交多项式理论2 1 连续函数空间上所有实连续函数集合记为 C ，关于函数的加法及与实数
9、乘法运算为一线性空,ba,ba间，对于 称 为 中一个元素，下面将在 内引进内积，范数等概)(xf,baCf ,baC念。1内积设 为任一对元素，定义,bagfadxgfx)()(),(为一实数称为元素 的内积, 其中 称为权函数,baC)(x权函数的定义： 满足三点要求：(1) 且于 内可积；(2)对任给)(x ,0ba,的非负整数 K 积分 存在且为有限值；(3) 对于 上任何非负连续函数 g(x)如果bakd则有 g(x) 0。满足这三点要求的 可称为权函数)(badxg)(x例如在【-1，1】上 =1， =1/)(x)(21显然，连续函数空间 中元素的内积满足下述性质：,baC内积运算
10、满足交换律)(a,),(,gfgf为常数 内积运算数乘算律b,内积运算对加法具有分配律),(),() 2121fffc当且仅当 又称 为内积空间。0.0baCd且 ,0)(xf,baC函数自身内积具有非负性3 范数定义 1 关于函数 的某个实值非负函数 如果满足下述条件：)(xf,baC|,)(fN当且仅当 非负性0|,|fo 0f为实数） 齐次性cfc(|2三角不等式：对任意 ， ，有 o3)xf(g,baC| gff称 为 的范数或模。|,)(fN(定义 2（1）设 ，称 为 的“ ”范数,)bax)(max|)(ffNbf（2）设 称 为 的“2”范数或模。,(Cf 2/1222 )(|
11、dffbaf（3）设 称 为 的“1”范数,)baxf xffba|)(11 f可以验证 满足范数的 3 个条件 （见定理 1） 。,(2fN o定理 1 设 则有Cgf（1）哥西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式2|),(|ff（2）三角不等式 2| gfg证明（1）对任对 （不妨设 ）及任何实数 则有,baCf0,tRtabtcgfft,),()(2),(02其中 ),(),(0)( fcfbg则有 04,422 gfc即 2|),(|f（2）考查2|(,)(,2(,),fgfgffg由哥西-许瓦兹不等式，则有 2222)|(|,(| gfgfff3距离概念定义 3 设 agf
12、fdbaCf ),(,称为 之间距离（其中 ） 。gf, 21或4正交函数组定义 4 （1）设 ，如果 称baCxgf,)(,0)()(),( dxgfxgfba。正 交上 为 带 权在和 )(,xbagf（2）设有函数组 如 果其 中 ),0(,)()(,10 nixin jiAdxxijibaji 当当,0)(),(称 上带权正交函数组。i,为（3）如果 jiji当当,10),(称 为 上带权 标准正交组。i,ba(x例 2 三角函数组 于 上组成一正交组。nxsi,co,sin,co ,解 显然有（1） 1,0cs)cs,( jiijxdijxi 且当（2） ,0)in,(jij当当（3
13、） cos,ix（4） （1，1）= 2dxniii ,1,0)cos,(0)sn,( 5函数组的线性无关定义 5 设有函数组 ，其中)(,)(,10xxn ),0(,)(nibaCxi （1）如果存在不全为零数 使 a，对所有 都成立，则称函数组 在)()()(10 xxan ,x0ni上为线性相关。,ba（2）如果，对所有 成立，则 ，0)()()(10 xaxan ,bax010naa称 在 上是线性无关。ni,b例 3 函数组 ，其中 于 为线性无关。n, ,Ci ),1(ni ,证明 反证法。设 于 为线性相关，即存在不全为零的数 使x1 ba nc,10（2。1）0)(0nncxc
14、P对所有 （2。1）式成立，而 为次数 多项式，最多有 个零点，而（2。1）,ba)(xPnnn式说明 有无穷多零点，矛盾。)(n定理 2 内函数组 于 线性无关充要条件是行列式,C)(,)(,10n ,ba0),(),(),( , )(),( 1011 010010 nnn nG 行列式 称为函数组 的 Gram 行列式。),(0n i证明 必要性：设 于 线性无关，采用反证法。若行列式 Gn,10 ,ba，于是，齐次方程组,10n ),(,0),(0icjji 有非零解 ，即存在不全为零解 使01,nc (0,)jcn),10(,),(0 nijnji （22）记)(0xcynjj于是，由
15、（22）式有 ),10( 0),(), 0ni cxcy ijnjijnji从而有，0),()(,(), 00 jnjjnj ycxcy故 ,0baxy当即存在不全为零数 使jc,0)(0*baxynjj当说明 于 线性相关，与假设矛盾，故n,1 ,0G充分性：设 ，求证 于 线性无关。反证法：若0,10n n,10 ,ba于 线性相关，于是，存在不全为零 使n,10 ,ba10nc（2.3）1()(),ncxcxab（2.3）式两边与 作内积得到i（2.4）),10( 0),(1ni ccnii 由于 不全为零，说明齐次方程组（2.4）有非零解 故系数矩阵的行列式为零，i ),(10nc即
16、0,10nG与假设矛盾。22 正交多项式理论定义 6 设 为 中线性无关组，称集合)(,)(,10xxn ,baC为由 生成的集合。iiinSSpa00 ),(, 为 实 数 n,0显然， 为 的一个子空间。n,0 ,ba下面讨论，对于给定 上权函数 ，如何由 中基 构造 中正交)(xnHnx,1 nH基 。)(,)(,10xxn定理 3 （格兰姆-史密特（Gram-Schmidt ）正交化）（1）设 ;,nnSpaH（2） 为给定的权函数（在 任何一个子区间不恒为零的可积函数） 。则由基0)(x,ba可构造于 以 为权函数的正交多项式组 ；;,n ,b)(x)(,)(,10xxn),21(
17、)1,0(,()(100nkkjxcxjkjkjjk 其 中 系 数其中 为首项（即 项）系数为 1 的 次多项式， 。)xkkxk ),10()nkHxnk证明 （1）令 =1。)(0（2）构造 选取 使,01xcx10c1010010(,)(,)(,(,)xcxc即选取 ),(010c（3）设已构造 且满足),1(,)(,11kxxk是首项系数为 1 的 次多项式)(ai i当,0,jib),0,(kji现由 组合构造11,kkx及 0)()(kjjkxc选择系数 使ki 0),(, ikiiki c即选取)1,0(,)kixcikki 于是，得到 为 具有权函数 的正交多项式组，即(,1
18、0xn ,ba)(xjidxbajiji 当,0)(),(推论 若（1）设 为 带权 的正交多项式组。其中)(,(,10xn ,ba)(x首项系数为 1 的 次多项式；（2）设 为任一次数 多项式，则)(xi i HPn 于 线性无关；,0n ,ba P(x)可由正交多项式组表示即 ，其中niixcx0)()(,)0,1)iiPcn证 （2）由设 (2.5)naaxP10)(按照 定义有 (2.6)k ),21(,)(0nkxckjjk 将(2.6)代入(2.5)进行合并整理即得)()()()(10 xcxcxPn推论说明 。中 一 个 正 交 基为 H,定理 4 (正交多项式的三项递推公式
19、)设 为a, b具有权函数 的正交组，其中 是首项系数为)(,),10xxn )(x)(xi1 的 次多项式，则 满足递推公式:ik ),(),( )1,2(),()(11 1110kkkkkx nxx其 中 且于 的正交多项式组 是唯一的，其中 是首项, xba上 关 于 权 函 数 nkx0)()(xk系数为 1 的 k 次多项式证明 显然 次多项式,由推论,则有kxkk为)()(1(2.7)jjkk x01用 与(2.7)两边作内积,则有),)(sx)(,1ssksk所以),0(,)(ksxsks (1)考查 2,1s),(sksx其中0),()(),( skskbask xdxx 10
20、)()(siisxcx所以, 2,ks(2)考查 1k 1111 ),(),(),( kkkkk xx ,或01)(iikkc01)(iikk xcx(3) 1),(kkkx于是, )()() 111 xkkk 或 )(1xxk,2n定理 5 设 是 上带权 的正交多项式序列,则 次多项式 在 内恰kba)(xn)(xn,ba好有 个不同的实根 .n1勒让德（Legendre ）多项式取 ，权函数 ，则由定理 4 可得于 具有权函数 的正交,ba1)(x1,1)(x多项式组 xpxpxpxPxxpxP 53),(),(),()( 1,)(,)(,)(1 2313033 21202200且有ji
21、Pji 当,0),(为首项系数为 1 的 次多项式。k定义 7 次多项式nnnnxdxP)(!2)(2),210(称为 Legendre 多项式。显然有)(253)(1)()(33222100 xPxPpxP（2。8）)(!2)(xnxn（1）求 的首项系数Pn即求 首项系数，由于 是 次多项式，即为求 的 阶导数后nxd)1(2nx)1()2nx2的系数 212)()nnxx nnnxx!)2(!12)(1()()xk从而， 首项系数)(xPn2)!(1an且 )!2(2nxdn（2） 具有简单性质P（ ）annn)1(,)1(（ ）令 ，则bnxx)(2,当 时0)(1xkdk（3）Leg
22、endre 多项式 为-1，1具有权函数 的正交多项式，即niP0 1)(x1,(,)()21nmnmnmPxd 当当证明 设 ，且记 及)(aknx)()2)(!21xnxPn于是，(分部积分）)1(11)(!2!2),( nknnknk dxPdxP(再分部积分）knn)(!1)(dxPkn)(!21)2( 1)1()( 0!)(kknnk当 时，记)(bnk2)!(1na 201121)(1)2()2( )1(1)2()1()( )()()(1)( 2cos)!()!(),(ndnaxdaxxdxadPnnnnn nnnn(令 且 ),six201!(n又由 唯一性，于是有)Pn)(!2
23、(xxnn（4）Legendre 多项式的奇偶性 为 奇 函 数为 奇 数 ， 多 项 式当 为 偶 函 数多 项 式为 偶 数当 )(),(,)(1)( xPnxPxP nnn（5）Legendre 多项式的三项递推011 1()(2)()(,),kkkxPpxPx 2切比雪夫（Chebshev）多项式取 权函数 则由定理 4 可得于 具有权函数,1,ba,1)(2x1,的正交多项式组,)(2x xTxTTxxdxTxT 43),(),(),()( 21,)(,)(/,)()(12313033 12022 12010且有 当 。,0),(ji ji为首项系数为 1 的 次多项式。xTk k定
24、义 8 次多项式n)cos()xar称为 次 Chebyshev 多项式，显然有：xxTTxxT52016)(8)(43)()(15544322200（29）显然， 首项系数为 。)(xn12k（1）Chebyshev 多项式， 是 具有权函数 ),(),(10xTxTn1,的正交多项式组。即,)(2x 0,2,0)(1),(2 mndxTTnmn 当当当事实了，由直接计算可得，令 cos0)sin(12)cos()cos(1)()cs(),(0 1112 mdnnmxxxTmn当 当 mn0,2)cos(21),(0 ndnTn 当当(2) Chebyshev 三项递推公式 kxkxTk c
25、os)arcos()其中 ,由三角公式 =2cs(1)cs()csocsokkkkcos得到 2kkTxxT或 1,),21()()(0xkxTTkk（3）Chebyshev 多项式零点由 其中 nxnxTncos)arcos() xxarcos,s于是，当 时 ，则21k),2 0)(Tn或当 ),1(,2nknk时，则),2(,coskxkk 0)(knxT说明 次 Chebyshev 多项式 于-1，1 内有 个不同的零点：nxTn),21(,2coskxk （4） ,)(xnTn（5） 于-1，1极值点，求使x的 值1cos)(nx当 时，则） ，即k)(Tn,10(,nk或当时，则)
26、,0(,cosnknxkk 1)(knxT说明 在-1，1上有 个点 使 轮流取最大值和最)(Tn1),0(,cosnk(xT小值，如图 3-2。3拉盖尔（Leguerre ）多项式多项式,)(,0, xeba权 函 数)(xnxndeL称为拉盖尔多项式。且有 0 2,)!(0)(),( mndxLeLmnxmn 当当递推公式： ),21( )()( 1210nxLnxxL首项系数为)(n.n4埃尔米特（Hermite）多项式权函数 ，多项式),(),ba2)(xe)()1(22xnxnedH称为埃尔米特多项式。且有 dxHemnxmn )(),(2n当当,!,0及递推公式 ),21()()(011nxnHxHx首项系数为 。)(xn
