1、中学解析几何的核心结构“中学数学中的解析几何”之三人民教育出版社中学数学室 章建跃1解析几何在中学数学课程中的地位和作用从前所述可见，解析几何把代数的知识和方法系统地用于研究几何，数形结合的思想和方法不但使代数、几何获得了前所未有的进展，而且还使微积分的发明水到渠成。因此，解析几何既是沟通代数与几何的桥梁，也是从初等数学过渡到高等数学的桥梁。由于人类活动的需要，解决天体运动、抛射体运动、单摆运动等各种运动问题成为数学的重大课题。而运动可以从两个角度看：一是作为点的轨迹；二是作为位置与时间的关系。数学史上，在函数概念还没有充分认识之前，函数被当作曲线来研究，例如，正弦曲线是在旋轮线的研究中作为它
2、的“伴侣曲线”而进入数学的。后来，人们使用运动的概念来引进曲线，例如，伽利略证明了斜抛体的运动轨迹是抛物线，因而把抛物线看成是动点的轨迹；牛顿说，曲线是由于点的连续运动而描画出来的。把曲线看成是动点的轨迹这一概念逐渐地被认可和接受以后，函数（变量之间的关系）与曲线的联系就很紧密了，从而也就使解析几何与函数的联系更紧密了。某种意义上看，由于借助于坐标系而描绘了函数图象，使抽象的函数得到形象直观的表示，从而使研究函数的方法更加多样而有力，对函数性质的认识也更加全面而具体。当然，“函数与图象”、“曲线与方程”毕竟是两个不同的问题。例如，函数 y=f(x)中，x，y 的地位“不平等”，函数 y 随自变
3、量 x 的变化而变化，两者有依赖关系；方程 f(x，y)=0 中，x，y 的地位“平等”，虽然也有依赖关系，但并没有一个随另一个变化的关系；函数中，x，y 之间有特殊的对应关系（单值对应），表现在图象上，就是平行于 y 轴的直线与图象至多有一个交点；方程的解没有这种限制，所以交点可以不止一个；借助函数的图象讨论性质，这里的“性质”是函数的变化规律，由方程讨论曲线的性质，这里的“性质”是曲线的几何性质。另一方面，众所周知，解析几何的研究对象与欧氏几何相同，但是它们的研究方法不同，这里不再赘述。综上所述，中学数学中的解析几何以数形结合思想为指导，以坐标法为核心，以空间形式为研究对象，用代数方法研究
4、几何；与函数知识紧密联系，是初等数学通向高等数学的桥梁。因此，解析几何是融中学代数、几何、三角等为一体的综合性课程。通过解析几何学习，可以使学生对已学知识融会贯通，把数和形的研究紧密地结合起来，提高综合应用数学知识的能力。同时，系统地掌握解析几何的基础知识，也为今后学习高等数学奠定了坚实的基础。2解析几何的教学目标体系解析几何的教学目标体系可以从知识、方法、思想、观点等几个层次进行构建。在确定这一目标体系时，要特别注意从解析几何的学科特点出发。考察解析几何的学科特点，最重要的是它的“方法论”特征；另外就是它的“综合性”，首先是用代数方法研究几何问题，同时，用几何的眼光处理代数问题（几何直观能力
5、的体现）。据此，解析几何的首要教学目标应是理解“坐标法”，具体包括用坐标法解决问题的过程和要素（“三步曲”）以及在应用坐标法过程中体现的数形结合思想。当然，要让中学生通过解析几何的学习完全掌握坐标法是不现实的。因为虽然从方法本身看非常朴实，但中学的解析几何中处理的内容相对简单，还不足以表现坐标法的力量，所以只能要求学生初步掌握方法，初步学会用坐标法思想思考和处理问题，并注意在其它学科的学习中渗透。思想方法必须有具体知识作为载体才能被领会，也只有和具体知识融为一体才能发挥作用。因此，坐标法必须在解析几何知识的学习中逐步掌握。直线和圆锥曲线是比较简单的平面曲线，以这两种曲线为载体学习解析几何，可以
6、更好地使学生把精力集中于坐标法的领悟。具体的知识目标是：掌握直角坐标系中曲线与方程的关系。能根据直线、圆锥曲线的几何特征，选择适当的直角坐标系，建立直线方程和圆锥曲线方程；能通过直线方程、圆锥曲线方程讨论它们的性质。一般地，能根据问题的几何特征，选择适当的坐标系建立曲线方程，并能通过方程研究曲线的性质。能利用坐标变换化简曲线方程。了解一些重要曲线的极坐标方程和参数方程。更高层次地看，由于解析几何是运用辩证法思想分析和解决问题的典范，因此教学中应利用这一特点，培养学生用运动、变化和对立统一等观点分析和解决问题，领会辩证法思想。3解析几何的课程结构图（1）总体结构（2）直线与方程（3）圆锥曲线与方
7、程几点说明：第一，数形结合思想和坐标法是统领全局的，曲线与方程的关系（一种充要条件）是讨论各种具体问题的基础，但这些都是“默会知识”，要采取逐步渗透的方法使学生领会和掌握。在学习直线与方程、圆与方程时，采取默认的方式，先不刻意从“曲线与方程”角度讨论，学生也不会特别提出疑问。有了一定的基础后，在椭圆、双曲线、抛物线之前讨论“曲线与方程”，还是比较合适的。第二，斜率概念和过两点的直线的斜率公式是“直线与方程”部分的核心内容，其他大部分内容都可以看成是由此“导出”的内容。“点到直线的距离公式”由于其联系的广泛性，是“先用几何眼光观察与思考，再用坐标法解决”的好素材，能很好地体现坐标法的综合性。圆锥
8、曲线中，椭圆具有典型性，其他曲线的讨论可以通过类比椭圆的讨论完成。第三，直角坐标系内，两点间的距离公式、定比分点公式（中点坐标公式）、倾斜角、斜率、两条直线的交角（平行、垂直）等与直线的方程没有直接关系（不需要根据直线方程来讨论），这些内容的安排可以有一定的灵活性。从系统性考虑，把交角、平行、垂直等作为性质，在求出直线方程后，用坐标法进行讨论，也是作为“用代数方法研究几何问题”的初步实践，比较合适。另外，作为应用，在直线与方程的最后安排一定的用坐标法解决平面几何典型问题（如与三角形的外心、重心、垂心有关的问题）的实践，对于学生领会坐标法、提高学习兴趣等都是有好处的。第四，圆锥曲线与方程是中学解
9、析几何课程的核心内容，也是平面几何没有涉及的，所以应当特别强调确定这些曲线的几何要素的探索。在明确几何要素的基础上，再利用对称性建立坐标系求标准方程。圆锥曲线的统一定义表明它们之间的内在联系，是非常重要的。但是为了分散难点，把表现各类圆锥曲线的“个性定义及其方程”放在直角坐标系下讨论，把“统一定义及其方程”放在极坐标系下讨论。实际上，在极坐标系中建立统一定义下的圆锥曲线方程更加方便，方程也更加简单、优美。第五，从解析几何课程的性质出发，由削枝强干的考虑，同时也是课时所限，对于那些需要较多的平面几何知识才能较好解决的问题，在解析几何教学中最好不要涉及。也就是说，解析几何中的综合，应当以“用坐标法
10、解决几何问题”为主，研究“代数关系的几何意义”为辅。第六，高中解析几何课程，空间坐标系可以不必涉及。在用空间向量解决立体几何问题时，再介绍空间直角坐标系就可以了。这样既体现削枝强干原则，又体现学以致用的原则。用到时再适时引入有利于学生的学习兴趣、及时巩固等。4解析几何的内容和要求（1）直线与方程理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；掌握两点间的距离公式。根据直角坐标系内确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程点斜式，并能由点斜式推出两点式及一般式；理解斜截式与一次函数的关系。能根据直线方程探索并掌握：两条直线平行或垂直的条件；两直线的
11、交点坐标；点到直线的距离公式；两条平行直线间的距离。能用直线的方程解决简单的问题。（2）圆与方程在平面直角坐标系中，根据确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。能根据直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。（3）曲线与方程结合实例，理解曲线与方程的关系，进一步感受数形结合的基本思想。（4）圆锥曲线与方程从具体情境中抽象出确定椭圆、双曲线、抛物线模型的几何要素；掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质。能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系等）和实际问题。（5）坐标变换在直角坐标系中，
12、通过具体例子，探索并理解坐标平移公式。在直角坐标系中，通过具体例子，了解坐标伸缩变换作用下平面图形的变化情况。（6）极坐标系能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，理解极坐标系和平面直角坐标系的区别与联系，能进行极坐标和直角坐标的互化。能求简单曲线（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）和圆锥曲线统一定义下的方程。（7）参数方程利用直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。能求平摆线和渐开线的参数方程。能用参数方程解决一些简单问题。说明：到底应该让学生讨论哪些圆锥曲线的性质，主要应该从是否能较好反映圆锥曲线的重要特点出发。从标准方程的特点，最容易得到的是范围、顶点、对称性等
13、，而离心率、准线、渐近线、光学性质等最能反映圆锥曲线特点的性质，则很难直接从方程中得到，需要安排专项讨论才能完成。所以，圆锥曲线性质的讨论可以分为如下三块：在“个性定义”下，讨论范围、顶点、对称性、渐近线等；在“统一定义”下，讨论离心率、准线等；在圆锥曲线的应用中讨论光学性质。“几何变换的代数表示”与这里讨论的问题联系并不紧密，因此坐标变换的内容如果不与“曲线方程的化简”结合，不能显示其学习的必要性。所以，是否需要这一内容，或者把它放在函数中去，都是可以研究的。2011-04-08 人教网我国中学解析几何教材的沿革“中学数学中的解析几何”之二人民教育出版社中学数学室 章建跃上文我们从解析几何的
14、创立和发展的回顾中，讨论了解析几何的思想方法、内容和意义。本文将在追溯我国中学解析几何课程发展历史的过程中，对解析几何教材的功能定位、结构体系、内容和要求等进行讨论。1我国中学解析几何课程历史简述我国中学数学从 20 世纪初就设有解析几何课程。涵盖的内容有：德卡儿（即笛卡尔）坐标系、轨迹与方程、直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程、极坐标、坐标变换、切线和法线、一般二元二次方程及其轨迹性状的讨论、高次平面曲线超越平面曲线等，内容比较齐全，安排在高二、高三，每周 23 课时不等。1932 年，为了解决课程多课时少的矛盾，提出“与其教材过多，徒使学生食而不化，不如注意基本训练，养成其自动研究之能力。故
15、解析几何仅需讲大意。”因此课程名称改为解析几何大意，在高三学习一年，每周 2 课时。到 1936 年，解析几何的内容大量增加，除平面解析几何外，还增加了不少空间解析几何的内容：空间坐标与轨迹、平面及直线、特殊曲面、空间坐标变换、二次曲面、空间曲线方程式及其性质等，仍在高三学习，周课时数增至 4 课时。在 1948 年，解析几何课程又出现大调整，将空间解析几何删去，只学平面解析几何，并大量减少课时数，在高三开一学期的课，每周 3 课时。新中国成立之初，1950 年颁布数学精简纲要，其中以斯盖尼三氏解析几何学为主要参考书，确定了高中解析几何“应授教材”纲目，章节名称是：第一章直角坐标；第二章 直线
16、；第三章 曲线和方程；第四章 圆；第五章 抛物线，椭圆，双曲线；第六章 坐标的转换；第七章 切线和法线；第八章 极坐标；第九章 襄变方程；第十章立体解析几何大意。内容又大大增加，从高二下学期开始学习，课时量为高二（下）2 课时，高三 3 课时。1952 年开始学苏联，不在中学设置解析几何课程，直到 1963 年才把它重新纳入中学数学课程体系，只学平面解析几何，但内容比较齐全，学时为 90 课时，在高三年级开设。此后的解析几何课程基本上是在 1963 年的基础上进行调整，但在结构体系上没有大的变动，主要是不断精简内容。到 2000 年，坐标变换、极坐标、参数方程等都被精简，圆锥曲线的切线、法线以
17、及统一定义等都不再学习，学习时间减为 40 课时，在高二上学期开设。2解析几何教学目标和要求的变化我国的解析几何教学历来强调两个功能：第一，作为初等数学到高等数学过渡的桥梁；第二，作为沟通代数与几何的综合性学科。基于这样的认识，在不同阶段提出的解析几何教学目标和要求虽各有差异，但本质没有多少改变。例如：1932 年“课标”的“实施方法”中提出：“解析几何应融会代数、几何、三角诸学程，示其相互为用，简略提示中学阶段算学科之总结束，一面立高深研究之基础。”1941 年的六年制中学数学课程标准草案中提到：（1）解析几何之教学，应融会代数、几何、三角诸学程，示其相互为用之处，一面作中学阶段算学科之总结
18、束，一面立高深研究之基础。（2）解析几何之教学，又应与代数、几何、三角互相联络，以解决几何问题，而充分表示算学各部分呼应一气之特色。（3）欲图形与数量得相应之关联，不得不用推广之几何原素，故解析几何遂不能不与综合几何互有出入（如分角线求法之问题）。凡此等处，最宜使初学者注意，以期其见解明晰，无所惶恐。（4）综合法作图之范围，非解析莫能决，如有充分时间，宜略示作图不能之意义。又在同一年的修正高级中学数学课程标准中提出：解析几何的教学应使学生知用坐标及代数方法，研究图形性质及解决实用问题；使学生熟习圆锥曲线之性质与应用；使学生认识各种著名曲线；养成学生函数观念及分析能力。1951 年中学数学科课程
19、标准草案中提出的解析几何教学目标是：（1）应用代数方法研究几何；（2）学习函数和图像的相互关系；（3）本科以研究圆锥曲线为主；（4）沟通形数，奠定学习解析数学的基础。1963 年的教学大纲中提出，解析几何应安排在高中最后阶段，这样，一方面使以前所学的数学知识融会贯通，把数和形的研究紧密地结合起来，提高综合运用数学知识的能力；另一方面要系统掌握解析几何的基础知识，为学习高数打下扎实的基础。这一大纲提出的解析几何教学要求比较高：掌握直角坐标系中曲线和方程的相互关系；能根据所给条件妥善选择坐标系，列出曲线的方程；能通过方程的讨论，掌握曲线的性质，画出曲线；能运用坐标法论证图形的性质；掌握直线和圆锥曲
20、线的各种方程、性质以及圆锥曲线的各种画法；能利用坐标轴的平移和旋转简化二次方程；掌握一些重要曲线的极坐标方程和参数方程。此后的教学目标和要求主要是在上述框架下进行调整。例如，1986 年的大纲中提出，解析几何教学要使学生：（1）了解解析几何研究的对象、方法和意义。（2）掌握直角坐标系中曲线和方程的相互关系；能根据所给条件选择适当的坐标系求曲线方程；通过对方程的讨论掌握曲线的性质，画出曲线；能运用坐标法解决有关问题。（3）掌握直线和圆锥曲线的方程、性质及其画法；能利用坐标轴的平移化简圆锥曲线方程；了解一些重要曲线的极坐标方程和参数方程。（4）使学生能够用运动、变化和对立统一的辩证观点去分析问题。
21、总之，解析几何的教学目标和要求，都是围绕着使学生理解和掌握坐标法，并用坐标法研究直线、圆锥曲线以及其他重要曲线的方程、性质和作图等来考虑。尽管内容有深有浅，范围有广有窄，但大框架没有改变。3内容的选取在我国中学数学课程发展史上，解析几何课内容的确定，经历了不断精简的过程。新中国成立之前的较长一段时间（19361951 年），中学解析几何课程包括空间解析几何。新中国成立后，则以学习平面解析几何为主。平面解析几何内容的选取，主要考虑的是内容是否要求完整。过去较长时间内，内容比较齐全：首先讲理论基础，即从有向线段开始，引进直角坐标系后，讲解基本几何量（角、距离、面积、斜率、分点等）的解析表示，让学生
22、初步熟悉坐标系；接着安排曲线与方程的基本定理，包括曲线和方程的概念，由曲线求方程，由方程画曲线，两条曲线的公共点（方程组的解）等。接着，在上述理论准备的基础上，安排直线及其方程和圆锥曲线及其方程的学习。前一部分包括：各种直线方程、经验公式、直线方程的法线式、直线族、两条直线的位置关系（平行、垂直的充要条件）、点到直线的距离、交角公式、三线共点的条件等；圆锥曲线及其方程包括：圆的方程、三个条件决定一个圆（包括圆系）、椭圆的定义和标准方程、椭圆的性质（截距、对称性、范围、离心率）、用几何方法画出椭圆上的点（尺规作图），双曲线、抛物线的讨论思路与椭圆一致，最后给出圆锥曲线的统一定义。另外还讨论了圆锥
23、曲线的切线定义（极限法给出）、圆锥曲线的切线方程（求法步骤、法线）、切线和法线的性质等。第三部分是坐标变换，包括坐标轴的平移（公式、利用平移化简方程）、方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 的讨论（椭圆型、双曲线型、抛物线型）、坐标轴的旋转（公式）、利用旋转消 xy 项、一般二次方程的讨论和化简；圆锥曲线系。第四部分是极坐标，包括极坐标的概念、极坐标与直角坐标的互换、极坐标方程的图形、求轨迹的极坐标方程、圆锥曲线的定义和它的极坐标方程等。第五部分是参数方程，包括参数方程的概念、普通方程和参数方程的互化、由参数方程画图、利用参数求方程等。上述内容的选取和编排，除了内容完整、齐全外，以公理化思想
24、组织内容体系也是一个突出特点，重视数学理论的逻辑结构，较少考虑学生的学习心理。文革结束后，平面解析几何内容的确定，主要是在上述基础上的精简：首先，理论基础上不作过分求全，简单的直角坐标系理论分解到初中；其次，直线方程重点讲点斜式和一般式，位置关系强调平行和垂直，度量问题主要讲距离（点到直线的距离为重点）；再次，突出“标准方程”的主干地位，不对一般的二次方程及其曲线进行讨论，在圆锥曲线的统一性上不做过多讨论；第四，主要在直角坐标系下讨论问题，逐步删减了极坐标系的内容；第五，强调参数的思想，把参数方程的训练分散到其他主干内容中去；第六，因为中学生对用不变量思想讨论几何图形性质的理论理解有困难，所以
25、坐标变换的内容逐步削弱；第七，由于主张用导数为工具讨论二次曲线的切线和法线，因此只保留少数与方程的思想和方法紧密相关的切线问题（用二次方程根的判别式求解）。4内容编排中考虑的几个问题（1）“曲线的方程”“方程的曲线”概念的处理两种处理方式：一种是在给出直角坐标系概念后，马上定义“曲线的方程”和“方程的曲线”；另一种是在直线的方程、圆的方程内容之后再给定义。显然，前一种处理方式主要考虑数学的逻辑性，这样处理具有数学的严谨性。但由于这一概念很抽象，学生在没有一定的方程与曲线关系的感知基础时，很难理解，所以作为教材的组织方式，这样做不合适。第二种处理方式比较合适。首先，作为解析几何的基本概念，“曲线
26、的方程”和“方程的曲线”不能出现太晚。考虑到与学生的认知基础相适应，采取“具体抽象具体”的方式，先在直线及其方程、圆及其方程的学习中“渗透”，借助直线和二元一次方程的关系、圆与其方程的关系的讨论，作直观、具体的论述。在学完圆的方程后，再归纳出“曲线的方程”“方程的曲线”概念，这样就使学生在理解这一抽象概念时有一定的认知准备。当然，在讲解概念时，还要有具体的典型例子为载体，并要配合一定的求曲线方程的练习。在对曲线和方程的概念有了一定程度的理解后，再在概念的指导下，对圆锥曲线进行较系统的研究。在具体处理“曲线与方程”时，细节上还有一些问题要考虑。例如：是否完整地讲“已知曲线求方程”和“已知方程讨论
27、曲线的性质和作图”。一般地，仅仅讨论某一个具体方程的性质和作图意义不大，还是结合圆锥曲线的学习，通过方程讨论一类曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的性质，更能体现代数方法研究几何图形性质的优越性。因此，以往教材这里只讨论已知曲线求方程的问题，这样处理还是合适的。用怎样的数学语言表述概念。一般地，为了使表述规范、简洁，同时也为了使学生熟悉用集合和对应的语言表述数学问题，可以考虑用集合与对应的语言和符号描述轨迹概念：“轨迹就是满足所给条件的点 M 的集合，表示为：P =M：f (M)=a”。但是，也有一些人认为，这样抽象的语言、符号许多学生理解不了，与其为了严谨而引进抽象符号表示而导致学生的学习困难，对
28、学生掌握解析几何的基本思想产生不利影响，倒不如在这里退一步，用不太严格的直观语言加以描述，把重点放在领会解析几何的基本思想，再逐步严谨化。是否要先讲“充要条件”。对“曲线与方程”“方程与曲线”的理解需要有充要条件的概念。在以往的教材体系中曾经采用过三种处理办法：一是用充要条件的语言讲“曲线与方程”概念，同时对“充要条件”等概念进行解释；二是先用一定的课时学习“充要条件”概念，然后再学习“曲线与方程”概念；三是把“充要条件”放在“简易逻辑”中，这里作为已知概念使用。我们知道，“充要条件”是一个教学难点。学生虽然学过“四种命题”，接触过不少的充要条件命题，但从逻辑上理解还是有一定的困难，这里安排一
29、节“充要条件”内容，在数学上严谨了，命题的叙述也方便、准确了，但这是“节外生枝”，打断了解析几何本身的系统和连贯性。而且连续的两个抽象难懂概念放在一起学习，对学生的学习心理确实有不利的影响。所以，这个内容安排在“简易逻辑”中更合适。只是不管安排在哪个位置，都不要在概念本身的严格性上做过多文章，应当是知道、能用就可以。（2）是否把圆作为一种特殊的圆锥曲线单独研究显然，无论从平面截圆锥的位置的区分，还是从二元二次方程的一般式看，我们都可以很容易地看到，圆是圆锥曲线的特例，圆的方程也是二次曲线方程的特例。所以，不单独列出“圆及其方程”，而是从一般的角度入手，对方程 Ax2+Bxy+ Cy2+ Dx+
30、 Ey+F=0 的系数的各种取值情况进行讨论，也是完整、系统的。但是，这样做不符合学生的认知规律，也是学生的能力所不能及的。另一方面，圆的性质是学生在平面几何中系统学习过的，他们对这一图形的性质已经有比较充分的认识，单独列出“圆及其方程”，既可以让学生利用平面几何中获得的圆的知识，又可以让他们体会坐标法与综合法之间的异同，体会坐标法的本质，以及把坐标法和综合法结合起来研究问题的好处，从而体会数形结合思想。所以，先处理“圆及其方程”，并且用坐标法处理一些圆与直线、圆与圆的位置关系问题，是符合数学教学法原则的。当然，在具体处理时，应当照顾到与二次曲线的衔接问题，这就是要让学生从圆的标准方程( xa
31、) 2+(ya) 2=r2 展开得到一般方程，观察它的特点，得出圆的方程一定可以化为 x2+y2+ Dx+ Ey+F=0 的形式，并对系数 D，E，F 满足什么条件时，才是圆的方程进行讨论（这里要用配方法，并要对方程有无数解、唯一解以及无解的几何含义进行解释）。为了加强这种联系性，可以介绍用待定系数法求圆的方程的方法和步骤，还可以从中得到：“三个独立条件唯一确定方程 x2+y2+ Dx+ Ey+F=0”，与平面几何中“不共线三点唯一确定一个圆”是一致的，等等。（3）圆锥曲线的顺序问题可以有两种：椭圆到双曲线再到抛物线；抛物线到椭圆再到双曲线。前一种顺序，考虑的是圆与椭圆的密切关系，而且从平面截
32、圆锥的连续过程看，是圆椭圆抛物线双曲线，从方程的角度看，圆的方程可以作为椭圆方程的特例，而双曲线的方程与椭圆方程是符号之差，抛物线的方程与其余几种是不一样的；后一种顺序，主要是抛物线方程更加简单，抛物线有很好的光学性质，应用比较广泛，另外也与二次函数联系紧密。所以，两种顺序都是可以的。（4）圆锥曲线的统一定义及其方程在什么时候出现应当说，统一定义是重要的，应当用适当的方式安排学生学习这一内容。而且只有学习了统一定义，才能真正理解离心率的意义。这里实际上是对不同曲线的个性与共性的处理问题。从个性出发，有利于对相应曲线的性质进行全面研究；在对个性研究的基础上再归纳概括出共性，可以达到更进一步的认识
33、。另外，从动点满足的几何条件“到定点与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”出发，建立直角坐标系，最容易想到的是取定点为原点或取定直线为坐标轴，但这样得到的都不是标准方程，而在极坐标系下，以定点为极点，垂直于定直线的射线为极轴，得到的方程是简单而对称的。所以，在“个性定义”下，以给定坐标系的方式，让学生体会“统一定义”，再在讲完三种曲线后作适当总结，把圆锥曲线用离心率统一起来，使学生的认识加深，最后再在极坐标系下求出统一方程，这样的安排还是综合考虑了数学的科学性、严谨性和学生的认知规律及接受能力的。（5）圆锥曲线的切线、法线内容的取舍问题从应用的角度看，圆锥曲线的许多性质，特别是光学性质，都与切
34、线、法线有关，不介绍这些内容是一个损失。但是，曲线的切线，只有用极限概念才能准确定义，处理曲线的切线问题的最理想工具是导数。当然，这里用直线与圆锥曲线方程组成的方程组有且只有一解的事实，利用二次方程根的判别式也能求出切线方程。考虑到课时问题，在几次改革以后，圆锥曲线的切线和法线已经被删除了。但实际上这是解析几何的一个很好的学习题材，而且又有很好的实际应用，因此，如何取舍，还是要根据不同的需要来考虑。（6）坐标变换内容的处理实际上，坐标变换体现的是曲线的刚体运动不变性，通过坐标变换化简方程，以便更加方便地讨论曲线的性质，更重要的是从中可以对曲线进行分类。但是，这样的讨论是非常专业化的数学问题，对
35、于一般的学生来讲，学习如此专业化的问题是不必要的。所以，经过多年的改革，这部分内容已经不再被列入学习范围了。（7）极坐标和参数方程内容的处理应当说，极坐标的思想与我们日常生活习惯更加接近，因为当我们要确定自己的位置时，一般用“距离”和“方位”来表示。但是由于极坐标系下需要代数和三角两种工具，相对来讲比直角坐标系下的方程复杂一些，通常情况下人们更习惯使用直角坐标系。处理某些与运动（特别是圆周运动）有关的轨迹问题，例如求旋轮线、圆的渐开线、摆线等的方程，参数的作用很大，而且这些曲线在生产实践中非常重要，另外，应用参数的思想解决数学中的轨迹问题，比较好地体现了坐标法与函数观念的融合，因此参数方程的学
36、习无论对数学本身还是对解决实际问题都有其需要。不过，是否单独设置章节，还是可以研究的。一般的，渗透到其他内容中学习也是可以考虑的一个方案。解析几何的思想、内容和意义“中学数学中的解析几何”之一人民教育出版社中学数学室 章建跃本文的目的是介绍解析几何发展的历史，重点讨论解析几何的方法坐标法（坐标法），及其核心思想数形结合思想，并在此基础上，讨论中学数学中解析几何的课程结构、内容及其处理方法，最后介绍人教 A 版高中数学课标教材解析几何部分的编写特点和教学建议。由于内容较多，我们分四个题目进行讨论。众所周知，近代数学的第一个里程碑是解析几何的诞生。这也是因应了时代发展的需要。文艺复兴使得科技文明获
37、得新生，近代科学技术的发展使运动变化的研究成为自然科学的中心问题，由此而迫切需要一种新的数学工具。这样，数学就再一次“扮演了先行者、奠基者的角色”，“而其中影响无比深远者首推坐标解析几何和微积分，它们奠定了对于各种各样自然现象作深刻的数理分析的基本工具。”1作为“方法论”的坐标法思想解析几何的创建是为了科学发展的需要，同时，从数学内部来看，也是出于对数学方法的追求。认识清楚这一点，对于我们理解解析几何的基本思想特别重要。这可以从追溯Descartes 和 Fermat 在创立解析几何时的心路历程看出这种追求。（1）Descartes 的坐标法思想Descartes1596 年 3 月 31 日
38、出生于法国拉埃耶一个古老的贵族家庭。他从小体弱多病，但非常好学，勤于思考，他不仅在数学上做出了重要的开创性贡献，而且在哲学、生物学、物理学等众多领域都做出了杰出贡献。他是机械自然观的第一个系统表述者，被誉为近代哲学的开创者。正如克莱因指出的，“Descartes 是第一个杰出的近代哲学家，是近代生物学的奠基人，是第一流的物理学家，但只偶然地是个数学家。”他以大哲学家的眼光审视数学，认为数学立足于公理上的证明是无懈可击的，而且是任何权威所不能左右的。数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法。数学方法“是一个知识工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力，因而它是所有其他知识工具
39、的源泉所有那些目的在于研究顺序和度量的科学，都和数学有关。” 他研究数学，目的是想寻找一种能在一切领域里建立真理的方法。他认为，逻辑本身对任何创造性的人类目标都贫乏而毫无用处；哲学、伦理学、道德学中的证明，与数学相比，花哨而虚假。那么应当如何发现呢？这就是：通过“控制下的实验”并对实验结果应用严格的数学推理。Descartes 认为，以往的几何、代数研究都存在很大缺陷：欧氏几何中没有那种普遍适用的证明方法，几乎每一个证明都需要某种新的、技巧性很强的想法；代数的方法具有一般性，其推理程序也是机械化的，但它完全受法则和公式的控制，以至于“成为一种充满混杂与晦暗、故意用来阻碍思想的艺术，而不像用来改
40、进思想的科学”。所以，代数与几何必须互相取长补短。不过，他推崇代数的力量，认为代数方法在提供广泛的方法论方面要高出几何方法，因此代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。于是，他提出了一个计划，即任何问题数学问题代数问题方程求解。他把精力集中在研究怎样把代数方法用于解决几何问题，其结果是创立了解析几何。1637 年，Descartes 在朋友的劝说下出版了更好地指导推理和寻求科学真理的方法论（简称方法论），这是一本“文学和哲学的经典著作”，包括三个著名的附录几何学、屈光学和气象学，解析几何的发明就包含在几何学中。他用于说明坐标法思想的问题是著名的 Pappus 问题，这是一个求与若干条给定直线具有
41、确定关系的点的轨迹问题。他用坐标法证明了给定的直线是四条时的 Pappus 结论，实际上就是通过建立平面上的坐标系，使点与坐标（有序实数对（x，y）一一对应，求出 x，y 满足的方程： y 2Ay+ Bxy+Cx+Dx2，其中 A，B，C，D 是由已知量组成的代数式，并把这个方程看成是点的轨迹（曲线）。这样，一个几何问题就归结为代数问题。所以，Descartes 的理论建立在两个观念的基础上：坐标观念；利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成是平面上的一条曲线的观念。基于坐标法思想，Descartes 给出了一系列新颖的结论，例如：曲线的次与坐标轴的选择无关，因此选择的坐标轴要使得方程越
42、简单越好；在同一坐标系内写出两条不同曲线的方程，解它们的联立方程组就求出两条曲线的交点；用方程的“次”给几何曲线分类，圆锥曲线的方程是二次的（没有证明）；等。（2）Fermat 的坐标几何我们知道，Fermat 是数学史上最著名的数学家之一，在数论、代数的研究中成就卓著。进一步地，他考虑用代数来研究曲线。在一本轨迹引论的小册子中，他提出要发起一个关于轨迹的一般研究，这种研究是希腊人没有做到的。他提出的一般原理是：只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一，其末端就描绘出一条直线或曲线。直线只有一种，曲线的种类则是无限的，圆、抛物线、椭圆等都是。他明确地使用了坐标的概念
43、，而上述“未知量”实际上就是“一类数的代表”，即变量，也就是横坐标、纵坐标。综上所述，Descartes 和 Fermat 创立解析几何的原动力是他们对普适性方法的追求，因而解析几何具有浓厚的“方法论”色彩。事实上，在 17 世纪的前半叶，一系列最优秀的数学家已经接近了解析几何的观念，但只有 Descartes 和 Fermat 特别清楚地意识到了创立新的数学分支的可能性。唯有作为哲学家的 Descartes，才提出了“创造一种方法，以便用来解决所有的几何问题，给出这些问题的所谓一般的解法”的思想；同样的，唯有作为精通数论并对字母代表数的思想能应用自如的大数学家 Fermat，才能洞察数量方法
44、的深远意义，而且注意到代数具有提供这种方法的力量，并用代数方法来研究几何。总之，几何、代数和一般变量概念的结合是坐标法的起源；只有像 Descartes 和 Fermat 这样具有综合性知识结构的大家，才能顺应时代的要求而发明这一对数学发展具有决定性影响的方法。了解这一点很重要，因为这能使我们理解为什么在中学数学中要学解析几何，以及为什么解析几何课应当把重点放在对坐标法的理解和应用上，而不是把精力浪费在一些复杂的求曲线方程的代数变换上。2解析几何的发展与任何新的发明创造一样，坐标法思想也是在很长时间的检验、争论后才逐渐被数学界所接受和使用。有许多原因阻碍了解析几何思想的传播。例如，尽管 Des
45、cartes 知道自己的贡献的绝不仅仅是提供了一个解决作图问题的新方法，但他对作图问题的强调淡化了坐标法思想，致使人们认为解析几何主要是解决作图问题的工具；当时，有许多数学家反对把几何和代数混淆起来；人们认为，代数的理论要从几何的逻辑论证中找到依据，代数缺乏严密性，因而不能替代几何，甚至不能与几何并列；等。不过，是金子总会发光，也有许多人逐渐接受并开始发展解析几何。例如，1655 年，John Wallis 在 论圆锥曲线中第一次得到圆锥曲线的方程，他把圆锥曲线定义为对应于含 x 和 y 的二次方程的曲线，并证明这些曲线确实就是几何里的圆锥曲线。他的书对传播坐标几何的思想起了很大作用，同时也普
46、及了这样的处理法：把圆锥截线看作是平面曲线，而不看作是圆锥与平面的交线。他强调代数推理是独立有效的，并不需要依靠几何的证实。值得指出的是，直接把圆锥曲线看成是平面曲线，是对应于含 x 和 y 的二次方程的曲线，可以使人们更直接地看到坐标法的有效性，即可以直接从方程性质的研究得到曲线的性质，这比只把代数作为一种工具的观点显然前进了一步，只有这样才真正实现了数形结合。又如，在流数法与无穷级数中，Newton 用了很多解析几何的方法，他第一次引进了类似于极坐标系的新坐标系；Bernoulli 在解析几何上也有许多贡献，例如他在 1691 年发表了关于极坐标的文章，在 1694 年用坐标法讨论了双扭线
47、，这是一条在 18 世纪的科学发展中起了相当大作用的曲线。人们在研究中发现，用坐标法讨论那些有用曲线的性质，例如对数螺线、悬链线、旋轮线等，是非常有效的。当然，解析几何基础中的主要几何内容是圆锥曲线的理论。如果对古希腊人来说，圆锥曲线只是具有纯粹数学兴趣的对象，那么在 17、18 世纪的科技文明大发展的时代，研究它们则主要是为了解决天文学、力学和技术等中的问题。在 18 世纪，平面解析几何得到广泛研究，并发展为成熟的学科。例如，Jacob Hermann 在 1729 年自由地用极坐标研究曲线，还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式；1748 年，Euler 在他的名著 引论中引进了曲线的参数表
48、示，书中对平面解析几何进行了系统讨论；等。空间解析几何在 18 世纪也得到大发展。John Bernoulli 在 1715 年给Leibniz 的一封信中引进了三个坐标平面，经过后来的数学家的改善，弄清了曲面能用三个坐标变量的一个方程表示出来的观念；1731 年，Clairaut 在关于双重曲率曲线的研究一书中，给出了一些曲面的方程，弄清楚了描述一条空间曲线需要两个曲面方程，给出了求垂直于投影平面的柱面的方程，关于 x，y 和 z 的齐次方程表示顶点在原点的一个锥面；Euler 在 引论第二卷的一个附录中，详细系统地研究了空间解析几何，通过坐标变换，把方程 ax2+by2+cz2+dxy+e
49、xz+fyz+gx+hy+kz=l 化成标准形式，并得到六种曲面：锥面，柱面，椭球面，单叶和双叶双曲面，双曲抛物面和抛物柱面，他主张按方程的次数对空间曲线、曲面进行分类，因为次数是线性变换下的不变量；此外，Lagrange、Monge 等数学家都对解析几何投入了大量研究，得到了大量关于空间曲线、曲面的性质，Newton 对高次平面曲线进行了大量研究；等。由于 Euler，Lagrange 和 Monge 的工作，解析几何成了一门独立且充满活力的数学分支。3平面解析几何的定义和主要问题从前面的论述中可以看到，解析几何体现了研究几何的代数方法。这就是利用坐标系将点表示为有序数组，建立起空间点与有序数组之间的一一对应，由此可以将空间的线（直线、曲线）、面（平面、曲面）表示为一个方程，几何问题就归结为代数问题；然后借助于代数运算和变换，对这些数、代数式及方程之间的关系进行讨论；最后再把讨论的结果利用坐标系翻译成相应的几何结论。这就是我们熟悉的三步曲：翻译代数讨论翻译。因此，解析几何就是在采用了坐标方法的同时，运用代数方法来研究几何对象。它所解决的主要问题是：(1)通过计算来解决作图问题
