1、 “函数的应用”教学设计及应用课教学研究( 第二讲 ) 王尚志：首都师范大学 教授 张思明：北京大学附属中学 特级教师 李大永：首都师范大学附属中学 中学高级 隋丽丽：北京第 15 中学 特级教师 张思明：各位老师大家好，欢迎大家继续参加高中数学远程培训。上一讲我们介绍了数学应用的教学设计，在这一讲我们就数学应用，在对于比较好的学生，对于各种不同类型的学生，我们的课堂设计的一些想法，以及应用教学的一些思考，首先我来介绍一下参加这节课讨论的各位嘉宾。那位是首席师范大学博士生导师王尚志教授；这位是北京第十五中学的隋丽丽老师，她是北京市的特级教师。我身边这位是首都师范大学附属中学的李大永老师，欢迎各
2、位来参加我们的讨论。在上一节课里我们看到的结合课堂教学的一些应用设计的思考，这节课首先想请两位老师介绍一下，在实际的教学过程当中，你们认为应用课堂教学里主要的困难和学生出现的问题有哪些。 隋丽丽：因为这么多年来在教学实践当中，就是跟学生在一起磨合，函数应用或是数学的其他方面的应用，学生感觉最困难的是找不到问题，因为我们谈的这个应用不是课内编造命题的应用课，而是希望同学自己找到一个实际问题，然后利用他所学的数学知识来解决，所以感觉最困难，最开始是他找不到问题。接下来，他找到了实际问题，又难以转化成数学问题，用他所学的知识去解决，这也是一个困难。再有一个困难感觉比较突出的，他面对生活实际来源这样的
3、问题，它变量比较多，那么这时候他就需要筛选，要选择主要变量，在选择变量的时候，他也遇到了很大的困难。所以我们感觉在做的过程当中，学生在这几方面的问题比较突出。 张思明：大永有什么感觉？ 李大永：她说的这个也是我在教学当中感悟到的，学生提问题，因为现在的学生主要精力都放在书本文化知识学习，他接触的本身就很少，所以想提问题很困难。他一般提不出实际背景的问题，我觉得因为他的生活经历和关注都比较少。再有他有了一些问题以后，抽象成自己可解决的问题也是比较困难的。像这学期有一个学生提到油价总是上涨，其实很简单，但是他自己对这个还是不太清楚。就是随着油价上涨，那我每次加油的时候，每次加一定钱数还是加满，这是
4、一个简单的不等式问题。 隋丽丽：举一个例子，我们学生经常在找到实际问题以后他也知道去调研，有一个学生做出租车计价合理性的研究，他经过市场调研以后，他发现了这么一件事情，就是说出租车司机以及它的公司是一个利益方，然后老百姓是一个利益方，结果他发现双方的利益最后绝对值的差为零，他说我要再做就没有实际意义了。也就是说实际上他有时候找到问题了，他也去调研了，可是真正做出来以后，他这个问题可能没有一个特别好的应用价值，这也是他的一个困难。所以他在做的时候就会说，要学会放弃，有的时候也是挺重要的。比如说这个学生第一个问题觉得不行的时候，他再选择第二个问题，根据自己学业的特长研究机器人，于是他就提出来，说机
5、器人步态稳定性的研究。在研究的时候，他又去找到了自动化所的一些相关的科研人员去了解相关的知识，结果他发现变量太多了，作为一个高一的学生不可能解决。最后他又选择了一个从上课与规律睡眠时间，他突然间想起和黄金分割比这种拓展的研究，最后研究还是挺好的。 这个学生整个选题，从失败到最后能够选到一个适合他能够研究下去的过程，我们就来反思原因是什么。可能是我们平时的教学关注学生的生活不太够，我们在讲一些东西的时候，可能很少联系这些生活上的东西，然后再去讲我们数学的知识。还有一个可能关注学生在课堂的活动也比较少，关注学生再创造及培养问题意识，在我们平时教学当中可能薄弱一点，所以造成学生再去提自己的一些实际生
6、活中的问题就比较困难。 张思明：像王老师，您从大学老师的角度怎样看待我们中学里做的一些应用。很多老师认为把应用题讲懂好像最容易做到，那么我们应用核心的价值观，或者是老师们要分出层次讲一点应用，或者让学生多做一点，它的教学目的，也就是说我们期待老师做的本职上的事情是什么。 王尚志：刚才大家提了我们在开展应用数学教学当中的一些问题，我也同意大家提出来的这些问题。提到我们开设数学建模课程，或者让学生找一些实际中的问题做，最主要的目的可能还是希望增加学生的综合实践能力，就是数学对于绝大多数人来说，他将来走向社会以后，肯定不是我要解决做什么数学题，他一定要用他学过的数学知识去思考一些问题，去解决一些问题
7、，尽量让他学过的数学能够帮上他的忙。所以我希望他能通过学数学，增加实践的能力。比如数列教学，我记得咱们曾经有一个讨论，就是在我们老百姓经济生活，或者是金融生活，所用到最主要的数学模型，就是我们现在学的，所谓等差数列和等比数列，光是抽象的学等差数列和等比数列，可能他很难想到这些东西在我们日常生活当中会有什么用，因此我想我们开设这样的课程，就希望他能够知道这些，在我们贷款，存款，以及各种各样的打折中，我们学的等差数列和等比数列会有用处，我想增加学生的实践能力是非常重要的。就像思明经常说的，要知道数学有用，可用，能用，会用，我觉得这是学数学的一个基本目的。 另外一个方面，希望在中学阶段给学生提供一个
8、培养创造能力的基础，绝对不只是好学生需要创造，将来走向工作岗位，各行各业都需要你在工作上做的比别人稍微好一点，能够解决一点别人不能解决的问题，我觉得这是所有人都面临的一个选择。要创造，就要知道需要创造什么，我想在义务教育阶段或是高中，培养学生的问题意识尤其重要。 刚才隋老师说到我们面临的困难，恰恰是我们的追求，没有问题从何谈起创造，因此我们要培养学生一种问题意识，要能发现一些问题，这样的一种本领我觉得在数学课上，和数学课外都是我们老师应该关注的一个问题。 现在新课程来了以后，问题意识已经成为很多老师教学的基点，从问题出发，从情景出发，让学生知道我学的每一个概念，每一个结论是有背景的，有必要的，
9、是为了解决某些问题的需要产生的。所以经过我们一段时间的坚持，我们会慢慢的解决这个问题。数学是为了解决问题，在 20 世纪 70 年代，美国数学教育界曾经讨论过一个问题，在学习数学的过程当中，什么是最关键的。当时他们讨论的结果，就是问题是关键，我觉得这是有道理的，这是哈姆斯（一个大数学家）发表的一篇文章，因此我觉得虽然我们在这个方面面临着困难，但是随着新课程不断的推进，这个问题将会逐渐的得到解决。 另外做这个数学建模活动，可以开拓学生的视野，这是我们中国学生在学习知识方面的一个缺憾，我们需要有一个开拓的视野，通常我们认为知识很重要，但是见识也很重要，要主动扩大自己的眼界去解决一些问题。当然我们确
10、实存在一个资源的问题，现在也正在努力，希望能够解决这个资源的问题。从 1993年到现在，你们几位都参与了，我们现在已经积累了学生完成的论文大概已经有几万份了，我们现在就在把这些论文的题目，摘要整理出来推荐给大家，看看我们的同龄人，我们的同学是怎么从他们的生活中发现问题的，我想我们所有参与数学知识应用竞赛的人都有这种感觉，学生能够找到的问题我们未见能找到，所以我想这些问题都是在新课程理念的倡导下逐步会解决的问题，并不是所有问题都解决好了我们才去做点什么，而是恰恰相反，是需要我们在追求中不断的去解决这些问题。所以我觉得这一点无论是大学，还是中学，都应该树立信心，随着时间的推移，这些问题能够得到比较
11、好的解决。 张思明：王老师给我们应用教学提了三个要做的事情和目标，要提高学生问题意识，要让学生通过学习长见识，同时还要提高他们的创新精神和能力，这是我们做这件事情的一个方向。这样的事情能够做到什么程度，很多参加培训的老师都提出来想看一个实例，在北京我们有一个网络学习的联合体，在网络上学习数学建模，北京十五中是有数学建模传统的学校，当然也包括大永在的首师大附中、北大附中、十九中，包括我们看到的北京经济技术开发区的实验学校，很多学校都参加了这个活动，我们专门在十五中拍摄了一个现场课，就是数学建模的一个参与式的答辩学习活动，大家一起来看由十五中王莉华老师执教的这样一节课的一个片断。 （插入视频片段）
12、 好，刚才王老师给我们带来一个学生参与学习到答辩，表现成果的一个过程。这个课的设计和由来是怎么回事，为什么活动，要达到什么目的，我们先请十五中的隋老师针对王老师的课做一个简单背景解说。 隋丽丽：我们设计这节课的时候，依据了这几个方面，我们想在应用课当中，就它要区别于我们平时纯人为编造应用题的课，我们是想让学生解决一个实际问题，一开始的提出，到学生自主去找到解决问题的方法，再找到相适应的数学模型，之后得到数学模型的解，最后有效解释他自己提出的问题，就这个过程还让学生之间做交流答辩。所以我们觉得在这个教学设计当中，我们有这样三个着眼点：第一个是教学前的准备；再有一个就是教学流程框架的一个设计，这个
13、设计我们变成的一种活动的几个主要环节。在教学前的准备，我们要对这样的一节课整个数学的分析，教育的分析，以及学生情况的分析，还有基本的定位，以及这个课的重点难点的分析都要在教学准备之前做好。接着在教学设计当中，特别的关注这样几个要点，一个是关注学生的生活经验，关注他这种问题，关注它的活动，关注它的再创造。就像刚才王教授说的，一个学生需要有一个比较广泛的视野，那么他的见识也确实是非常重要的。所以在整个解决问题的过程当中，他自己要到社会当中找他调研的对象，要找机构，可能他要做实验，找相应的实验室，然后用相应的一些数学软件来帮助他处理数据，所以在这个过程当中，我们觉得在教学设计当中主要是关注下面几个环
14、节。 第三个，王老师在实施的过程当中，我们想通过这样的一节课和大家做一个交流，就是把学生一开始找问题，找不到问题，然后找到问题，找到问题以后，是以函数应用为主，再辨别它是不是函数问题。实际你要找到一个真函数，识别它表述它都是非常困难，因为学生找的都是相关关系，不是函数关系，所以他自己分不清楚，在这个期间我们其实也在引导学生去交流和碰撞，他在一些来自同龄人交流碰撞当中来识别和理解，最后真正把问题搞清楚，之后再继续下去做。王老师在这节课实际上他让学生比较广泛的，从不同的视角，有失败的，有成功的，有做不下去的，或者有非常顺利的，用不同的例子在这样的一节课当中呈现我们应用当中会遇到各种各样的困难问题，
15、以及解决的对策。之后我们还有做的比较成功的学生在这节课来做交流，跟他同龄人做一个伙伴式的，一种传染式，一种激励式交流的活动。所以在备课当中，我们更关注这样几个要领。 王尚志：上次思明有一个报告，在我们的资源里也有，刚才隋老师从教学的层面讲的，思明的报告从学生学习的层面，把整个数学应用这样一个教学过程分成了四个阶段，第一个是选题阶段，就是让学生在日常生活中，或者我们接触的人事当中找一些问题，然后查一些文献，看看别人做了一些什么，我们在哪些方面能够改进，或者我们能够有哪些创造等等，要确定一个选题的过程。那么第二个过程叫做开题，就是一旦我确定问题，我总要告诉别人，我打算做什么，打算怎么做，大家来帮帮
16、忙，给我出一点主意，把这样一个过程叫做一个开题的过程，紧接着就是合作做题的过程，不同的学校有的选择了一个合作小组，也有个人单做的，他们在解决这个问题。最后总有一个结果，大家可以互评，可以交流，老师也可以提一些建议，最后把它变成一篇数学建模的小论文。最后一个环节，咱们叫做结题，就是你完成了一件事情，我们向大家报告一下我都做了什么，我得到哪些结果，我还有哪些不足，我做的这些结果有哪些价值和作用，让学生经历这么一个过程，我觉得这样的一个过程对于学生将来的成长一定是非常重要的。隋教师从教的角度，思明从学生学习的角度，这样就把教与学整合起来了。 张思明：其实在这个过程里，我们开始分析提到的困难，主要是学
17、生提不出问题来，王老师带领我们设计的这样一个环节，比如先要学一点，隋老师认为经验就是读一点成功学生前面做的，让他导读，我们提一些引导性的问题，比如你真在生活当中找三个真实的函数，是不是都没有关系，小组要讨论，提炼出你们小组认为合适的，我们还让研究生搜集和整理了一批问题，学生对这些问题都非常有兴趣，包括富兰克林一千块钱的美元，最后为什么能够分配出 300万，很多这种函数让学生去看，还有建议比如去出租车上有多少个函数，你要看每个表，油量表，计价表，水温表，每个都是一个函数，让学生看了这些以后再来体验，而且这样做的效果，先读一点，想一点，讨论一点，提出一个建模的问题，包括技术比较差的学生，最后学生做
18、的保温瓶水温，那个空隙多大能够保温效果比较好，它就变成一个可操作的，要找那个函数。我觉得这个过程里给我们老师有很多启发，就是一开始我们觉得困难的原因，是我们问题意识不够，我们可能视野不够，我们看的知识都是凝固在书本上的文字，如果我们跳出来，我们也用这种好奇心去看社会，看身边的事情，我们自己有一点问题意识了以后，可能对学生的意识培养有更多的好处。大永你觉得是不是，你在教学里也设计很多情景，怎么来提高学生的问题意识，或者是应用意识，你有什么好的做法给我们介绍介绍。 李大永：以前我做过一种尝试，为学生创造一个情景，因为学生本身有时候接触东西太少，他提出问题就感觉比较困难。有时候我们就把学生带到一个情
19、景下，就是让他多上超市里，你先去提出问题，比如在超市里你去转悠，然后你可以发现什么问题，这些问题你觉得哪些是跟数学有关系的。张思明：学生也发现很多问题是吧？ 李大永：对，提前自己也去想的一些问题，但是学生提出来比老师讲的还要更丰富一些。 王尚志：有时候你把他带到超市去提问题，学生一转眼加油站也能提出问题，邮局也能提出问题，火车站，银行里面有蕴含着很多的数学问题。所以有时候可能是我们自己对学生缺乏信任，或者是了解，其实我们的学生思想非常活跃。隋老师列举了一些问题都是学生提出来的，我觉得是令人吃惊的。 隋丽丽：有的时候我们还用这样的办法，用一个形式把它打出来，让学生去看，让学生感受到来自同龄人的激
20、励和惊喜。比如说饮酒驾车的另一种思考，新的容积对音乐的影响、防风沙的雨伞节能灯、新型餐桌、我们学校的饮食搭配、莲花池污染的治理，这些都是与他们很贴近的。我觉得最有创新意识的，就是防护林最佳布局问题的研究。这个学生实际上他已经创新到了一个他敢于提出来，就是来打破现在权威人士来防护林的一种方式，他是以等距出现的，他提出非等距三层防护，这个防护的效果特别好。所以我们也可以采取用他们学生做过的东西来激励他们，来提问题，也来让他们有一种问题意识的培养。 王尚志：我们现在非常高兴的看到，现在北京已经有相当一批学校已经形成了一个开展数学建模活动的传统，高三带高二，高二带高一，一代一代不断的积累，这样的形式我
21、们也希望把这些资源整理出来，大家可以在我们的网上进行参考。 张思明：我觉得这里有两重作用，一个做这个东西对于学生来说是一个创新的实践，他做多做少能够提高对数学的认识，对数学的学习兴趣。比如我们学生为了解决保安巡逻的问题，他自己要学很多东西，比如图论、随机过程、计算机，学生在学习数学的过程当中，对于课本的知识会提高，对于主动学习这种精神会激发。 还有对我们教师，教师从学校门走出来以后，学到的是课本的知识，面对应用的时候，他会不断有新的挑战。像我们学校有一个张俊强老师，看到学生提了大量信息密码安全这种东西，他就先去学，学信息安全与密码，然后把这个变成课程，再变成指导学生的能力，他自己在上学的时候根
22、本就没有学过，他说学生是带着我来学的。我想这对于教师的专业发展也是有有一定的作用。 隋丽丽：对，所以我觉得在应用方面，我们要抓住到底教学生什么，要教学生一种问题的意识，让他质疑，而且我们希望让学生之间提出问题以后，你找的问题，他的问题是不是问题，然后也要让他会质疑，还有让他自主的去发现，去探索，去归纳，去判断。然后去反思等等，这是需要我们在应用课当中非常注意的。其实教师在这里还应该注意，要洞察课改方向性大的问题，并且也要自己尝试着主动提出一些问题。因为我们会看到，有时候学生比我们老师解决的更为漂亮，问题提的更精彩，我们老师可能有时候提不了那么漂亮的问题，所以教师平时也应该培养自己问题意识的发展
23、。也就是在这样的过程当中，实际上是一个师生共赢的，是把它变成一个学习共同体，把它捆在一起共同发展，其实就是常说的教学相长。 王尚志：在刚才我们谈到数学建模教学活动，或叫数学应用的教学活动存在问题的时候，可能忽略了一方面，就是老师自身的问题，我觉得现在很大层面上可能是我们老师自己存在着认识上的一定障碍，就是我们数学到底要教学生什么，当然我们受到考试的影响，是不是不考的问题就一定不教，那么我们怎么样来帮助我们的学生，在你的数学教学当中，在他将来的发展当中获得最大的收益。所以我想有一些问题我们放开的想一想，或许会更好一点。虽然目前还会受到一些影响，但是我觉得有一些东西使我们看到了中国发展的趋势，比如
24、现在各个所谓主要的大学，就是像北大、清华，他们扩大了自主招生，在自主招生中所出的题目，有相当多的是属于看你的应用能力、实践能力，和创造能力的提高，所以我建议我们的老师需要把思路开阔一点，因为整个社会都在变化，大学也在变化，招生的趋势也在变化，所以我们应该适应这样的一种发展的趋势。今后在我们的高考当中，现在我们看看各个省独立命题以后，应该说应用问题也逐渐的在扩展，所以我想这些变化都应该引起我们老师的重视。 张思明：大永，从你的教学感受来说，要做好数学知识应用这方面的教学，还可以给老师们，或者是学生提哪方面的建议，怎么把这件事情做的更好，怎么为我们自己教学积累更多的资源。 李大永：从我刚毕业的时候
25、，就弄数学建模这个课题，当时感觉特别困难，老师首先要找一些素材教学生。当时没有，实际逼着这几个老师每个人自己要先去找，首先老师自己要克服心理的恐惧感，然后善于从自己的生活当中发掘一些数学问题，积累一些数学问题，这个往往会带给你课堂上一个很小的插曲，但是会给你的课堂带来一种活跃。有的还可以作为一个问题源，就是做一种比较大的活动。再有一个，像刚才隋老师说的，就是把往届的学生，他做的问题做一个积累，这也是一个很好的素材。还有一个方面，有时候网上的各种新闻，有大量的数据，其实我们教学当中老师在办公室里也探讨，比如金融经济箫条出现这种情况的时候，里面有各种数据，叫环比，同比，这个是什么意思？我们老师也不
26、知道这是什么意思，我们老师就上网去查查，具体是什么含义。 包括现在很多人提到网络的信息，中国的经济从不同部门出的经济数据，三月份用电量的指标，这些未必有很多的数学内容，但是它体现出一个我用数学的想法去思考，这种东西我们抽象出来以后，有时候可以成为一个小的问题。 隋丽丽：其实现在咱们做的这个项目，就是北京市高中课程网络平台这个网，后续咱们可以利用它，因为它不受时间的限制，不受人员的限制，不受年级的限制，而且时间和空间都非常大，所以建议老师可以到这上面看看，开拓自己的视野，然后从里面增长自己的见识，并且我觉得作为教师来说要不断的挑战自己，你必须要在不断遇到新的问题，新的教学情景，教学对象，以及教学
27、问题的时候，你才能读一点东西，然后来提升自己的这种教学能力。 王尚志：在我们资源里会把这些网站和相应的资源提供给大家，大家可以做一个参考。 张思明：在刚才的讨论当中,我们向大家介绍了北京几所学校对于技术比较好的学生做的一些数学建模的一些教学实例和分析，我们也让老师们看到了，如果我们坚持做这件事情，对于学生的创新能力，对于学生的问题意识，还有老师的专业发展都起到很好的作用。当然在做的过程当中，我们也不断在解决教学当中遇到的新问题，希望把这个实践坚持下去，也希望能够有更多的老师参与我们这项实践，课程标准明确提出来，在三年的学习当中，学生要有始有终的，认认真真的做一次数学建模的过程，我们也希望这项活动的开展使我们更多的老师在参与当中看到学生能力的，特别是创新能力的真实提高。后面我们还有一些资源，还有一些思考题，希望老师们看一看，想一想，这个讨论到这里结束，谢谢大家的参与！
